控制系统/状态空间稳定性

状态空间稳定性

如果一个系统在状态空间域中表示，尝试使用任何先前的稳定性方法将该系统转换为传递函数表示（甚至转换为传递矩阵表示）是没有意义的。幸运的是，还有一些其他分析方法可以用于状态空间表示，以确定系统是否稳定。首先，让我们先介绍一下不稳定性的概念。

不稳定

如果系统响应随着时间的推移趋于无穷大，则称该系统不稳定。如果我们的系统是 G(t)，那么可以说一个系统不稳定，如果

$\lim _{t\to \infty }\|G(t)\|=\infty$

此外，当我们谈论系统的稳定性时，一个关键的概念是平衡点的概念。

平衡点

给定一个系统f，使得

$x'(t)=f(x(t))$

如果

$f(x_{e})=0$

对于时间间隔$[t_{0},\infty )$中的所有时间t都成立，其中t₀是系统的开始时间，则称特定状态x_e为平衡点。

平衡点在其他书籍或文献中也称为“静止点”、“临界点”、“奇点”或“静止状态”。

以下定义通常要求平衡点为零。如果我们有一个平衡点x_e = a，那么我们可以使用以下变量变化来使平衡点为零

${\bar {x}}=x_{e}-a=0$

我们还将在下面看到，系统的稳定性是根据平衡点来定义的。与平衡点概念相关的另一个概念是零点的概念。

零状态

如果x_z = 0，则状态x_z为零状态。零状态可以是平衡点，也可以不是平衡点。

稳定性定义

当且仅当零输入状态方程的解有界时，系统x = 0的平衡点是稳定的。等效地，x = 0是一个稳定的平衡点，当且仅当对于每个初始时间t₀，存在一个相关的有限常数k(t₀)，使得

$\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|=k(t_{0})<\infty$

其中sup是方程的上确界或“最大”值。该方程的最大值不得超过任意有限常数k（因此它在任何点都不能是无限的）。

一致稳定性

如果系统对t₀的所有初始值都是稳定的，则称该系统为一致稳定的。

$\operatorname {sup} _{t\geq 0}[\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|]=k_{0}<\infty$

一致稳定性比之前提供的更一般的稳定性形式更强大。

渐近稳定性

如果系统满足以下条件，则称该系统为渐近稳定的。

$\lim _{t\to \infty }\|\phi (t,t_{0})\|=0$

如果系统矩阵A的所有特征值都具有负实部，则时不变系统是渐近稳定的。如果一个系统是渐近稳定的，那么它也是BIBO稳定的。但是反过来不成立：一个BIBO稳定的系统可能不是渐近稳定的。

一致渐近稳定性

如果系统对t₀的所有值都是渐近稳定的，则称该系统为一致渐近稳定的。

指数稳定性

如果系统响应随着时间的推移呈指数衰减到零，则称该系统为指数稳定的。

对于线性系统，一致渐近稳定性与指数稳定性相同。对于非线性系统则不然。

临界稳定性

这里我们将讨论一些关于边缘稳定的系统的规则。由于我们正在讨论特征值和特征向量，这些定理只适用于时不变系统。

1. 时不变系统在且仅当系统矩阵A的所有特征值均为零或具有负实部，并且具有零实部的特征值为A的最小多项式的单根时，才是边缘稳定的。
2. 状态方程的平衡点x = 0在A的所有特征值具有非正实部，并且与具有零实部的特征值相关联的一组完整的不同特征向量时，是一致稳定的。
3. 状态方程的平衡点x = 0在且仅当系统矩阵A的所有特征值具有负实部时，是指数稳定的。

特征值和极点

如果线性时不变 (LTI) 系统的所有特征值都具有负实部，则该系统是稳定的（渐近稳定的，见上文）。考虑以下状态方程

$x'=Ax(t)+Bu(t)$

我们可以对该方程两边进行拉普拉斯变换，使用初始条件x₀ = 0

$sX(s)=AX(s)+BU(s)$

从两边减去AX(s)

$sX(s)-AX(s)=BU(s)$

$(sI-A)X(s)=BU(s)$

假设 (sI - A) 是非奇异的，我们可以用它的逆矩阵乘以两边

$X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$

现在，如果我们记得我们从伴随矩阵中找到矩阵逆的公式

$A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{|A|}}$

我们可以在这里使用该定义

$X(s)={\frac {\operatorname {adj} (sI-A)BU(s)}{|(sI-A)|}}$

让我们更仔细地看一下分母（我们现在称之为D(s)）。为了保持稳定，以下条件必须成立

$D(s)=|(sI-A)|=0$

如果我们将λ替换为s，我们会发现这实际上是矩阵A的特征方程！这意味着满足该方程的s值（我们传递函数的极点）恰好是矩阵A的特征值。在S域中，要求系统的所有极点都位于左半平面，因此A的所有特征值都必须具有负实部。

冲激响应矩阵

我们可以定义冲激响应矩阵G(t, τ) 来进一步定义稳定性测试

[冲激响应矩阵]

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(t)\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

如果且仅当存在一个有限的正常数 *L*，使得对于所有时间 *t* 和所有初始条件 t₀，其中 $t\geq t_{0}$，以下积分成立，则该系统为 *一致稳定*。

$\int _{0}^{t}\|G(t,\tau )\|d\tau \leq L$

换句话说，上述积分必须具有有限值，否则系统不一致稳定。

在时不变情况下，脉冲响应矩阵简化为

$G(t)=\left\{{\begin{matrix}Ce^{At}B&{\mbox{ if }}t\geq 0\\0&{\mbox{ if }}t<0\end{matrix}}\right.$

在时不变系统中，我们可以使用脉冲响应矩阵通过取类似的积分来确定系统是否为一致 BIBO 稳定

$\int _{0}^{\infty }\|G(t)\|dt\leq L$

其中 *L* 是一个有限常数。

正定性

这些术语很重要，将在本主题的进一步讨论中使用。

• 如果对于所有 x，f(x) > 0，则 f(x) 为 *正定*。
• 如果对于所有 x，$f(x)\geq 0$，并且仅当 x = 0 时 f(x) = 0，则 f(x) 为 *半正定*。
• 如果对于所有 x，f(x) < 0，则 f(x) 为 *负定*。
• 如果对于所有 x，$f(x)\leq 0$，并且仅当 x = 0 时 f(x) = 0，则 f(x) 为 *半负定*。

如果 Hermitian 矩阵 X 的所有主子式都为正，则 X 为正定。此外，如果矩阵 X 的所有特征值都具有正实部，则 X 为正定。这两种方法可以互换使用。

正定性是一个非常重要的概念。以至于 Lyapunov 稳定性检验依赖于它。其他分类并不那么重要，但为了完整性而包括在此。

Lyapunov 稳定性

Lyapunov 方程

对于线性系统，我们可以使用下面的 *Lyapunov 方程* 来确定系统是否稳定。我们将首先给出 Lyapunov 方程，然后给出 *Lyapunov 稳定性定理*。

[Lyapunov 方程]

$MA+A^{T}M=-N$

其中 A 是系统矩阵，M 和 N 是 *p* × *p* 方阵。

Lyapunov 稳定性定理

如果存在一个矩阵 M 满足 *Lyapunov 方程*，其中 N 是一个任意正定矩阵，M 是一个唯一的正定矩阵，则 LTI 系统 $x'=Ax$ 是稳定的。

请注意，为了满足 Lyapunov 方程，矩阵必须是兼容的大小。事实上，矩阵 A、M 和 N 必须都是相同大小的方阵。或者，我们可以写

Lyapunov 稳定性定理（备选）

如果系统矩阵 A 的所有特征值都具有负实部，则对于每个正定矩阵 N，Lyapunov 方程都有一个唯一的解 M，并且该解可以通过以下方式计算：

$M=\int _{0}^{\infty }e^{A^{T}t}Ne^{At}dt$

如果可以以这种方式计算矩阵 M，则系统是渐近稳定的。

← 稳定性

控制系统

离散时间稳定性 →