控制系统/奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据是用于测试系统稳定性的测试，类似于 劳斯-赫尔维茨 测试或 根轨迹 方法。然而，奈奎斯特判据可以提供关于系统的更多信息。劳斯-赫尔维茨和根轨迹可以告诉我们系统极点在特定增益值下的位置。通过改变系统的增益，我们可以确定是否有任何极点移动到右半平面 (RHP)，从而变得不稳定。然而，奈奎斯特判据可以告诉我们关于系统频率特性的信息。例如，一些具有恒定增益的系统可能在低频输入下稳定，但在高频输入下变得不稳定。

这是一个例子，说明系统对不同频率输入值的响应不同：考虑一杯普通的水。如果水暴露在普通阳光下，它不太可能过热。然而，如果水暴露在微波辐射中（例如，来自你的微波炉内部），水将迅速沸腾。

此外，奈奎斯特判据可以告诉我们关于输入信号相位、系统时间延迟和其他重要信息。

轮廓

轮廓是一个复杂的数学构造，但幸运的是，我们只需要关心它们的一些点。我们用希腊字母 Γ (gamma) 来表示轮廓。轮廓是画在图上的线，它们遵循某些规则

1. 轮廓必须闭合（它必须形成一个完整的循环）
2. 轮廓不能直接穿过系统的极点。
3. 轮廓必须有方向（通常是顺时针或逆时针）。
4. 如果轮廓没有自相交，则称为“简单”轮廓。这里我们只考虑简单轮廓。

一旦我们有了这样的轮廓，我们就可以建立关于它们的几个重要定理，最后利用这些定理来推导出奈奎斯特稳定性判据。

幅角原理

以下是幅角原理，我们将用它来推导出稳定性判据。如果你不理解所有术语，不要担心，我们会逐步讲解。

幅角原理

如果我们在一个平面（例如复拉普拉斯平面）中绘制了一个轮廓 Γ，我们可以通过函数 F(s) 来变换这个轮廓，将其映射到另一个平面，即 F(s) 平面。结果轮廓，$\Gamma _{F(s)}$ 将围绕 F(s) 平面原点旋转 N 次，其中 N 等于 Z 和 P 之差（函数 F(s) 的零点和极点的数量分别）。

当我们有了轮廓 Γ 后，我们通过将轮廓上的每个点代入函数 F(s)，并将结果值作为变换后的轮廓上的一个点，将其变换为 $\Gamma _{F(s)}$。

示例：一阶系统

例如，假设 Γ 是复 s 平面中的一个单位正方形轮廓。正方形的顶点位于点 I、J、K、L，如下所示

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

我们还必须指定轮廓的方向，我们（任意地）说它是顺时针轮廓（从 I 到 J 到 K 到 L）。我们还将定义我们的变换函数 F(s) 为以下内容

$F(s)=2s+1$

我们可以分解 F(s) 的分母，我们可以证明在 s → -0.5 处有一个零点，并且没有极点。将此根绘制在与我们的轮廓相同的图形上，我们可以清楚地看到它位于轮廓内。由于 s 是一个复变量，定义了实部和虚部，如下所示

$s=\sigma +j\omega$

我们知道 F(s) 也必须是复数。为了简单起见，我们说 F(s) 平面中的轴是 u 和 v，它们之间的关系如下

$F(s)=u+vj=2(\sigma +j\omega )+1$

从这种关系，我们可以用 σ 和 ω 来定义 u 和 v

$u=2\sigma +1$

$v=2\omega$

现在，为了变换 Γ，我们将轮廓的每个点代入 F(s) 中，所得的值将是 $\Gamma _{F(s)}$ 的点。我们将求解复数值 u 和 v，并且我们将从顶点开始，因为它们是最简单的示例

$u+vj=F(I)=3+2j$

$u+vj=F(J)=3-2j$

$u+vj=F(K)=-1+2j$

$u+vj=F(L)=-1-2j$

我们可以将顶点之间的直线视为 s 的函数，并将整个函数代入变换。幸运的是，因为我们使用的是直线，我们可以大大简化

• 从 I 到 J 的直线：$\sigma =1,u=3,v=\omega$
• 从 J 到 K 的直线：$\omega =-1,u=2\sigma +1,v=-1$
• 从 K 到 L 的直线：$\sigma =-1,u=-1,v=\omega$
• 从 L 到 I 的直线：$\omega =1,u=2\sigma +1,v=1$

当我们绘制这些函数时，从顶点到顶点，我们看到 F(s) 平面中的所得轮廓是一个正方形，但没有以原点为中心，并且尺寸更大。请注意轮廓如何围绕 F(s) 平面的原点转动一次。这在后面会很重要。

示例：二阶系统

假设我们有一个稍微复杂一点的映射函数

$F(s)={\frac {s+0.5}{2s^{2}+2s+1}}$

我们可以清楚地看到 F(s) 在 s → -0.5 处有一个零点，并且在 s → -0.5 + 0.5j 和 s → -0.5 - 0.5j 处有一对共轭复极点。我们将使用上面相同的单位正方形轮廓 Γ

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

我们可以清楚地看到 F(s) 的极点和零点位于 Γ 内。将 F(s) 设置为 u + vj 并求解，我们得到以下关系

$u+vj=F(\sigma +j\omega )={\frac {(\sigma +0.5)+j(\omega )}{(2\sigma ^{2}-2\omega ^{2}+2\sigma +1)+j(2\sigma \omega +\omega )}}$

现在有点困难，因为我们需要简化整个表达式，并将其分离成实部和虚部。有两种方法可以做到这一点，但它们都不像这里展示的那样简短或容易

1. 我们将分子和分母多项式转换为以 r 和 θ 表示的极坐标形式，然后执行除法，最后再转换为直角坐标形式。
2. 我们将轮廓的每个线段代入这个方程，然后进行数值简化。

奈奎斯特轮廓

奈奎斯特等高线，使整个奈奎斯特准则起作用的等高线，必须包围复平面的整个不稳定区域。对于模拟系统，这是复 s 平面的右半部分。对于数字系统，这是单位圆外的整个平面。请记住，如果闭环传递函数的极点（或等效于特征方程的零点）位于复平面的不稳定区域，则该系统是不稳定的系统。

模拟系统

模拟系统的奈奎斯特等高线是一个无限的半圆，它包围了 s 平面的整个右半部分。半圆沿虚轴从负无穷大到正无穷大移动。从正无穷大开始，等高线从虚轴脱离，以顺时针方向，形成一个巨大的半圆。

数字系统

数字系统中的奈奎斯特等高线是单位圆的逆时针包围。

奈奎斯特准则

首先介绍处理奈奎斯特准则时最重要的方程

$N=Z-P$

其中

• N 是包围 (-1, 0) 点的圈数。
• Z 是特征方程的零点数。
• P 是开环特征方程的极点数。

有了这个方程，我们现在可以说明奈奎斯特稳定性判据

奈奎斯特稳定性判据

当 P 为 0 时，如果且仅当 F(s) 平面中的等高线 $\Gamma _{F(s)}$ 不包围 (-1, 0) 点，则反馈控制系统是稳定的。

当 P 为 0 时，如果且仅当 F(s) 平面中的等高线 $\Gamma _{F(s)}$ 包围 (-1, 0) 点的次数等于 Γ 包围的 F(s) 的极点数，则反馈控制系统是稳定的。

换句话说，如果 P 为零，则 N 必须等于零。否则，N 必须等于 P。从本质上讲，我们是在说 Z 必须始终等于零，因为 Z 是特征方程的零点数（因此也是闭环传递函数的极点数），它们位于 s 平面的右半部分。

请记住，我们不一定知道特征方程所有零点的具体位置。因此，如果我们使用奈奎斯特准则发现极点数不等于 N，那么我们就知道右半平面中一定有一个零点，因此该系统是不稳定的。

奈奎斯特 ↔ 波德

仔细观察奈奎斯特图会发现它与系统的波德图之间存在惊人的关系。如果我们使用波德相位图作为角度 θ，使用波德幅值图作为距离 r，那么很明显，系统的奈奎斯特图仅仅是波德图的极坐标表示。

要从波德图获得奈奎斯特图，我们取每个频率 ω 处的相位角和幅值。我们将幅值从分贝转换回增益比。然后，我们在极坐标图上绘制有序对 (r, θ)。

Z 域中的奈奎斯特

奈奎斯特准则可以在数字域中与模拟系统一样使用。使用准则的主要区别在于奈奎斯特等高线的形状必须发生变化，以包围 Z 平面的不稳定区域。因此，数字系统的奈奎斯特等高线不是无穷小的半圆，而是一个逆时针的单位圆。通过改变等高线的形状，相同的 N = Z - P 方程依然成立，得到的奈奎斯特图通常看起来与模拟系统的奈奎斯特图相同，并且可以以相同的方式解释。

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