控制系统/数字控制简介
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(从 控制系统/离散时间稳定性 重定向)离散时间或数字系统的稳定性分析类似于连续时间系统的分析。然而，存在足够的差异，因此需要单独的一章来讨论。
如果存在正常数 L，使得以下条件成立，则 LTI 因果系统是一致 BIBO 稳定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味着
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我们可以将离散时间系统的脉冲响应矩阵定义为
[脉冲响应矩阵]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般时变情况下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
当且仅当存在正常数 L，使得对于所有非负 k 成立时，数字系统是 BIBO 稳定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
当且仅当传递函数矩阵中每个传递函数的每个极点的幅度小于 1 时，MIMO 离散时间系统是 BIBO 稳定的。所有传递函数的所有极点必须存在于 Z 平面上的单位圆内。
存在适用于数字系统的李雅普诺夫稳定性定理的离散版本。给定离散李雅普诺夫方程
[数字李雅普诺夫方程]
我们可以使用这个版本的李雅普诺夫方程来定义离散时间系统稳定性的条件
- 离散系统李雅普诺夫稳定性定理
- 一个具有系统矩阵 A 的离散系统，当且仅当存在一个唯一的矩阵 M 满足李雅普诺夫方程（对于任何正定矩阵 N）时，该系统才是渐进稳定的。
G(z) 的每一个极点都是系统矩阵 A 的一个特征值。但 A 的每一个特征值不一定是 G(z) 的一个极点。与传递函数的极点类似，系统矩阵的所有特征值的模都必须小于 1。数学上，
如果系统矩阵 A 的特征值或传递函数的极点的模大于 1，则系统是不稳定的。
数字计算机系统存在一个固有的问题，因为可实现的计算机系统使用有限的字长进行运算。一些问题包括：
- 实数只能以有限精度表示。通常情况下，计算机系统只能准确地表示到有限位小数。
- 由于上述原因，带有反馈的计算机系统会在每次程序迭代中累积误差。算法中的一步的小误差会导致程序后期出现大的误差。
- 计算机系统中的整数也有有限长度。因此，整数会发生“溢出”或“饱和”，具体取决于计算机系统的设计。这两种情况都可能导致结果不准确。