微积分/圆锥曲线

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圆锥曲线是圆锥表面与平面的交线。有三种截取方式。第一种方法是垂直截取圆锥，交线将得到双曲线。第二种方法是平行于圆锥最外侧线的平面截取圆锥，交线将得到抛物线。第三种方法是水平或略微水平地截取圆锥，交线将得到椭圆。有关更多信息，请参阅圆锥曲线。如果你熟悉这个特定主题，你可以帮助扩展这里。

在以后的章节中，你将更多地接触到圆锥曲线。当你深入极坐标、参数方程和三维二次曲面时，圆锥曲线将再次成为一个难以讨论的主题。在本节中，我们只讨论基本的笛卡尔坐标圆锥曲线。

标准方程

椭圆

椭圆是一种具有有趣性质的形状。为了找到椭圆的标准方程，我们必须知道什么是椭圆。除了倾斜平面与圆锥表面的交线外，还有另一种构造椭圆的方法。

椭圆的定义

椭圆是围绕两个焦点的一条平面曲线，使得曲线上的所有点到这两个焦点的距离之和为常数。

或者，假设点 $F_{1}=(c_{x1},c_{y1})$ , $F_{2}=(c_{x2},c_{y2})$ , 和 $P=(x,y)$ ，其中 $c$ 是一个常数。椭圆是满足以下条件的点集

P\in \{(x,y):PF_{1}+PF_{2}=C,C\in \mathbb {R} \}

右侧的图像是椭圆的图形。如果存在点 $P=(x,y)$ ，则 $PF_{1}+PF_{2}=C$ ，其中 $C$ 是一个常数。

了解了椭圆的定义特征，我们可以开始寻找方程。

推导

为了简化，我们将椭圆的中心设在原点，点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 位于 $x$ 轴上。（参见右侧图像）

由于 $PF_{1}+PF_{2}=C$ 并且 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0),P=(x,y)$ ，使用距离公式，我们可以得到

$PF_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$PF_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+(y-0)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$PF_{1}+PF_{2}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$

现在对于常数 $C$ 。令长半轴的长度为 $a$ ，短半轴的长度为 $b$ 。想象一下点 $P$ 现在位于顶点，所以 $P_{0}=(a,0)$ 。在这个特定的点上，

$P_{0}F_{1}=a-c$
$P_{0}F_{2}=a+c$
$\therefore C=P_{0}F_{1}+P_{0}F_{2}=2a$

因为定义指出，对于任意 $P$ ， $PF_{1}+PF_{2}=C$ ，我们可以放心地说 $C=2a$ 。因此，我们可以开始求解这个方程。

${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$
$\Leftrightarrow {\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$\Leftrightarrow x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}$ （两边平方）
$\Leftrightarrow 4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=4a^{2}+4xc$ （化简）
$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=a^{2}+xc$
$\Leftrightarrow a^{2}(x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2})=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$ （两边平方）
$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}-c^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-a^{2}c^{2}$ （化简）
$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$ （因式分解）
最后，方程为
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

这个应该就是方程式了。但 $a^{2}-c^{2}$ 可以进一步简化。为此，再次想象我们的点 $P$ 位于共顶点上，因此 $P_{1}=(0,b)$ 。因此，

$P_{1}F_{1}={\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$
$P_{1}F_{2}={\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$
$\therefore C=P_{1}F_{1}+P_{1}F_{2}=2{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}$

由于我们已经确定 $C=2a$ ，我们可以写出一个将 $a,b,c$ 联系在一起的方程

$2{\sqrt {c^{2}+b^{2}}}=2a$
$\Leftrightarrow c^{2}+b^{2}=a^{2}$
$\Leftrightarrow a^{2}-c^{2}=b^{2}$

现在我们将 $a^{2}-c^{2}$ 替换为 $b^{2}$ ，得到最终结果

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

$\blacksquare$

这个方程是椭圆的标准形式。它被认为是标准形式，因为所有关键点都在轴上。

术语和性质

我们已经推导了方程。因此，术语和性质将基于此。

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

焦点（复数：焦点）：点 $F_{1},F_{2}$ 坐标分别为 $(c,0),(-c,0)$ 。定义赋予了这些点其功能： $PF_{1}+PF_{2}=2a$ 。
长半轴：长度为 $a$ 的轴。
短半轴：长度为 $b$ 的轴， $b<a$ 。
顶点（复数：顶点）：长半轴的端点。它有坐标 $(\pm a,0)$ 。
共顶点：短半轴的端点。它有坐标 $(\pm b,0)$ ， $b<a$ 。
中心：两个焦点之间的中点。它有坐标 $(0,0)$ 。

请注意，对方程的任何更改都会改变关键值的坐标。以上坐标严格基于椭圆的标准方程。

在推导过程中，我们偶然发现了一个性质，即常数 $a,b,c$ 之间的关系。该性质是 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 。在双曲线的方程推导中，我们将再次遇到这个性质。但是，由于符号的原因，它会略有不同。在椭圆中， $a>c$ ，所以性质 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 确保 $a^{2}>0,b^{2}>0,c^{2}>0$ 。在双曲线中，正如我们将看到的， $c>a$ ，这意味着焦点到中心的距离大于顶点到中心的距离。为了确保 $a^{2}>0,b^{2}>0,c^{2}>0$ 方便起见，该性质将略作调整。

变换

如果我们想要椭圆更“竖直”而不是“水平”，椭圆的方程需要改变。为了更“竖直”，椭圆的焦点应该位于 $y$ -轴上，坐标为 $(0,\pm c)$ 。使用相同的方法推导，我们得到

${\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1$

如果我们想要椭圆在平面上平移（不旋转地移动），根据我们在第 1.2 章中学到的知识，我们可以将方程修改为

${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ ，其中 $(m,n)$ 是椭圆的中心。

抛物线

抛物线可以被解释为二次函数的更一般形式。但是，它们本质上是不同的。二次函数描述的是一个变量和另一个变量之间的关系，而抛物线是二维空间中的曲线。

抛物线的定义

假设有一个点 $F=(p_{1},p_{2})$ 和一条直线 $l:y=mx+b$ ，这条直线不经过点 $F$ 。抛物线是满足以下条件的点 $P=(x,y)$ 的集合

P\in \{(x,y):PF=Pl\}

为了推导简便，我们将点 $F$ 放置在 $y$ 轴上，抛物线的顶点放在原点（参见右侧图像），因此 $F=(0,p)$ 。现在，想象一下点 $P$ 在顶点上，因此 $P_{0}=(0,0)$ 。因为 $PF=Pl$ 并且 $PF=p$ ，直线 $l$ 的方程为 $l:y=-p$ .

现在，我们可以开始推导出抛物线的标准方程。

推导

由于我们知道 $F=(0,p)$ ， $l:y=-p$ ，以及 $P=(x,y)$ ，我们可以解出 $PF=Pl$

$PF={\sqrt {(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}-2yp+p^{2}}}$ $Pl=y+p$

因此方程 $PF=Pl$ 可以转化为

${\sqrt {x^{2}+y^{2}-2yp+p^{2}}}=y+p$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-2py+p^{2}=y^{2}+2py+p^{2}$ （两边平方）
$\Leftrightarrow x^{2}=4py$

抛物线的标准方程是

$x^{2}=4py$

$\blacksquare$

在第 1.4 章中，我们讨论了二次函数的各种形式，如果将其视为几何曲线，则为抛物线。为了使标准方程更熟悉，我们可以将其调整为

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}$

术语和性质

类似于椭圆，我们将使用标准方程来演示抛物线中的关键术语。

$y={\frac {1}{4p}}x^{2}$

焦点：点 $F$ 坐标为 $(0,p)$ .
准线：直线 $l$ 方程为 $y=-p$ .
顶点：抛物线上最低点，坐标为 $(0,0)$ .

回想一下，二次函数的顶点形式是 $y=a(x-h)^{2}+k$ 。我们可以发现 ${\frac {1}{4p}}=a$ .

变换

如果我们希望曲线水平方向（对称轴为 $x$ 轴而不是 $y$ 轴），我们将 $F$ 的坐标更改为 $F=(p,0)$ ，并将直线更改为 $l:x=-p$ 。经过一些计算，我们得到

$x={\frac {1}{4p}}y^{2}$

如果我们想在平面上平移抛物线，使用我们学到的知识，我们得到

$y-k={\frac {1}{4p}}(x-h)^{2}$ ，其中顶点为 $(h,k)$ .

这类似于二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的顶点。然而，重要的是要意识到抛物线和二次函数从根本上是不同的。一个是几何曲线，另一个是两个变量之间的变换。

双曲线

双曲线和倒数函数之间的关系类似于抛物线和二次函数之间的关系。

双曲线的定义

假设存在点 $F_{1}=(c_{x1},c_{y1})$ 和 $F_{2}=(c_{x2},c_{y2})$ 。双曲线是满足以下条件的点集 $P=(x,y)$ ：

P\in \{(x,y):

|

PF_{1}-PF_{2}

|

=C,C\in \mathbb {R} \}

为了简化问题，我们将点 $F_{1},F_{2}$ 放置在 $x$ 轴上，中心位于原点，因此 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$ 。此外，顶点和中心之间的长度是 $a$ 。请参见右边的图片以了解更多信息。

推导

由于我们知道 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$ ，我们可以求解 $PF_{1}{\text{ and }}PF_{2}$ 。

$PF_{1}={\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$PF_{2}={\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}={\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$|PF_{1}-PF_{2}|=|{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}|$

类似于椭圆推导的情况，我们需要将常数 $C$ 转化成用 $a$ 或 $c$ 表示的表达式。在这种情况下，假设点 $P$ 在顶点上，所以 $P_{0}=(a,0)$ .

$P_{0}F_{1}=c-a$
$P_{0}F_{2}=a+c$
$|P_{0}F_{1}-P_{0}F_{2}|=|(c-a)-(a+c)|=2a$

因此， $C=2a$ 。现在，我们开始推导。

$|{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}|=2a$
假设 $PF_{2}>PF_{1}$ ，这意味着曲线位于正的 $x$ -轴上，并且
${\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$
${\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$\Leftrightarrow x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}$ （两边平方）
$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=-a^{2}+xc$
$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}-2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}-2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$ （两边平方）
$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
$\Leftrightarrow {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$
为了方便起见，我们将 $c^{2}-a^{2}$ 替换为 $b^{2}$ ，因为观察图形， $c>a$ ，并且我们希望常数为正数。因此
${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$
当 $PF_{2}<PF_{1}$ 时会怎么样？这意味着曲线位于负 $x$ 轴上，并且
${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a$
使用相同的方法，我们得到
${\sqrt {x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}}}=2a+{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}$
$\Leftrightarrow x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}=4a^{2}+4a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}+x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}$
$\Leftrightarrow a{\sqrt {x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}}}=a^{2}+xc$
$\Leftrightarrow a^{2}x^{2}+2a^{2}xc+a^{2}c^{2}+a^{2}y^{2}=a^{4}+2a^{2}xc+x^{2}c^{2}$
$\Leftrightarrow x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})$
$\Leftrightarrow {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$
因为我们设 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ ，所以 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

所有可能性都已讨论过，我们可以安全地说双曲线的方程是

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

$\blacksquare$

术语和性质

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

焦点（复数：焦点）：点 $F_{1}=(c,0),F_{2}=(-c,0)$ 。
顶点（复数：顶点）：长半轴的端点。它的坐标为 $(\pm a,0)$ 。
长半轴：长度为 $a$ 的轴。
渐近线：双曲线趋近但永远不会相交的直线。

我们在谈论椭圆时简要讨论了双曲线的性质。在那次讨论中，我们说我们必须稍微改变一下属性，以确保所有常数都是正的。在这种情况下，由于 $c>a$ ，而不是椭圆的 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ ，我们有 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 。

渐近线有点难计算，因为我们需要极限才能找到它。

由于 ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ， $y$ 和 $x$ 之间的关系为
$y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x^{2}-a^{2})}}=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {(x^{2}-a^{2})}}$
因此，经过双曲线上的点和中心的直线的斜率为
$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}$
渐近线是指双曲线无限接近但永远不会相交的直线。所以，我们可以想象 $x$ 无限大到与渐近线相交的程度（参见第 2.1 章和 2.3 章了解更多）。
${\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}$ （其中 $x$ 无限大） $=\pm {\frac {b}{a}}$
正式地，如果我们想表达 " $x$ 无限大 "，我们这样写： $\lim _{x\to \infty }{\frac {\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{x}}=\pm {\frac {b}{a}}$ 。我们将在下一单元讨论这个表达式。渐近线的斜率计算为 $\pm {\frac {b}{a}}$ 。

因此，双曲线的渐近线方程为

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

$\blacksquare$

变换

如果我们想要双曲线朝南北方向而不是东西方向，改变关键点的坐标并使用相同的方法进行推导，我们将得到

${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1$

如果我们想要将双曲线平移，方程将变为

${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ ，其中中心为 $(m,n)$ ，渐近线为 $y-n=\pm {\frac {b}{a}}(x-m)$

坐标轴旋转

当我们开始旋转像圆锥曲线这样的曲线时，很难直观地想象旋转曲线的过程：我们更习惯于平移而不是旋转。因此，与其将曲线旋转回类似于 ${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ 的形状，我们旋转坐标轴使曲线看起来像 ${\frac {(x'-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y'-n)^{2}}{b^{2}}}=1$ 。请注意， $x',y'$ 是旋转后的坐标。

为了做到这一点，我们需要找出旋转前轴和旋转后轴之间的关系。换句话说，假设有一个坐标为 $(x,y)$ 的点。旋转后，坐标为 $(x',y')$ 。用 $x,y$ 表示 $(x',y')$ 。

现在，我们需要建立一些坐标和一些属性。
点在 $x0y$ 平面上的坐标是 $(x,y)$

点到原点的距离是 $r$

连接点和原点的线段与正 $x$ 轴之间的角度为 $\alpha$

坐标轴逆时针旋转 $\theta$ 建立一个新的平面： $x'0y'$

第 3 和第 4 条可以帮助我们知道连接点和原点的线段与正 $x'$ 轴之间的角度是 $\alpha -\theta$
现在，我们尝试评估 $(x',y')$
根据三角学（参见第1.3章）
$x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta$
$y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta$
我们也可以评估 $x,y$ 关于 $r,\alpha$
$x=r\cos \alpha$ $y=r\sin \alpha$
然后代入前两个方程，得到
$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$
$y'=y\cos \theta -x\sin \theta$

最后，点 $(x,y)$ 旋转后的坐标为 $(x\cos \theta +y\sin \theta ,y\cos \theta -x\sin \theta )$ 。

$\blacksquare$

逆变换为 $x=x'\cos \theta -y'\sin \theta ,y=x'\sin \theta +y'\cos \theta$ .

一般笛卡尔形式

圆锥曲线的一般笛卡尔形式

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,{\text{ where }}A,B,C,D,E,F

是常数

理解一般形式的最佳方法是查看以下示例。它涵盖了本章的大部分内容，并且比较困难。

示例： 找到具有方程 $7x^{2}-2xy+7y^{2}+6{\sqrt {2}}x+6{\sqrt {2}}y-18=0$ 的圆锥曲线的焦点。

为了找到焦点，我们需要标准形式。但是，这是普通形式。更糟糕的是，这是一个旋转曲线，这使得人类无法将方程分解为平移标准形式。

我们知道该曲线已旋转，因为在因式分解后，存在一个 $(ax+by)^{2}$ 因子。平移标准形式没有该特定因子。因此，我们应该开始旋转轴，以便在旋转后， $Bxy$ 部分可以被抵消。

首先，我们应该列出我们所知道的。

$A=7,B=-2,C=7,D=6{\sqrt {2}},E=6{\sqrt {2}},F=-18$

接下来，我们开始旋转坐标轴。

假设我们将坐标轴 $x0y$ 旋转到 $x'0y'$ ，旋转角度为 $\theta$ 逆时针。新的旋转后的方程应该是
$A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0$
由于在对等式进行因式分解后，我们没有发现任何 $(ax+by)^{2}$ 项，我们需要使 $B'x'y'=0$ 。为了简化，我们只需要使 $B'=0$ 。
然后，我们需要用常数 $A,B,C,D,E,F$ 和 $\theta$ 表示 $B'$ ，这样我们就可以知道应该旋转坐标轴多少度。
$\because x=x'\cos \theta -y'\sin \theta ,y=x'\sin \theta +y'\cos \theta$ $\therefore Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$
代入后，我们得到
$A(x'\cos \theta -y'\sin \theta )^{2}+B(x'\cos \theta -y'\sin \theta )(y'\cos \theta +x'\sin \theta )+C(y'\cos \theta +x'\sin \theta )^{2}+D(x'\cos \theta -y'\sin \theta )+E(y'\cos \theta +x'\sin \theta )+F=0$
经过大量的计算和代数运算，我们得到
$A'=A\cos ^{2}\theta +B\cos \theta \sin \theta +C\sin ^{2}\theta$
$B'=(A+C)2\cos \theta \sin \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$
$C'=A\sin ^{2}\theta -B\cos \theta \sin \theta +C\cos ^{2}\theta$
$D'=D\cos \theta +E\sin \theta$
$E'=E\cos \theta -D\sin \theta$
$F'=F$
我们想要 $B'=0$ .
$B'=(A+C)2\cos \theta \sin \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )=0$ 回忆一下三角恒等式：二倍角公式，即
$2\cos \theta \sin \theta =\sin 2\theta ,\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta$
所以，该方程可以转换为
$\cot 2\theta ={\frac {A+C}{B}}$
为了方便，我们只求解最简单的值。
$\theta ={\frac {\pi }{4}}$
知道旋转角和其他常数后，我们可以求解新常数。
$A'=7\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}-2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}+7\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}=6$
$B'=(7+7)2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}-2(\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}-\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}})=0$
$C'=7\sin ^{2}{\frac {\pi }{4}}+2\cos {\frac {\pi }{4}}\sin {\frac {\pi }{4}}+7\cos ^{2}{\frac {\pi }{4}}=8$
$D'=6{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{4}}+6{\sqrt {2}}\sin {\frac {\pi }{4}}=12$
$E'=6{\sqrt {2}}\cos {\frac {\pi }{4}}-6{\sqrt {2}}\sin {\frac {\pi }{4}}=0$
$F'=-18$
旋转后的曲线方程为 $6x'^{2}+8y'^{2}+12x'-18=0$

现在可以将方程分解成平移后的标准形式。

$6x'^{2}+8y'^{2}+12x'-18=0$
$\Leftrightarrow 6x'^{2}+12x'+6+8y'^{2}=24$
$\Leftrightarrow 6(x'+1)^{2}+8y'^{2}=24$
$\Leftrightarrow {\frac {(x'+1)^{2}}{4}}+{\frac {y'^{2}}{3}}=1$