控制系统/劳斯-赫尔维茨判据

稳定性判据

劳斯-赫尔维茨稳定性判据提供了一个简单的算法来确定多项式的零点是否都在复平面的左半平面（这种多项式有时被称为“赫尔维茨”）。赫尔维茨多项式是线性连续时间不变系统稳定的关键要求（所有有界输入产生有界输出）。

必要的稳定性条件

多项式为赫尔维茨必须满足的条件。

如果任何一个条件不满足 - 多项式不稳定。但是，它们都可能成立并不意味着稳定。

充分的稳定性条件

如果满足这些条件，则意味着多项式稳定。但是，一个多项式可能在不满足一些或任何条件的情况下稳定。

劳斯判据提供了既必要又充分的条件来判断一个多项式是否为赫尔维茨。

劳斯-赫尔维茨判据

劳斯-赫尔维茨判据包含三个独立的测试，必须满足所有测试。如果任何一个测试失败，则系统不稳定，无需执行进一步的测试。因此，这些测试按从最容易确定到最难确定的顺序排列。

劳斯-赫尔维茨测试是对传递函数的分母，即特征方程进行的。例如，在一个闭环传递函数中，前向路径为 G(s)，反馈回路为 H(s)，我们有

$T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}$

如果我们简化这个方程，我们将得到一个分子为 N(s)，分母为 D(s) 的方程。

$T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}$

劳斯-赫尔维茨判据将重点关注分母多项式 D(s)。

劳斯-赫尔维茨检验

以下是劳斯-赫尔维茨判据的三个测试。为了方便起见，我们将使用 N 表示多项式的阶数（D(s) 中 s 的最高指数的值）。方程 D(s) 可以一般地表示如下

$D(s)=a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{N}s^{N}$

规则 1

所有系数 a_i 必须存在（非零）。

规则 2

所有系数 a_i 必须为正（等效地，所有系数都必须为负，没有符号变化）。

规则 3

如果规则 1 和规则 2 都满足，则从系数 a_i 形成一个劳斯表。劳斯表第一列中的每个符号变化都对应一个位于右半 s 平面的极点（因此，任何符号变化都意味着系统不稳定）。

我们将在下面解释劳斯表。

劳斯表

劳斯表是通过取 D(s) 的所有系数 a_i，并将它们交错排列成数组形式来形成的。每行的最后几列应包含零。

${\begin{matrix}s^{N}\\s^{N-1}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}&\cdots &0\\a_{N-1}&a_{N-3}&\cdots &0\end{vmatrix}}$

因此，如果 N 为奇数，则顶行将包含所有奇数系数。如果 N 为偶数，则顶行将包含所有偶数系数。我们可以如下填写劳斯表的剩余部分

${\begin{matrix}s^{N}\\s^{N-1}\\\\\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}&\cdots &0\\a_{N-1}&a_{N-3}&\cdots &0\\b_{N-1}&b_{N-3}&\cdots \\c_{N-1}&c_{N-3}&\cdots \\\cdots \end{vmatrix}}$

现在，我们可以定义所有 b、c 和其他系数，直到我们到达行 s⁰。为了填充它们，我们使用以下公式

$b_{N-1}={\frac {-1}{a_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-2}\\a_{N-1}&a_{N-3}\end{vmatrix}}$

和

$b_{N-3}={\frac {-1}{a_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N}&a_{N-4}\\a_{N-1}&a_{N-5}\end{vmatrix}}$

对于我们正在计算的每一行，我们将它上面一行最左边的元素称为**枢纽元素**。例如，在行 b 中，枢纽元素是 a_N-1，在行 c 中，枢纽元素是 b_N-1，依此类推，直到我们到达数组的底部。

为了获得任何元素，我们将以下矩阵的行列式取负，然后除以枢纽元素

${\begin{vmatrix}k&m\\l&n\end{vmatrix}}$

其中

• k 是当前行上面两行最左边的元素。
• l 是枢纽元素。
• m 是上面两行，当前元素右侧的一个元素。
• n 是上面一行，当前元素右侧的一个元素。

用 k l m n 来表示，我们的公式是

$v={\frac {(lm)-(kn)}{l}}$

示例：计算 C_N-3

为了计算 C_N-3 的值，我们必须确定 k l m 和 n 的值

• k 是上面两行最左边的元素：a_N-1
• l 是枢纽元素，是上面一行最左边的元素：b_N-1
• m 是上面两行，右侧一个元素：a_N-5
• n 是上面一行，右侧一个元素：b_N-5

将这些代入我们的公式，我们得到 C_N-3 的公式

${\frac {-1}{b_{N-1}}}{\begin{vmatrix}a_{N-1}&a_{N-5}\\b_{N-1}&b_{N-5}\end{vmatrix}}={\frac {a_{N-1}b_{N-5}-b_{N-1}a_{N-5}}{-b_{N-1}}}$

示例：稳定的三阶系统

我们给定一个具有以下特征方程的系统

$D(s)=s^{3}+2s^{2}+4s+3$

使用前两个要求，我们看到所有系数都不为零，并且所有系数都为正。然后我们将继续构建劳斯数组

${\begin{matrix}s^{3}\\s^{2}\\s^{1}\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}1&4&0\\2&3&0\\b_{N-1}&b_{N-3}&0\\c_{N-1}&c_{N-3}&0\end{vmatrix}}$

我们可以计算出所有系数

$b_{N-1}={\frac {(2)(4)-(1)(3)}{2}}={\frac {5}{2}}$

$b_{N-3}={\frac {(2)(0)-(0)(1)}{2}}=0$

$c_{N-1}={\frac {(3)\left({\frac {5}{2}}\right)-(2)(0)}{\frac {5}{2}}}=3$

$c_{N-3}={\frac {(2)(0)-\left({\frac {5}{2}}\right)(0)}{\frac {5}{2}}}=0$

将这些值填入我们的劳斯表，我们可以确定系统是否稳定

${\begin{matrix}s^{3}\\s^{2}\\s^{1}\\s^{0}\end{matrix}}{\begin{vmatrix}1&4&0\\2&3&0\\{\frac {5}{2}}&0&0\\3&0&0\end{vmatrix}}$

从这个表中，我们可以清楚地看到第一列的所有符号都是正的，没有符号变化，因此特征方程在RHP中没有极点。

特殊情况：全零行

如果在计算劳斯-赫尔维茨的过程中，我们得到了一行全零，我们不会停止，实际上可以从系统中获得更多信息。

如果我们有一行全零，它上面的行被称为辅助多项式，非常有用。辅助多项式的根给了我们位于jω轴上的共轭复根的精确位置。然而，需要注意的是，如果jω轴上存在重复根，那么系统实际上是不稳定的。因此，我们必须使用辅助多项式来确定根是否重复。

辅助方程需要对s求导，求导后的方程的系数替换掉全零行。然后可以使用这些新值进一步计算劳斯表。

特殊情况：第一列出现零

在这种特殊情况下，劳斯表的第一列出现零，但该行的其他元素不为零。与上述情况类似，我们可以用一个小的变量epsilon (ε) 替换零，并使用该变量继续我们的计算。在构建完整个表后，我们可以取epsilon趋于零的极限来得到最终值。如果（ε）上面的符号系数与它下面的符号系数相同，则表明存在纯虚根。

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