微积分/有理函数

有理函数是指“任何可以用有理分数定义的函数，即代数分数，其分子和分母都是多项式”。

定义。 函数 $f(x)$ 称为有理函数当且仅当它可以写成以下形式

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

其中 $P\,$ 和 $Q\,$ 是 $x\,$ 的多项式，并且 $Q\,$ 不是零多项式。函数 $f\,$ 的定义域是所有点 $x\,$ 的集合，对于这些点，分母 $Q(x)\,$ 不为零。

可以证明，有理函数的和、积和商（除了被零多项式除以外，这将导致函数未定义）都是有理函数。

示例。 定义 $f_{1}(x)=x^{2}/x$，$f_{2}(x)=x$，$g(x)=\pi$ 和 $h(x)=\tan x$。

1 在以下选项中，选择所有有理函数。

	$f_{1}(x)$
	$f_{2}(x)$
	$g(x)$
	$h(x)$

2 是 $f_{1}(x)=f_{2}(x)$ 吗？

	是
	否

3 选择所有可能的$g(x)$ 的表达式，形式为$P(x)/Q(x)$，其中$P(x),Q(x)$ 是多项式函数。

	$g(x)$ 不是有理函数。因此，没有可能的表达式。
	$g(x)=3\pi /3$
	$g(x)=\pi /1$
	$g(x)=\pi x/x$
	$g(x)=0\pi /0$
	$g(x)=\pi ^{2}/\pi$

示例

有理函数的例子

三次有理函数：$y={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$

二次有理函数：$y={\frac {x^{2}-3x-2}{x^{2}-4}}$

有理函数$f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ 在$x^{2}=5\Leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$ 处没有定义。它关于$y={\frac {x}{2}}$ 是渐近线，即$x$ 趋近正无穷或负无穷时，越来越接近$y={\frac {x}{2}}$。

有理函数 $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$ 对所有实数都有定义，但对所有复数没有定义，因为如果 $x$ 是 $-1$ 的平方根（即虚数单位或它的负数），那么正式求值将导致被零除：$f(i)={\frac {i^{2}+2}{i^{2}+1}}={\frac {-1+2}{-1+1}}={\frac {1}{0}}$，这是未定义的。

每个多项式函数 $f(x)=P(x)$ 是一个有理函数，其中 $Q(x)=1$。不能写成这种形式的函数，例如 $f(x)=\sin(x)$，不是有理函数。形容词“无理数”通常不用于函数。

画出一个有理函数的图形

(1)我们来画出 $y={\frac {1}{x}}$ 的图形。
首先，我们必须避免 $x=0$，因为任何东西都不能被 0 除。因此，x 在等式中不应该是 0。现在我们只需代入一些 x 的值。结果如下

$x=1$	$y=1$
$x=2$	$y={\frac {1}{2}}$
$x=3$	$y={\frac {1}{3}}$
$x=-3$	$y=-{\frac {1}{3}}$
$x=-2$	$y=-{\frac {1}{2}}$
$x=-1$	$y=-1$

当 x 越来越大时，函数本身越来越小。这是 ${\frac {1}{x}}$ 的图像。

参考文献

• 维基百科关于有理函数的文章
• Paul 的在线数学笔记"有理函数"