当一个点 x {\displaystyle x} δ {\displaystyle \delta } c {\displaystyle c} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon } L {\displaystyle L}
极限的直观定义不足以证明任何关于它的严格结论。问题在于模棱两可的术语“任意接近”。我们之前讨论过，这个术语的意思是， x {\displaystyle x} x {\displaystyle x}
为了进一步解释，我们之前说过，“无论我们想要使函数与极限之间的距离有多近，我们总能找到一个相应的 x {\displaystyle x} ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta } f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon } L {\displaystyle L} x {\displaystyle x} δ {\displaystyle \delta } c {\displaystyle c}
再次强调，由于这个概念比较棘手，让我们重新审视之前的例子： f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} x = 2 {\displaystyle x=2} f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} δ {\displaystyle \delta } 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon }
为了说明这一点，我们可以选择任意 δ {\displaystyle \delta } 10 − 14 {\displaystyle 10^{-14}} x {\displaystyle x} 10 − 14 {\displaystyle 10^{-14}} f ( x ) {\displaystyle f(x)} 0.01 {\displaystyle 0.01} δ {\displaystyle \delta } ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} ε {\displaystyle \varepsilon } 每个 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} δ {\displaystyle \delta } ε {\displaystyle \varepsilon }
当然，我们知道一个非常好的方法来做到这一点；我们只需创建一个函数，这样对于每个 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta } δ {\displaystyle \delta } δ ( ε ) = { 2 2 − 2 if ϵ ≥ 4 ϵ + 4 − 2 if ϵ < 4 {\displaystyle \delta (\varepsilon )=\left\{{\begin{matrix}2{\sqrt {2}}-2&{\mbox{if }}\epsilon \geq 4\\{\sqrt {\epsilon +4}}-2&{\mbox{if }}\epsilon <4\end{matrix}}\right.} 选择 delta 中的示例 5，了解如何选择此 delta 的解释）。
那么，一般来说，你如何证明 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c} L {\displaystyle L} ε {\displaystyle \varepsilon } ε = 0.03 {\displaystyle \varepsilon =0.03} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x − c | < δ {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } | f ( x ) − L | < 0.03 {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<0.03} ε {\displaystyle \varepsilon } ε = 0.002 {\displaystyle \varepsilon =0.002} δ {\displaystyle \delta } ε {\displaystyle \varepsilon } f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} c {\displaystyle c} L {\displaystyle L} ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
请注意这两个定义之间的区别。对于 f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} ∞ {\displaystyle \infty } x > δ {\displaystyle x>\delta } x {\displaystyle x} f ( x ) {\displaystyle f(x)} x {\displaystyle x} − ∞ {\displaystyle -\infty } x < δ {\displaystyle x<\delta } x {\displaystyle x}
以下是一些形式化定义的示例。
示例 1 我们从本章的前面知道
lim x → 8 x 4 = 2 {\displaystyle \lim _{x\to 8}{\frac {x}{4}}=2} 当 ε = 0.01 {\displaystyle \varepsilon =0.01} δ {\displaystyle \delta }
我们从期望的结论开始，并代入 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ε {\displaystyle \varepsilon }
| x 4 − 2 | < 0.01 {\displaystyle \left|{\frac {x}{4}}-2\right|<0.01} 然后我们解出关于 x {\displaystyle x}
7.96 < x < 8.04 {\displaystyle 7.96<x<8.04} 这等同于说
− 0.04 < x − 8 < 0.04 {\displaystyle -0.04<x-8<0.04} (我们想要不等式中间的部分是 x − 8 {\displaystyle x-8} | − 0.04 | {\displaystyle |-0.04|} 0.04 {\displaystyle 0.04} δ {\displaystyle \delta } δ = 0.04 {\displaystyle \delta =0.04}
示例 2 当 x {\displaystyle x} f ( x ) = x + 7 {\displaystyle f(x)=x+7}
回答这类问题需要两个步骤：首先我们必须确定答案 - 这里直觉和猜测是有用的，还有极限的非正式定义 - 然后我们必须证明答案是正确的。
在本例中，11 是极限，因为我们知道 f ( x ) = x + 7 {\displaystyle f(x)=x+7} x {\displaystyle x} 4 + 7 = 11 {\displaystyle 4+7=11}
但是，我们还没有完成，因为我们从未严格证明任何极限定律；我们只是陈述了它们。事实上，我们无法证明它们，因为我们还没有得到极限的正式定义。因此，为了确保 11 是正确答案，我们需要证明无论给定我们什么值的 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
| f ( x ) − 11 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}<\varepsilon } 只要
| x − 4 | < δ {\displaystyle |x-4|<\delta } 对于这个问题，令 δ = ε {\displaystyle \delta =\varepsilon } 选择 delta 了解如何确定其他问题中使用的 δ {\displaystyle \delta }
| f ( x ) − 11 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}<\varepsilon } 鉴于
| x − 4 | < δ = ε {\displaystyle |x-4|<\delta =\varepsilon } 由于 | x − 4 | < ε {\displaystyle |x-4|<\varepsilon }
| f ( x ) − 11 | = | x + 7 − 11 | = | x − 4 | < ε {\displaystyle {\Big |}f(x)-11{\Big |}={\Big |}x+7-11{\Big |}=|x-4|<\varepsilon } 这就是我们想要证明的。
示例 3 当 x {\displaystyle x} f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}
如前所述，我们利用本章前面学到的知识来猜测极限是 4 2 = 16 {\displaystyle 4^{2}=16}
δ = ε + 16 − 4 {\displaystyle \delta ={\sqrt {\varepsilon +16}}-4} 请注意，由于 ε {\displaystyle \varepsilon } δ {\displaystyle \delta }
| x 2 − 16 | < ε {\displaystyle {\Big |}x^{2}-16{\Big |}<\varepsilon } 鉴于
| x − 4 | < δ = ε + 16 − 4 {\displaystyle |x-4|<\delta ={\sqrt {\varepsilon +16}}-4} 我们知道
| x + 4 | = | ( x − 4 ) + 8 | ≤ | x − 4 | + 8 < δ + 8 {\displaystyle |x+4|={\Big |}(x-4)+8{\Big |}\leq |x-4|+8<\delta +8} （因为三角不等式），所以
| x 2 − 16 | = | x − 4 | ⋅ | x + 4 | < δ ( δ + 8 ) < ( 16 + ε − 4 ) ( 16 + ε + 4 ) < ( 16 + ε ) 2 − 4 2 = ε + 16 − 16 < ε {\displaystyle {\begin{matrix}{\Big |}x^{2}-16{\Big |}&=&|x-4|\cdot |x+4|\\\\\ &<&\delta (\delta +8)\\\\\ &<&({\sqrt {16+\varepsilon }}-4)({\sqrt {16+\varepsilon }}+4)\\\\\ &<&({\sqrt {16+\varepsilon }})^{2}-4^{2}\\\\\ &=&\varepsilon +16-16\\\\\ &<&\varepsilon \end{matrix}}} 示例 4 证明当 x {\displaystyle x} sin ( 1 x ) {\displaystyle \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}
我们将通过反证法来证明。假设极限存在，记为 L {\displaystyle L} L ≠ 1 {\displaystyle L\neq 1} L = 1 {\displaystyle L=1} ε = | 1 − L | {\displaystyle \varepsilon =|1-L|} L {\displaystyle L} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 0 < | x | < δ {\displaystyle 0<|x|<\delta } x {\displaystyle x} | sin ( 1 x ) − L | < ε = | 1 − L | {\displaystyle \left|\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)-L\right|<\varepsilon =|1-L|} δ > 0 {\displaystyle \delta >0} n {\displaystyle n} 0 < x 0 = 1 π 2 + 2 π n < δ {\displaystyle 0<x_{0}={\frac {1}{{\frac {\pi }{2}}+2\pi n}}<\delta } | sin ( 1 x 0 ) − L | = | 1 − L | {\displaystyle \left|\sin \left({\tfrac {1}{x_{0}}}\right)-L\right|=|1-L|}
例 5 当 x {\displaystyle x} x sin ( 1 x ) {\displaystyle x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}
根据夹逼定理，我们知道答案应该是 0。为了证明这一点，我们令 δ = ε {\displaystyle \delta =\varepsilon } x {\displaystyle x} 0 < | x | < δ {\displaystyle 0<|x|<\delta } | x sin ( 1 x ) − 0 | ≤ | x | < ε {\displaystyle \left|x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)-0\right|\leq |x|<\varepsilon }
示例 6 假设 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} lim x → a g ( x ) = M {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=M} lim x → a [ f ( x ) + g ( x ) ] {\displaystyle \lim _{x\to a}{\big [}f(x)+g(x){\big ]}}
Of course, we know the answer should be L + M {\displaystyle L+M} ε {\displaystyle \varepsilon } δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{1}} | f ( x ) − L | < ε 2 {\displaystyle {\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}} ε {\displaystyle \varepsilon } ε 2 {\displaystyle {\frac {\varepsilon }{2}}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-a|<\delta _{2}} | g ( x ) − M | < ε 2 {\displaystyle {\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}} δ {\displaystyle \delta } δ 1 {\displaystyle \delta _{1}} δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} x {\displaystyle x} 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } | ( f ( x ) + g ( x ) ) − ( L + M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle {\bigg |}{\big (}f(x)+g(x){\big )}-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
如果你愿意，你可以使用新的定义证明其他极限规则。数学家已经完成了这项工作，因此我们知道这些规则是有效的。因此，从现在开始计算极限时，我们可以回到使用规则，并且仍然可以确信我们的极限根据严格定义是正确的。
![{\displaystyle \lim _{x\to a}{\big [}f(x)+g(x){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38060b7158f65e3a3b93578e271e872b054a8682)
