微积分/平均值定理

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平均值定理

如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可微，则存在一个数 $c\in (a,b)$ 使得

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

例子

这意味着什么？为了更好地理解这个概念，我们还是以一个例子来解释。想象（或者画出）函数 $f(x)=x^{3}$ 的图像。选择一个区间（任意区间都可以），为了简单起见，我们选择 [0,2]。从点 (0,0) 到 (2,8) 画一条直线。在点 $x=0$ 和 $x=2$ 之间存在一个点 $x=c$ ，在该点的 $f$ 导数等于你画的那条直线的斜率。

解法

1: 使用平均值定理的定义

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

代入数值。我们选择的区间是 [0,2]。因此，我们有

{\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4

2: 根据平均值定理的定义，我们知道在区间中某个地方存在一个点，该点的斜率与该点相同。因此，我们求导来找到这个点 $x=c$ 。

{\frac {dy}{dx}}=3x^{2}

现在，我们知道该点的斜率是 4。因此，在点 $c$ 处的导数是 4。因此， $4=3x^{2}$ 。 4/3 的平方根就是这个点。

示例 2： 找到满足函数 $f(x)=\sin(x)$ 和区间 $[0,\pi ]$ 的平均值定理的点。

解法

1：总是从定义开始

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

所以，

{\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0

（记住， $\sin(\pi )$ 和 $\sin(0)$ 都是 0。）

2：现在我们有了线的斜率，我们必须找到具有相同斜率的点 $x=c$ 。现在我们必须求导数！

{\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0

余弦函数在 ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ 处为 0，其中 $k$ 是一个整数。记住，我们受区间 $[0,\pi ]$ 的限制，所以 ${\frac {\pi }{2}}$ 是满足平均值定理的点 $c$ 。

微分

假设一个函数 $y=f(x)$ 在包含 $x$ 的开区间 $(a,b)$ 内可微。 $\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x$

“ $x$ 的微分”是 $\Delta x$ 。这是一个对 $x$ 变化的近似值，可以认为等效于 $dx$ 。对于 $y$ 也是一样。这是什么意思呢？我们可以通过知道 $x$ 的变化以及 $x$ 在一个非常接近的点的变化来近似 $y$ 的变化。让我们看一个例子。

例子：一位老师让她的学生们算出 $4.1^{2}$ 等于多少。学生们没有计算器，又懒得用手或脑子里算，于是就想利用微积分来算。他们如何近似这个结果呢？

1: 建立一个反映计算过程的函数。他们在做什么？他们取一个数字（称之为 $x$ ），然后将其平方得到一个新数字（称之为 $y$ ）。因此， $y=x^{2}$ 。写一个小的表格。记录 $x,y,\Delta x,\Delta y,{\frac {dy}{dx}}$ 的值。我们想要知道 $y$ 的确切值，但首先我们需要知道 $y$ 的变化。