微积分/积分技术/数值近似

在评估定积分时，经常会出现被积函数的原函数无法找到或非常难以找到的情况。在某些情况下，定积分值的数值近似值就足够了。可以使用以下技术，它们按复杂程度递增的顺序排列。

黎曼和

这来自于积分的定义。如果我们选择 n 为有限值，那么我们有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x$

其中 $x_{i}^{*}$ 是 $[a,b]$ 上第 i 个子区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 上的任意一点。

右矩形

黎曼和的一种特殊情况，我们令 $x_{i}^{*}=x_{i}$ ，换句话说，每个子区间 $[a,b]$ 上最右边的点。同样地，如果我们选择 n 为有限值，那么我们有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$

左矩形

黎曼和的另一个特殊情况，这次我们令 $x_{i}^{*}=x_{i-1}$ ，它是 $[a,b]$ 上每个子区间最左边的点。和往常一样，当 $n$ 是有限值时，这是一个近似值。因此，我们有

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x$

梯形法则

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}{\bigl (}f(x_{i}){\bigr )}+f(x_{n})\right]={\frac {b-a}{2n}}{\bigg (}{f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})}{\bigg )}$

辛普森法则

记住，n 必须为偶数，

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$	$\approx {\frac {b-a}{6n}}\left[f(x_{0})+\sum _{i=1}^{n-1}\left((3-(-1)^{i})f(x_{i})\right)+f(x_{n})\right]$
	$={\frac {b-a}{6n}}{\bigg [}f(x_{0})+4f{\bigl (}{\tfrac {x_{1}}{2}}{\bigr )}+2f(x_{1})+4f{\bigl (}{\tfrac {x_{3}}{2}}{\bigr )}+\cdots +4f{\bigl (}{\tfrac {x_{n-1}}{2}}{\bigr )}+f(x_{n}){\bigg ]}$

麦克劳林近似

一种常见的近似常用三角函数的技术是使用泰勒-麦克劳林级数。逐项积分允许人们轻松地手工计算积分的值，精确到 5 位小数，给定阶乘表的情况下可以精确到 10 位小数。

例如，使用 $\sin(x)$ 的麦克劳林级数，可以轻松地用多项式近似其积分。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$

然后，我们可以轻松地将每一项积分，将 $(-1)^{n}$ 和 ${\frac {1}{(2n+1)!}}$ 视为常数。

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\int {\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}}\implies c_{0}+{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+2}}{(2n+2)!}}}$$

我们可以通过检查已知的积分主值 $-\cos(x)$ 和新的级数来轻松地找到常数项。这将为我们提供最终的等式。

$$\int _{0}^{t}{\sin(x)\;\mathrm {d} x}+1={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}t^{2n+2}}{(2n+2)!}}}$$虽然这是一个收敛速度相当快的级数，在 $\log _{10}((2x+2)!)$ 位有效数字处收敛，但它相对无用，因为阶乘的计算成本很高。

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