微积分/导论
微积分是数学中一个广泛的领域，涵盖瞬时变化率、曲线下的面积、序列和级数等主题。所有这些主题的根源都在于极限的概念，即分析函数在越来越接近某个特定点时的行为，但永远不会真正达到该点。作为微积分方法的一个典型应用，考虑一辆正在移动的汽车。可以创建一个函数来描述汽车的位移（它相对于参考点的位置）在任何时间点的值，以及描述汽车在任何时间点的速度（运动速度和方向）的函数。如果汽车以恒定速度行驶，那么代数就足以确定汽车在任何时间点的位移；如果速度未知但仍保持恒定，则可以使用汽车的位移（以及时间）来找到速度。
然而，汽车的速度不可能在行程开始时从零跳到每小时 35 英里，然后在整个行程中保持恒定，最后在行程结束时跳回零。当按下加速器时，速度会逐渐上升，而且通常不会以恒定的速率上升（即，驾驶员可能在开始时更用力地踩油门，以便加速）。使用微积分之前教授的方法无法描述这种运动，也无法在特定时间点找到速度和距离，而使用微积分不仅可以做到，而且非常简单。
微积分有两个基本应用：微分学 和 积分学。微分学最简单的介绍涉及一个显式数字序列。给定序列 (42, 43, 3, 18, 34)，该序列的微分将是 (1, -40, 15, 16)。新序列是从连续数字的差值推导出来的，因此得名“微分”。很少，如果曾经的话，在显式数字序列上使用微分，如这里所示。相反，它们是从一个连续函数中推导出来的，其方式将在后面描述。
积分学，像微分学一样，也可以通过数字序列来介绍。请注意，在前面的示例中，几乎可以仅通过其微分来推导出原始序列。然而，积分不是取差值，而是取和。给定原始序列的第一个数字，这里是 42，可以通过将微分中的每个连续数字相加来推导出原始序列的其余部分 (42+1, 43-40, 3+15, 18+16)。请注意，了解原始序列中的第一个数字对于推导积分至关重要。与微分一样，积分是对连续函数而不是显式数字序列执行的，但概念仍然相同。积分学允许我们计算几乎任何形状的曲线下的面积；在汽车的例子中，这使你能够根据速度曲线来找到汽车的位移。这是因为曲线下的面积是运动的总距离，正如我们很快就会看到的。
微积分对于许多科学和工程领域至关重要。两者都大量使用数学函数来描述和预测受连续变化影响的物理现象，这需要使用微积分。以我们的汽车为例：如果你想设计汽车，你需要知道如何计算力、速度、加速度和位置。所有这些都需要微积分。微积分对于研究气体和粒子的运动、力的相互作用和能量的传递也是必不可少的。它在涉及比率的商业中也很有用。例如，涉及利息或供求曲线的方程都基于微积分的语言。
微积分还提供了理解函数的重要工具，并导致了新数学领域的发展，包括实数和复数分析、拓扑和非欧几里得几何。
尽管微积分具有功能性实用性（双关语意），但许多非科学家和非工程师选择学习微积分仅仅是为了挑战自己。一小部分人接受了这样的挑战，然后发现微积分本身就很美。
学习微积分，像许多数学一样，涉及两个部分
- 理解概念：你必须能够解释当取导数时意味着什么，而不仅仅是应用求导数的公式。否则，你将不知道你的解是否正确。例如，绘制图表可以帮助阐明抽象概念。
- 符号操作：像其他数学分支一样，微积分是用表示概念的符号书写的。你将学习这些符号的含义以及如何使用它们。良好的三角学 和 代数 知识必不可少，特别是在积分学中。有时你需要将表达式操作成可用的形式，然后才能执行微积分运算。
在使用本教材之前，你需要具备一些基本技能。继续我们的汽车运动的例子
- 你需要用符号来描述汽车的运动。这涉及理解函数。
- 你需要操作这些函数。这涉及代数。
- 你需要将符号转换为图形，反之亦然。这涉及理解函数的绘图。
- 如果你了解三角函数中使用的函数，这也有帮助（尽管不是必须的），因为这些函数在科学中经常出现。
本教材的前四章涵盖了典型高中或大学一年级课程中教授的主题。第一章，预备微积分，回顾了函数中对于掌握微积分最必不可少的那些方面。第二章，极限，介绍了极限过程的概念。它还讨论了一些极限的应用，并提出使用极限来检查函数的斜率和面积。接下来的两章，微分学 和 积分学，将极限应用于计算导数和积分。使用微积分基本定理，以及用于计算导数和积分而不诉诸极限过程的基本公式。第三章和第四章包括将前面学到的概念应用于计算体积，以及其他重要公式的文章。
微积分中心章节的其余部分涵盖了更高水平的微积分主题中教授的主题：参数方程和极坐标方程、序列和级数、多元微积分和微分方程。
最后几章使用正式符号涵盖了相同的材料。它们的介绍速度快得多，并且涵盖的定理比其他两个部分多得多。它们假设你了解一些集合论和集合符号。