微积分/乘积法则

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当我们想要微分一个更复杂的表达式，例如

h(x)=(x^{2}+5x+7)\cdot (x^{3}+2x-4)

我们唯一的方法（截至目前）来微分这个表达式是把它展开得到一个多项式，然后微分那个多项式。当手工计算时，这种方法变得非常复杂，并且容易出错。初学者可能会猜测乘积的导数是导数的乘积，类似于加法和减法规则，但这并不正确。为了求乘积的导数，我们使用乘积法则。

乘积的导数（乘积法则）

${\frac {d}{dx}}\left[f(x)\cdot g(x)\right]=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)\,\!$

它也可以写成

(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!

或者用莱布尼茨符号写成

{\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}

.

三个函数乘积的导数为

{\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}

.

由于两个或多个函数的乘积出现在许多物理现象的数学模型中，因此乘积法则在物理学、化学和工程学中有着广泛的应用。

示例

假设我们想要微分ƒ(x) = x² sin(x)。使用乘积法则，我们得到导数ƒ '(x) = 2x sin(x) + x²cos(x)（因为x²的导数是2x，sin(x)的导数是cos(x)）。
乘积法则的一种特殊情况是常数倍法则，它指出：如果c是实数，ƒ(x)是可微函数，那么cƒ(x)也是可微的，它的导数为(c × ƒ)'(x) = c × ƒ '(x)。这是因为任何常数的导数都是零。这与导数的加法规则相结合，表明微分是线性的。
分部积分法是根据乘积法则推导出来的，商法则（一个弱版本）也是如此。（它是一个“弱”版本，因为它没有证明商是可微的，只是说明了它的导数是什么，如果它是可微的。）

物理示例 I：电磁感应

法拉第电磁感应定律指出，感应电动势是通过导电回路的磁通量变化率的负值。

${\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt},$

其中 ${\mathcal {E}}$ 是以伏特为单位的电动势 (emf)，Φ_B 是以韦伯为单位的磁通量。对于面积为 A 的回路在磁场 B 中，磁通量由下式给出

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta ),$

其中 θ 是电流回路的法线与磁场方向之间的夹角。

对磁通量关于时间求负导数，得到电动势为

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=-{\frac {d}{dt}}\left(B\cdot A\cdot \cos(\theta )\right)\\&=-{\frac {dB}{dt}}\cdot A\cos(\theta )-B\cdot {\frac {dA}{dt}}\cos(\theta )-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\theta )\\\end{aligned}}$