当我们想要对更复杂的表达式,例如

进行微分时,我们唯一的方法(到目前为止)是将该表达式展开得到一个多项式,然后对该多项式进行微分。这种方法在手工计算时会变得非常复杂,并且容易出错。初学者可能会猜测乘积的导数等于导数的乘积,类似于和差法则,但这并不正确。为了对乘积进行微分,我们使用乘积法则。
乘积的导数(乘积法则)
|
它也可以表示为

或者用莱布尼兹符号表示为

三个函数乘积的导数为
.
由于两个或多个函数的乘积在许多物理现象的数学模型中出现,因此乘积法则在物理、化学和工程中有着广泛的应用。
- 假设我们想要对
进行微分。通过使用乘积法则,我们可以得到导数
(因为
以及
)。
- 乘积法则的一个特例是**常数倍乘法则**,它指出:如果
是一个实数,并且
是一个可微函数,则
也是可微的,它的导数是
。这从乘积法则得出,因为任何常数的导数为0。这与导数的和法则相结合,表明微分是线性的。
法拉第电磁感应定律指出,感应电动势等于穿过导电回路的磁通量的时间变化率的负值。

其中
是以伏特为单位的电动势,ΦB 是以韦伯为单位的磁通量。对于面积为 A 的回路,在磁场 B 中,磁通量由以下公式给出:

其中 θ 是回路法线与磁场方向之间的夹角。
对磁通量关于时间求负导数,得到电动势为:

在许多实际应用中,只有一个变量(A、B 或 θ)在变化,因此三个项中的两个项通常为 0。
一个粒子在数轴上相对于固定点 O 的位置是
,其中
表示时间。它在
相对于 O 的瞬时速度是多少?距离以米为单位,时间以秒为单位。
- 答案
注意:要解决此问题,我们需要来自下一节的一些“工具”。
我们可以将函数简化为
,因为 (
)
![{\displaystyle v(t)={\frac {d}{dt}}{\Big [}4t^{3}\tan(t)\sec(t){\Big ]}=\tan(t)\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[4t^{3}]+4t^{3}\sec(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\tan(t)]+4t^{3}\tan(t)\cdot {\frac {d}{dt}}[\sec(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ece0bc18f9189f0b36823b14c86a59d209362d08)

将
代入我们的速度函数
(保留两位小数)。
证明该规则相对直接;首先,我们给出导数的方程
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52de234ae8c19cd0fbd5f68f4358d72c7e9940df)
然后我们将应用一个最古老的技巧——在中间添加一个自相抵消的项
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-{\color {blue}f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bda4b55f097600c6ecd29d6ea86ed0b174bb66d)
请注意,这些项之和为0,因此我们只是在方程式中加了0。现在我们可以将方程式分解为我们已经知道如何求解的形式
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)}{h}}+{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{h}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c8778519c923a41496315260334543ce505ac3)
观察这个,我们看到我们可以从分子中分解出共同项得到
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\Big [}f(x)\cdot g(x){\Big ]}&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[f(x+h)\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]+\lim _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]\\&=\lim _{h\to 0}f(x+h)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}g(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee68cf3d65c2562d300e7762ab1549aa7c98e25)
当我们取极限时,它会变成
,或者用记忆方法“一D二加二D一”。
这可以扩展到 3 个函数
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f\cdot g\cdot h]=f(x)g(x)h'(x)+f(x)g'(x)h(x)+f'(x)g(x)h(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99735dd3a693a9ec554c7a2d964ee20dc7634471)
对于任意数量的函数,它们的乘积的导数是每个函数的导数乘以其他函数的总和。
回到我们最初的乘积示例,
,我们通过乘积法则发现导数是

请注意,它的导数将不是

这是你假设乘积的导数是导数的乘积时会得到的。
为了应用乘积法则,我们将第一个函数乘以第二个函数的导数,然后加上第一个函数的导数乘以第二个函数。有时记住这句话“第一个乘以第二个的导数加上第二个乘以第一个的导数”会有所帮助。
莱布尼兹给出了乘积的 n 次导数的以下推广;

其中
是二项式系数,也可以写成
或
。
商的导数也有类似的规则。为了证明它,我们回到导数的定义
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {{\dfrac {f(x+h)}{g(x+h)}}-{\dfrac {f(x)}{g(x)}}}{h}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)\cdot g(x)-{\color {blue}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x)}-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&=\lim _{h\to 0}{\dfrac {g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{g(x)\cdot g(x+h)}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}\left[g(x)\cdot {\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right]-\lim \limits _{h\to 0}\left[f(x)\cdot {\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right]}{\lim \limits _{h\to 0}{\Big [}g(x)\cdot g(x+h){\Big ]}}}\\\\&={\dfrac {\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim \limits _{h\to 0}f(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {g(x+h)-g(x)}{h}}}{\lim \limits _{h\to 0}g(x)\cdot \lim \limits _{h\to 0}g(x+h)}}\\\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a5758e93c0b14096dfc5b1935d7fbf8f0917c9)
这导致了所谓的“商法则”
商的导数(商法则)
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有些人用助记符来记住这条规则:“低 D-高 减 高 D-低,平方底部,然后我们走!”
的导数是
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {4x-2}{x^{2}+1}}\right]&={\frac {(4)(x^{2}+1)-(2x)(4x-2)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80429e152a529cb7131b4a67df46fbc7bc32db8e)
记住:乘积/商的导数不是导数的乘积/商。(也就是说,微分不满足乘法或除法的分配律。)但是可以在求导之前进行分配。也就是说 