微积分/积分技巧/三角函数积分

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当被积函数主要或完全基于三角函数时，以下技巧很有用。

正弦和余弦的幂

我们将给出一种通用方法来求解一般形式为 $\cos ^{m}(x)\cdot \sin ^{n}(x)$ 的被积函数。首先让我们来看一个例子。

\int \cos ^{3}(x)\sin ^{2}(x)dx

注意被积函数包含余弦的奇数次幂。所以将其改写为

\int \cos ^{2}(x)\sin ^{2}(x)\cos(x)dx

我们可以通过进行代换 $u=\sin(x)$ 所以 $du=\cos(x)dx$ 来求解。然后我们可以使用恒等式将整个被积函数写成 $u$ 的形式

\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-u^{2}

.

所以

$\int \cos ^{3}(x)\sin ^{2}(x)dx$	$=\int \cos ^{2}(x)\sin ^{2}(x)\cos(x)dx$
	$=\int (1-u^{2})u^{2}du$
	$=\int u^{2}du-\int u^{4}du$
	$={\frac {u^{3}}{3}}+{\frac {u^{5}}{5}}+C$
	$={\frac {\sin ^{3}(x)}{3}}-{\frac {\sin ^{5}(x)}{5}}+C$

只要存在正弦或余弦的奇数次幂，这种方法就有效。

当 **任一** $m$ 或 $n$ 为 **奇数** 时，求解 $\int \cos ^{m}(x)\sin ^{n}(x)dx$ 。

如果 $m$ 是奇数，则用 $u=\sin(x)$ 代替，并使用恒等式 $\cos ^{2}(x)=1-\sin ^{2}(x)=1-u^{2}$ 。

如果 $n$ 是奇数，则用 $u=\cos(x)$ 代替，并使用恒等式 $\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x)=1-u^{2}$ 。

例子

求 $\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{3}(x)dx$ 。

由于 $\sin$ 的幂次为奇数，我们令 $u=\cos(x)$ ，因此 $du=-\sin(x)dx$ 。请注意，当 $x=0$ 时，我们有 $u=\cos(0)=1$ ，而当 $x={\frac {\pi }{2}}$ 时，我们有 $u=\cos({\tfrac {\pi }{2}})=0$ 。

$\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{3}(x)dx$	$=\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{40}(x)\sin ^{2}(x)\sin(x)dx$
	$=-\int \limits _{1}^{0}u^{40}(1-u^{2})du$
	$=\int \limits _{0}^{1}u^{40}(2-u^{2})du$
	$=\int \limits _{0}^{5}(u^{40}-u^{42})du$
	$=\left({\frac {u^{41}}{41}}-{\frac {u^{43}}{43}}\right){\Bigg \|}_{0}^{1}$
	$={\frac {1}{41}}-{\frac {1}{43}}$

当 $m$ 和 $n$ 都是偶数时，情况会更复杂一些。

要计算 $\int \cos ^{m}(x)\sin ^{n}(x)dx$ 当 $m$ 和 $n$ 都是 **偶数** 时。

使用恒等式 $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$ 和 $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$ 。

例子

求解 $\int \sin ^{2}(x)\cos ^{4}(x)dx$ 。

因为 $\sin ^{2}(x)={\frac {1-\cos(2x)}{2}}$ 以及 $\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$ ，我们有

\int \sin ^{2}(x)\cos ^{4}(x)dx=\int \left({\frac {1-\cos(2x)}{2}}\right)\left({\frac {1+\cos(2x)}{2}}\right)^{2}dx

展开后，被积函数变为

{\frac {1}{8}}\int \left(1-\cos ^{2}(2x)+\cos(2x)-\cos ^{3}(2x)\right)dx

使用倍角公式

$I$	$={\frac {1}{8}}\left(\int 1dx-\int \cos ^{2}(2x)dx+\int \cos(2x)dx-\int \cos ^{3}(2x)dx\right)$
	$={\frac {1}{8}}\left(x-{\frac {1}{2}}\int {\Big (}1+\cos(4x){\Big )}dx+{\frac {\sin(2x)}{2}}-\int \cos ^{2}(2x)\cos(2x)dx\right)$
	TODO: 纠正公式 $={\frac {1}{164}}\left(x+\sin(2x)+\int \cos(4x)dx-2\int {\Big (}1-\sin ^{2}(2x){\Big )}\cos(2x)dx\right)$

然后我们通过计算得到

I={\frac {x}{16}}-{\frac {\sin(4x)}{64}}+{\frac {\sin ^{3}(2x)}{48}}+C

Tan 和 Secant 的幂

为了计算 $\int \tan ^{m}(x)\sec ^{n}(x)dx$ 。

如果 $n$ 是偶数且 $n\geq 2$ ，则用 $u=tan(x)$ 代入并使用恒等式 $\sec ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)$ 。

如果 $n$ 和 $m$ 都是奇数，则用 $u=\sec(x)$ 代入并使用恒等式 $\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)-1$ 。

如果 $n$ 是奇数且 $m$ 是偶数，则使用恒等式 $\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)-1$ 并应用降阶公式对 $\sec ^{j}(x)dx$ 进行积分，当 $j=1,2$ 时，可以使用下面的示例来进行积分。

示例 1

求 $\int \sec ^{2}(x)dx$ 。

$\sec(x)$ 的幂次是偶数。用 $u=\tan(x)$ 代入，得到 $du=\sec ^{2}(x)dx$ ，所以

$\int \sec ^{2}(x)dx=\int du=u+C=\tan(x)+C.$

示例 2

求 $\int \tan(x)dx$ 。

令 $u=\cos(x)$ ，则 $du=-\sin(x)dx$ 。然后

$\int \tan(x)dx$	$=\int {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}dx$
	$=\int -{\frac {du}{u}}$
	$=-\ln \|u\|+C$
	$=-\ln {\Big \|}\cos(x){\Big \|}+C$
	$=\ln {\Big \|}\sec(x){\Big \|}+C$

例 3

求 $\int \sec(x)dx$ 。

解决此问题的技巧是像这样乘以和除以相同的东西

$\int \sec(x)dx$	$=\int \sec(x){\frac {\sec(x)+\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}}dx$
	$=\int {\frac {\sec ^{2}(x)+\sec(x)\tan(x)}{\sec(x)+\tan(x)}}dx$

进行替换 $u=\sec(x)+\tan(x)$ ，所以 $du=\sec(x)\tan(x)+\sec ^{2}(x)dx$ 。

$\int \sec(x)dx$	$=\int {\frac {du}{u}}$
	$=\ln \|u\|+C$
	$\ln {\Big \|}\sec(x)+\tan(x){\Big \|}+C$

更多三角函数组合

对于积分 $\int \sin(nx)\cos(mx)dx$ 或 $\int \sin(nx)\sin(mx)dx$ 或 $\int \cos(nx)\cos(mx)dx$ ，使用恒等式

$\sin(a)\cos(b)={\frac {\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}}$

$\sin(a)\sin(b)={\frac {\cos(a-b)-\cos(a+b)}{2}}$

$\cos(a)\cos(b)={\frac {\cos(a-b)+\cos(a+b)}{2}}$