微积分/函数图像

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有时很难仅从函数定义来理解函数的行为；视觉表示或图像可以非常有用。图像是笛卡尔平面中的一组点，其中每个点 $(x,y)$ 表示 $f(x)=y$ 。换句话说，图像使用一个方向（纵轴或 $y$ 轴）的点的位置来指示另一个方向（横轴或 $x$ 轴）的点位置的 $f$ 的值。

可以通过找到各种 $x$ 的 $f$ 的值，并在笛卡尔平面上绘制点 $(x,f(x))$ 来绘制函数图像。对于您将要处理的函数，点之间的函数部分通常可以通过在点之间绘制直线或曲线来近似。也可以将函数扩展到点集之外，但这会越来越不准确。

线性函数

线性函数的图像很容易理解和绘制。因为我们知道两点可以形成一条直线，所以如果这两个点位于函数上，我们只需要两个点就可以绘制线性函数图像。反之，如果我们只知道函数上的两个点，我们就可以写出线性函数的方程。

以下部分主要讨论线性函数符号的不同形式，以便您可以轻松识别或绘制函数图像。

介绍

像这样绘制点很费力。幸运的是，许多函数的图像符合一般的模式。对于一个简单的例子，考虑形式为

f(x)=3x+2

的函数的图像

斜率

斜率是线性函数的支柱，因为它显示了当输入发生变化时函数的输出变化了多少。例如，如果函数的斜率为 2，则意味着当函数的输入增加 1 个单位时，函数的输出增加 2 个单位。现在，让我们看一个更数学的例子。

考虑这个函数： $f(x)=-5x+8$ 。数字 $-5$ 代表什么？
这意味着当 $x$ 增加 1 时， $f(x)$ 减少 5。
用数学术语来说
$f(x+1)-f(x)=(-5(x+1)+8)-(-5x+8)=-5$

计算斜率很容易，因为斜率就像车辆的速度。如果我们将距离变化和对应的时间变化相除，就会得到速度。类似地，如果我们将 $f(x)$ 的变化除以 $x$ 的对应变化，我们就会得到斜率。如果给出两个点， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我们就可以计算经过这两个点的直线的斜率。记住，斜率被定义为“上升量除以运行量”。也就是说，斜率是 $y$ 值的变化除以 $x$ 值的变化。用符号表示

${\text{slope}}~={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$

线性函数中的斜率

如果线性函数上有两个点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，则线性函数的斜率是

m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}

有趣的是，斜率和函数图与正 $x$ 轴之间的角度 $\theta$ 之间存在着微妙的关系。这种关系是

$m=\tan \theta$

这是一个显而易见的公式，但很容易被忽略。

斜截式

当我们看到一个函数被表示为

$y=f(x)=mx+b$

我们称这种表示为 **斜截式**。这是因为，不出所料，这种写线性函数的方式包含了斜率， $m$ ，以及 $y$ 轴截距， $b$ 。

示例 1： 画出函数 $f(x)=3x+2$ 的图像。

该函数的斜率为 3，它在 $y$ 轴上的点 $(0,2)$ 与之相交。为了画出该函数的图像，我们需要另一个点。由于该函数的斜率为 3，那么

$f(x+1)=f(x)+3$

$f(1)=f(0+1)=f(0)+3=5$

知道该函数经过点 $(0,2){\text{ and }}(1,5)$ ，该函数的图像可以很容易地画出来。

$\blacksquare$

示例 2： 现在，考虑另一个经过点 $(-3,-4){\text{ and }}(0,5)$ 的未知线性函数。该函数的方程是什么？

可以用上面提到的公式计算斜率。

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{0-(-3)}}=3$

由于 $y$ 轴截距是 $(0,5)$ ，我们可以知道

$b=5$

因此，此线性函数的方程应该是

$g(x)=3x+5$

$\blacksquare$

点斜式

如果有人走近你，给你一个点和一个斜率，你可以画出一条直线，并且只有一条直线经过该点并且具有该斜率。换句话说，一个点和一个斜率唯一地确定一条直线。因此，如果给定一个点 $(x_{0},y_{0})$ 和一个斜率 $m$ ，我们将图形表示为

$y-y_{0}=m(x-x_{0})$

我们将这种表示称为**点斜式**。点斜式和斜截式本质上是相同的。在点斜式中，我们可以使用图形经过的任何点。而斜截式，我们使用的是 $y$ 截距，即点 $(0,b)$ 。点斜式非常重要。虽然它不像它的对应斜截式那样频繁地使用，但了解一个点并沿着斜率方向画出直线的概念将在我们进入以后章节的直线和平面的向量方程时遇到。

**示例 1：**如果一个线性函数经过点 $(3,-4){\text{ and }}(1,5)$ ，此函数的方程是什么？

斜率为

$m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {5-(-4)}{1-3}}=-{\frac {9}{2}}$

由于我们知道两个点，以下答案都是正确的

$y+4=-{\frac {9}{2}}(x-3){\text{ or }}y-5=-{\frac {9}{2}}(x-1)$

$\blacksquare$

两点式是另一种写线性函数方程的形式。它类似于点斜式。给定点 $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ ，我们有方程

$y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})$

本演示文稿采用两点式。它本质上与点斜式相同，只是我们将表达式 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 替换为 $m$ 。然而，这个表达式在数学中并不常用，因为在大多数情况下， $(x_{1},y_{1})$ 和 $(x_{2},y_{2})$ 是已知坐标。写下笨重的 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ ，而不是简单的斜率表达式，将是多余的。

截距式

截距式看起来像这样

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

通过将函数写成截距式，我们可以快速确定 $x,y$ 轴的截距。

$x$ 轴截距： $(a,0)$

$y$ 轴截距： $(0,b)$

当我们讨论三维空间中的平面时，这种形式对于确定 $x,y,z$ 轴的截距非常有用。

二次函数

要绘制二次函数，有一种简单但工作量大的方法，也有一种复杂但巧妙的方法。简单的方法是用各种数字替换自变量 $x$ ，并计算输出 $f(x)$ 。在进行一些替换后，将这些 $(x,f(x))$ 绘制出来，并用曲线连接这些点。复杂的方法是找到特殊的点，例如截距和顶点，然后绘制出来。以下部分将指导您找到这些特殊点，这将在以后的章节中发挥作用。

实际上，还有一种第三种方法，我们将在第1.6章中讨论。

标准形式

二次函数是看起来像这样的函数

$y=f(x)=ax^{2}+bx+c$ ，其中 $a,b,c$ 是常数

常数 $a$ 决定了函数的凹凸性：如果 $a>0$ ， $f(x)$ 向上凹；如果 $a<0$ ， $f(x)$ 向下凹。

常数 $c$ 是 $y$ 轴截距的 $y$ 坐标。换句话说，该函数经过点 $(0,c)$ 。

顶点形式

顶点形式比标准形式有其优势。虽然标准形式可以确定凹凸性和 $y$ 轴截距，但顶点形式，顾名思义，可以确定函数的顶点。二次函数的顶点是函数图上最高或最低的点，这取决于凹凸性。如果 $a>0$ ，顶点是图上的最低点；如果 $a<0$ ，顶点是图上的最高点。

顶点形式如下所示

$y=f(x)=a(x-h)^{2}+k$ ，其中 $a,h,k$ 是常数

该函数的顶点是 $(h,k)$ ，因为当 $x=h$ 时， $f(h)=k$ 。如果 $a>0$ ， $f(h)=k$ 是该函数所能达到的绝对最小值。如果 $a<0$ ， $f(h)=k$ 是该函数所能达到的绝对最大值。任何标准形式都可以转换为顶点形式。顶点形式，其中常数为 $a,b,c$ ，看起来像这样

$y=f(x)=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$ ，其中 $a,b,c$ 是标准形式中的常数

因式分解形式

因式分解形式可以确定 $x$ 轴截距，因为因式分解形式看起来像这样

$y=f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ，其中 $x_{1},x_{2}$ 是常数，并且是方程 $a(x-x_{1})(x-x_{2})=0$ 的解。

因此，可以确定该函数经过点 $(x_{1},0){\text{ and }}(x_{2},0)$ 。

然而，只有某些函数可以写成这种形式。如果二次函数没有 $x$ 轴截距，则不可能将其写成因式分解形式。

示例 1：该函数的顶点是什么？ $f(x)=x^{2}+2x+3$

该方程可以很容易地转换为顶点形式

$x^{2}+2x+3=(x^{2}+2x+1)+2=(x+1)^{2}+2$

因此，顶点是 $(-1,2)$ .

$\blacksquare$

例2： 右边的图像是一个二次函数。描述彩色文本的含义，它们是二次函数的重要属性。

$y=ax^{2}+bx+c$

这是二次函数的方程。在这种情况下， $a>0$ ， $c<0$ 。由于存在两个 $x$ 轴截距，我们可以发现 $\Delta =b^{2}-4ac>0$ .

点 $({\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0){\text{ and }}({\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},0)$

这些是两个 $x$ 轴截距的坐标。已知坐标，则该函数可以写成其因式分解形式
$y=a(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}})$
如果您在推导出二次方程公式或理解表达式 $\Delta$ 方面遇到困难，请参阅二次函数.

点 $(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}})$

这是二次函数的顶点。因为 $a>0$ ，顶点是图上的最低点。由于已知顶点，我们可以用顶点形式来写出该函数
$y=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}$
虽然这看起来不像我们之前讨论过的方程，但请注意 $-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}=+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ .