微积分/中值定理

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中值定理

如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，并在开区间 $(a,b)$ 上可微，则存在一个数 $c\in (a,b)$ 使得

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

示例

这意味着什么？像往常一样，让我们使用一个例子来理解这个概念。可视化（或绘制）函数 $f(x)=x^{3}$ 。选择一个区间（任何区间都可以），但为了简单起见，选择 [0,2]。画一条从点 (0,0) 到 (2,8) 的直线。在点 $x=0$ 和 $x=2$ 之间存在一个数 $x=c$ ，其中 $f$ 在点 $c$ 处的导数等于你所画直线的斜率。

解答

1：使用中值定理的定义

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

代入值。我们选择的区间是 [0,2]。因此，我们有

{\frac {f(2)-f(0)}{2-0}}={\frac {8}{2}}=4

2：根据中值定理的定义，我们知道在该区间内存在一个点的斜率与该点相同。因此，让我们求导数以找到这个点 $x=c$ 。

{\frac {dy}{dx}}=3x^{2}

现在，我们知道该点的斜率是 4。因此，该点处的导数 $c$ 是 4。因此， $4=3x^{2}$ 。4/3 的平方根就是该点。

示例 2： 在函数 $f(x)=\sin(x)$ 和区间 $[0,\pi ]$ 上，找到满足均值定理的点。

解答

1：始终从定义开始

{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}

所以，

{\frac {\sin(\pi )-\sin(0)}{\pi -0}}=0

（请记住， $\sin(\pi )$ 和 $\sin(0)$ 都为 0。）

2：现在我们有了直线的斜率，我们必须找到具有相同斜率的点 $x=c$ 。现在我们必须求导数！

{\frac {d\sin(x)}{dx}}=\cos(x)=0

余弦函数在 ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ 处为 0，其中 $k$ 是一个整数。请记住，我们受区间 $[0,\pi ]$ 的限制，因此 ${\frac {\pi }{2}}$ 是满足均值定理的点 $c$ 。

微分

假设一个在开区间 $(a,b)$ 内可微分的函数 $y=f(x)$ ，其中包含 $x$ 。 $\Delta y={\frac {dy}{dx}}\cdot \Delta x$

" $x$ 的微分" 是 $\Delta x$ 。这是一种近似 $x$ 的变化，可以被认为是 $dx$ 的“等价”。对于 $y$ 也是如此。这意味着什么？我们可以通过知道 $x$ 的变化和在非常接近的点处 $x$ 的变化率，来近似 $y$ 的变化。让我们看一个例子。

例子：一位老师要求她的学生找出 $4.1^{2}$ 等于多少。学生们没有计算器，懒得用手或脑子里计算，想用微积分来解决。他们该如何近似这个值？

1：建立一个模拟过程的函数。他们在做什么？他们取一个数字（称为 $x$ ），然后平方得到一个新数字（称为 $y$ ）。因此， $y=x^{2}$ 。写一个小的表格，记录 $x,y,\Delta x,\Delta y,{\frac {dy}{dx}}$ 的值。我们想要知道 $y$ 的真实值，但我们需要先知道 $y$ 的变化。