用平面截取圆锥的三种方法。注意圆是椭圆的一种特殊形式。
圆锥曲线是圆锥表面与平面的交线。有三种截取方式。第一种方法是垂直截取圆锥,交线将得到双曲线。第二种方法是平行于圆锥最外侧线的平面截取圆锥,交线将得到抛物线。第三种方法是水平或略微水平地截取圆锥,交线将得到椭圆。有关更多信息,请参阅 圆锥曲线。如果你熟悉这个特定主题,你可以帮助扩展 这里。
在以后的章节中,你将更多地接触到圆锥曲线。当你深入极坐标、参数方程和三维二次曲面时,圆锥曲线将再次成为一个难以讨论的主题。在本节中,我们只讨论基本的笛卡尔坐标圆锥曲线。
椭圆是一种具有有趣性质的形状。为了找到椭圆的标准方程,我们必须知道什么是椭圆。除了倾斜平面与圆锥表面的交线外,还有另一种构造椭圆的方法。
椭圆的定义
椭圆是围绕两个焦点的一条平面曲线,使得曲线上的所有点到这两个焦点的距离之和为常数。
或者,假设点
,
, 和
,其中
是一个常数。椭圆是满足以下条件的点集

右侧的图像是椭圆的图形。如果存在点
,则
,其中
是一个常数。
了解了椭圆的定义特征,我们可以开始寻找方程。
椭圆:符号
为了简化,我们将椭圆的中心设在原点,点
和
位于
轴上。 (参见右侧图像)
由于
并且
,使用距离公式,我们可以得到

现在对于常数
。令长半轴的长度为
,短半轴的长度为
。想象一下点
现在位于顶点,所以
。在这个特定的点上,

因为定义指出,对于任意
,
,我们可以放心地说
。因此,我们可以开始求解这个方程。
(两边平方)
(化简)
(两边平方)
(化简)
(因式分解)
最后,方程为

这个应该就是方程式了。但
可以进一步简化。为此,再次想象我们的点
位于共顶点上,因此
。因此,

由于我们已经确定
,我们可以写出一个将
联系在一起的方程

现在我们将
替换为
,得到最终结果
这个方程是椭圆的标准形式。它被认为是标准形式,因为所有关键点都在轴上。
我们已经推导了方程。因此,术语和性质将基于此。

- 焦点(复数:焦点):点
坐标分别为
。定义赋予了这些点其功能:
。
- 长半轴:长度为
的轴。
- 短半轴:长度为
的轴,
。
- 顶点(复数:顶点):长半轴的端点。它有坐标
。
- 共顶点:短半轴的端点。它有坐标
,
。
- 中心:两个焦点之间的中点。它有坐标
。
请注意,对方程的任何更改都会改变关键值的坐标。以上坐标严格基于椭圆的标准方程。
在推导过程中,我们偶然发现了一个性质,即常数
之间的关系。该性质是
。在双曲线的方程推导中,我们将再次遇到这个性质。但是,由于符号的原因,它会略有不同。在椭圆中,
,所以性质
确保
。在双曲线中,正如我们将看到的,
,这意味着焦点到中心的距离大于顶点到中心的距离。为了确保
方便起见,该性质将略作调整。
如果我们想要椭圆更“竖直”而不是“水平”,椭圆的方程需要改变。为了更“竖直”,椭圆的焦点应该位于
-轴上,坐标为
。使用相同的方法推导,我们得到

如果我们想要椭圆在平面上平移(不旋转地移动),根据我们在第 1.2 章中学到的知识,我们可以将方程修改为
,其中
是椭圆的中心。
抛物线可以被解释为二次函数的更一般形式。但是,它们本质上是不同的。二次函数描述的是一个变量和另一个变量之间的关系,而抛物线是二维空间中的曲线。
为了推导简便,我们将点
放置在
轴上,抛物线的顶点放在原点(参见右侧图像),因此
。现在,想象一下点
在顶点上,因此
。因为
并且
,直线
的方程为
.
现在,我们可以开始推导出抛物线的标准方程。
抛物线的一部分(蓝色),以及各种特征(其他颜色)。完整的抛物线没有端点。在这个方向上,它无限延伸到左边、右边和上面。
由于我们知道
,
,以及
,我们可以解出 

因此方程
可以转化为
(两边平方)

抛物线的标准方程是
在第 1.4 章中,我们讨论了二次函数的各种形式,如果将其视为几何曲线,则为抛物线。为了使标准方程更熟悉,我们可以将其调整为

类似于椭圆,我们将使用标准方程来演示抛物线中的关键术语。

- 焦点:点
坐标为
.
- 准线:直线
方程为
.
- 顶点:抛物线上最低点,坐标为
.
回想一下,二次函数的顶点形式是
。我们可以发现
.
如果我们希望曲线水平方向(对称轴为
轴而不是
轴),我们将
的坐标更改为
,并将直线更改为
。经过一些计算,我们得到

如果我们想在平面上平移抛物线,使用我们学到的知识,我们得到
,其中顶点为
.
这类似于二次函数
的顶点。然而,重要的是要意识到抛物线和二次函数从根本上是不同的。一个是几何曲线,另一个是两个变量之间的变换。
双曲线和倒数函数之间的关系类似于抛物线和二次函数之间的关系。
双曲线的定义
假设存在点
和
。双曲线是满足以下条件的点集
:
|
| 
为了简化问题,我们将点
放置在
轴上,中心位于原点,因此
。此外,顶点和中心之间的长度是
。请参见右边的图片以了解更多信息。
具有关键值的双曲线。
由于我们知道
,我们可以求解
。

类似于椭圆推导的情况,我们需要将常数
转化成用
或
表示的表达式。在这种情况下,假设点
在顶点上,所以
.

因此,
。现在,我们开始推导。
假设
,这意味着曲线位于正的
-轴上,并且

(两边平方)
(两边平方)

为了方便起见,我们将
替换为
,因为观察图形,
,并且我们希望常数为正数。因此
当
时会怎么样?这意味着曲线位于负
轴上,并且
使用相同的方法,我们得到

因为我们设
,所以 
所有可能性都已讨论过,我们可以安全地说双曲线的方程是
- 焦点(复数:焦点):点
。
- 顶点(复数:顶点):长半轴的端点。它的坐标为
。
- 长半轴:长度为
的轴。
- 渐近线:双曲线趋近但永远不会相交的直线。
我们在谈论椭圆时简要讨论了双曲线的性质。在那次讨论中,我们说我们必须稍微改变一下属性,以确保所有常数都是正的。在这种情况下,由于
,而不是椭圆的
,我们有
。
渐近线有点难计算,因为我们需要极限才能找到它。
由于
,
和
之间的关系为

因此,经过双曲线上的点和中心的直线的斜率为

渐近线是指双曲线无限接近但永远不会相交的直线。所以,我们可以想象
无限大到与渐近线相交的程度(参见第 2.1 章和 2.3 章了解更多)。
(其中
无限大) 
正式地,如果我们想表达 "
无限大 ",我们这样写:
。我们将在下一单元讨论这个表达式。渐近线的斜率计算为
。
因此,双曲线的渐近线方程为

如果我们想要双曲线朝南北方向而不是东西方向,改变关键点的坐标并使用相同的方法进行推导,我们将得到

如果我们想要将双曲线平移,方程将变为
,其中中心为
,渐近线为 
x 轴和 y 轴的旋转
当我们开始旋转像圆锥曲线这样的曲线时,很难直观地想象旋转曲线的过程:我们更习惯于平移而不是旋转。 因此,与其将曲线旋转回类似于
的形状,我们旋转坐标轴使曲线看起来像
。请注意,
是旋转后的坐标。
一个旋转了角度
的 xy-笛卡尔坐标系到 x'y'-笛卡尔坐标系
为了做到这一点,我们需要找出旋转前轴和旋转后轴之间的关系。 换句话说,假设有一个坐标为
的点。 旋转后,坐标为
。用
表示
。
现在,我们需要建立一些坐标和一些属性。
- 点在
平面上的坐标是 
- 点到原点的距离是

- 连接点和原点的线段与正
轴之间的角度为 
- 坐标轴逆时针旋转
建立一个新的平面: 
- 第 3 和第 4 条可以帮助我们知道连接点和原点的线段与正
轴之间的角度是 
现在,我们尝试评估
根据三角学(参见第1.3章)

我们也可以评估
关于


然后代入前两个方程,得到

最后,点
旋转后的坐标为
。
逆变换为
.
圆锥曲线的一般笛卡尔形式
是常数
理解一般形式的最佳方法是查看以下示例。它涵盖了本章的大部分内容,并且比较困难。
示例: 找到具有方程
的圆锥曲线的焦点。
为了找到焦点,我们需要标准形式。但是,这是普通形式。更糟糕的是,这是一个旋转曲线,这使得人类无法将方程分解为平移标准形式。
我们知道该曲线已旋转,因为在因式分解后,存在一个
因子。平移标准形式没有该特定因子。因此,我们应该开始旋转轴,以便在旋转后,
部分可以被抵消。
首先,我们应该列出我们所知道的。

接下来,我们开始旋转坐标轴。
假设我们将坐标轴
旋转到
,旋转角度为
逆时针。新的旋转后的方程应该是
由于在对等式进行因式分解后,我们没有发现任何
项,我们需要使
。为了简化,我们只需要使
。
然后,我们需要用常数
和
表示
,这样我们就可以知道应该旋转坐标轴多少度。

代入后,我们得到
经过大量的计算和代数运算,我们得到

我们想要
.
回忆一下三角恒等式:二倍角公式,即

所以,该方程可以转换为
为了方便,我们只求解最简单的值。

知道旋转角和其他常数后,我们可以求解新常数。

旋转后的曲线方程为 
现在可以将方程分解成平移后的标准形式。

这是椭圆的标准方程。 记住,在椭圆中,
。最后,我们可以确定焦点的旋转坐标。
中心的旋转坐标为 
由于
,
。
焦点的旋转坐标为

现在,我们将坐标轴旋转回原始状态。

因此,焦点为
和
.