微积分/商法则

商法则

对于商式，有一个类似于乘积法则的规则。为了证明它，我们从导数的定义出发

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\frac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)g(x+h)}}\\&={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}$

这为我们带来了所谓的“商法则”

商式的导数（商法则） ${\frac {d}{dx}}\left[{f(x) \over g(x)}\right]={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\,\!$

有些人用助记符“低D高减高D低（除以）低方平减去”来记忆这个法则。

示例

$(4x-2)/(x^{2}+1)$ 的导数是

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

请记住：乘积/商的导数**不等于**导数的乘积/商。（也就是说，微分不满足乘法或除法的分配律。）但是，我们可以在求导之前进行分配。 也就是说，${\frac {d}{dx}}\left((a+b)\times (c+d)\right)={\frac {d}{dx}}\left(ac+ad+bc+bd\right)$