微积分/乘积与商法则

乘积法则

当我们想要对更复杂的表达式，例如

$h(x)=(x^{2}+5x+7)(x^{3}+2x-4)$

进行微分时，我们唯一的方法（到目前为止）是将该表达式展开得到一个多项式，然后对该多项式进行微分。这种方法在手工计算时会变得非常复杂，并且容易出错。初学者可能会猜测乘积的导数等于导数的乘积，类似于和差法则，但这并不正确。为了对乘积进行微分，我们使用乘积法则。

乘积的导数（乘积法则） ${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

它也可以表示为

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'$

或者用莱布尼兹符号表示为

${\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}$

三个函数乘积的导数为

${\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v\cdot w)={\dfrac {du}{dx}}\cdot v\cdot w+u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}\cdot w+u\cdot v\cdot {\dfrac {dw}{dx}}$ .

由于两个或多个函数的乘积在许多物理现象的数学模型中出现，因此乘积法则在物理、化学和工程中有着广泛的应用。

示例

• 假设我们想要对 $f(x)=x^{2}\sin(x)$ 进行微分。通过使用乘积法则，我们可以得到导数 $f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)$ （因为 ${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x$ 以及 ${\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)$）。
• 乘积法则的一个特例是**常数倍乘法则**，它指出：如果$c$ 是一个实数，并且$f(x)$ 是一个可微函数，则$c\cdot f(x)$ 也是可微的，它的导数是$(c\cdot f)'(x)=c\cdot f'(x)$。这从乘积法则得出，因为任何常数的导数为0。这与导数的和法则相结合，表明微分是线性的。

物理示例一：电磁感应

法拉第电磁感应定律指出，感应电动势等于穿过导电回路的磁通量的时间变化率的负值。

${\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}$

其中${\mathcal {E}}$ 是以伏特为单位的电动势，Φ_B 是以韦伯为单位的磁通量。对于面积为 A 的回路，在磁场 B 中，磁通量由以下公式给出：

$\Phi _{B}=B\cdot A\cdot \cos(\theta )$

其中 θ 是回路法线与磁场方向之间的夹角。

对磁通量关于时间求负导数，得到电动势为：

${\begin{aligned}{\mathcal {E}}&=-{\frac {d}{dt}}{\big (}B\cdot A\cdot \cos(\theta ){\big )}\\&=-{\frac {dB}{dt}}\cdot A\cos(\theta )-B\cdot {\frac {dA}{dt}}\cos(\theta )-B\cdot A{\frac {d}{dt}}\cos(\theta )\\\end{aligned}}$

在许多实际应用中，只有一个变量（A、B 或 θ）在变化，因此三个项中的两个项通常为 0。

物理示例二：运动学

一个粒子在数轴上相对于固定点 O 的位置是$4t^{3}\sin(t)\sec ^{2}(t)$，其中$t$ 表示时间。它在$t=7$ 相对于 O 的瞬时速度是多少？距离以米为单位，时间以秒为单位。

答案

注意：要解决此问题，我们需要来自下一节的一些“工具”。

我们可以将函数简化为 $4t^{3}\tan(t)\sec(t)$，因为 ($\sin(t)\sec(t)=\tan(t)$)

$v(t)={\frac {d}{dt}}{\Big [}4t^{3}\tan(t)\sec(t){\Big ]}=\tan(t)\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[4t^{3}]+4t^{3}\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\tan(t)]+4t^{3}\tan(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\sec(t)]$

$=12t^{2}\tan(t)\sec(t)+4t^{3}\sec ^{3}(t)+4t^{3}\tan ^{2}(t)\sec(t)$

将 $t=7$ 代入我们的速度函数

$v(7)=12(7)^{2}\tan(7)\sec(7)+4(7)^{3}\sec ^{3}(7)+4(7)^{3}\tan ^{2}(7)\sec(7)=1496.72\ {\frac {m}{s}}$（保留两位小数）。

乘积法则证明

证明该规则相对直接；首先，我们给出导数的方程

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}$

然后我们将应用一个最古老的技巧——在中间添加一个自相抵消的项

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-{\color {blue}f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x)}{h}}$

请注意，这些项之和为0，因此我们只是在方程式中加了0。现在我们可以将方程式分解为我们已经知道如何求解的形式

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)}{h}}+{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{h}}\right]$

观察这个，我们看到我们可以从分子中分解出共同项得到

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}f(x+h)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}g(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}$

当我们取极限时，它会变成

${\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=f(x)\cdot g'(x)+f'(x)\cdot g(x)$ ，或者用记忆方法“一D二加二D一”。

这可以扩展到 3 个函数

${\frac {d}{dx}}[f\cdot g\cdot h]=f(x)g(x)h'(x)+f(x)g'(x)h(x)+f'(x)g(x)h(x)$

对于任意数量的函数，它们的乘积的导数是每个函数的导数乘以其他函数的总和。

回到我们最初的乘积示例， $h(x)=(x^{2}+5x+7)(x^{3}+2x-4)$ ，我们通过乘积法则发现导数是

$h'(x)=(x^{2}+5x+7)(3x^{2}+2)+(2x+5)(x^{3}+2x-4)=5x^{4}+20x^{3}+27x^{2}+12x-6$

请注意，它的导数将不是

${\color {red}(2x+5)(3x^{2}+2)=6x^{3}+15x^{2}+4x+10}$

这是你假设乘积的导数是导数的乘积时会得到的。

为了应用乘积法则，我们将第一个函数乘以第二个函数的导数，然后加上第一个函数的导数乘以第二个函数。有时记住这句话“第一个乘以第二个的导数加上第二个乘以第一个的导数”会有所帮助。

概括

莱布尼兹给出了乘积的 n 次导数的以下推广；

$(f(x)g(x))^{(n)}=\sum _{i=0}^{n}\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right)f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$

其中 $\left({\begin{matrix}n\\i\end{matrix}}\right)$ 是二项式系数，也可以写成 $n{\text{ choose }}i$ 或 ${}_{n}C_{i}$。

商法则

商的导数也有类似的规则。为了证明它，我们回到导数的定义

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {{\dfrac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\dfrac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-{\color {blue}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]-\lim \limits _{h\to 0}\left[f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim \limits _{h\to 0}f(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}g(x+h)}}\\\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}$

这导致了所谓的“商法则”

商的导数（商法则） ${\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}$

有些人用助记符来记住这条规则：“低 D-高 减 高 D-低，平方底部，然后我们走！”

示例

${\frac {4x-2}{x^{2}+1}}$ 的导数是

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(4)(x^{2}+1)-(2x)(4x-2)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}$

记住：乘积/商的导数不是导数的乘积/商。（也就是说，微分不满足乘法或除法的分配律。）但是可以在求导之前进行分配。也就是说 ${\frac {d}{dx}}{\big (}(a+b)\times (c+d){\big )}={\frac {d}{dx}}(ac+ad+bc+bd)$