控制系统/数字控制简介
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离散时间或数字系统的稳定性分析类似于连续时间系统的分析。然而，存在一些差异，因此需要单独的章节进行讨论。
如果存在一个正常数 L，使得以下条件成立，则 LTI 因果系统是一致 BIBO 稳定的
![{\displaystyle x[n_{0}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6475aebd307d5c470fd8e34059615fcb0cd4861)
![{\displaystyle \|u[n]\|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303eccf67e1d761aa092eee351727bc3108d9e09)
意味着
![{\displaystyle \|y[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8bf7f608ba8292dd99c8721ea388a903cfa32e)
我们可以将离散时间系统的脉冲响应矩阵定义为
[脉冲响应矩阵]
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3c7e26c324cb2aad5a5940457bfba00e3f77ce)
或者，在一般时变情况下
![{\displaystyle G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c455ebe07eb605f959ad30aa1c65f4093b0783)
当且仅当存在正常数 L，使得对于所有非负 k，以下条件成立时，数字系统是 BIBO 稳定的
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c006c870844644293fd834f0c0e1250b8fb800d)
当且仅当传递函数矩阵中所有传递函数的每一个极点的幅值都小于 1 时，MIMO 离散时间系统是 BIBO 稳定的。所有传递函数的所有极点都必须位于 Z 平面的单位圆内。
存在一个离散版本的李雅普诺夫稳定性定理，适用于数字系统。给定离散李雅普诺夫方程
[数字李雅普诺夫方程]
我们可以使用这个版本的李雅普诺夫方程来定义离散时间系统稳定性的条件
- 李雅普诺夫稳定性定理（数字系统）
- 如果系统矩阵 A 的数字系统在每个正定矩阵 N 都有一个唯一的矩阵 M 满足李雅普诺夫方程，则该系统是渐近稳定的。
G(z) 的每一个极点都是系统矩阵 A 的一个特征值。A 的每一个特征值都不是 G(z) 的极点。与传递函数的极点类似，系统矩阵的所有特征值的幅值都必须小于 1。数学上来说
如果系统矩阵 A 的特征值的幅值，或传递函数的极点大于 1，则系统不稳定。
数字计算机系统存在一个固有问题，因为可实现的计算机系统具有有限的字长来处理数据。其中一些问题包括：
- 实数只能以有限精度表示。通常情况下，计算机系统只能精确地表示一个数到有限的小数位数。
- 由于上述原因，带有反馈的计算机系统会在每次程序迭代时累积误差。算法中的一步的小误差可能会导致程序后期出现大的误差。
- 计算机系统中的整数具有有限长度。因此，整数将根据计算机系统的设计，要么**溢出**，要么**饱和**。这两种情况都可能导致不准确的结果。