控制系统/稳定性

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稳定性

当一个系统不稳定时，即使系统输入有限，系统输出也可能无限大。这会导致许多实际问题。例如，不稳定的机器人手臂控制器可能会导致机器人危险地移动。此外，不稳定的系统通常会造成一定程度的物理损坏，这可能会很昂贵。尽管如此，许多系统本质上是不稳定的——例如，战斗机或发射时的火箭，是自然不稳定系统的例子。虽然我们可以设计控制器来稳定系统，但首先重要的是要了解什么是稳定性、如何确定稳定性以及为什么它很重要。

本节中的章节高度依赖数学，许多章节都需要微分方程的基础知识。没有牢固的数学基础的读者可能希望在阅读这些材料之前复习《微积分》和《常微分方程》中的相关章节（或等效章节）。

在本章的大部分内容中，我们将假设系统是线性的，并且可以用一组传递函数或状态空间来表示。线性系统有一个相关的特征多项式，它告诉我们很多关于系统稳定性的信息。如果特征多项式的任何系数为零或负，则系统要不稳定，要不就是最多临界稳定。需要注意的是，即使特征多项式的所有系数都是正的，系统也可能仍然不稳定。我们将在下面更详细地研究这一点。

BIBO 稳定性

如果系统对任何有界输入在时间间隔 $[t_{0},\infty )$ 上都产生有界输出，则该系统被定义为 **BIBO 稳定**。这必须对所有初始时间 t_o 成立。只要我们不对系统输入无穷大，我们就不会得到无穷大的输出。

如果存在一个与 t₀ 无关的正常数 k，使得对所有 t₀ 满足以下条件，则系统被定义为 **均匀 BIBO 稳定**

\|u(t)\|\leq 1

t\geq t_{0}

意味着

\|y(t)\|\leq k

有许多不同类型的稳定性，以及与稳定性主题相关的关键词。我们将在本章和接下来的几章中讨论的一些重要词语包括：**BIBO 稳定**、**临界稳定**、**条件稳定**、**均匀稳定**、**渐近稳定**和**不稳定**。所有这些词语的含义略有不同。

确定 BIBO 稳定性

我们可以用数学方法证明，如果任意输入 x 由两个有限但大的任意常数 M 和 -M 限制，则系统 f 是 BIBO 稳定的

-M<x\leq M

我们将输入 x 和任意边界 M 和 -M 应用于系统以产生三个输出

y_{x}=f(x)

y_{M}=f(M)

y_{-M}=f(-M)

现在，所有三个输出都应该对 M 和 x 的所有可能值都是有限的，并且应该满足以下关系

y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}

如果满足此条件，则系统是 BIBO 稳定的。

单输入单输出 (SISO) 线性时不变 (LTI) 系统当且仅当 $g(t)$ 在 [0,∞] 上绝对可积，或

\int _{0}^{\infty }|g(t)|\,dt\leq M<{\infty }

示例

考虑系统

h(t)={\frac {2}{t}}

我们可以应用我们的测试，选择一个任意大的有限常数 M，和一个任意输入 x，使得 M>x>-M

当 M 趋于无穷大（但不达到无穷大）时，我们可以证明

y_{-M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{-M}}=0^{-}

以及

y_{M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{M}}=0^{+}

所以现在，我们可以写出我们的不等式

y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}

0^{-}\leq x<0^{+}

这个不等式应该对所有可能的 x 值都成立。然而，我们可以看到，当 x 为零时，我们有以下结果

y_{x}=\lim _{x\to 0}{\frac {2}{x}}=\infty

这意味着 x 在 -M 和 M 之间，但 y_x 的值不在 y_-M 和 y_M 之间。因此，该系统不稳定。

极点与稳定性

当给定系统的闭环传递函数的极点位于 S 平面 (RHP) 的右半部分时，系统变得不稳定。当系统的极点位于左半平面 (LHP) 且系统不是不适当的时，系统被证明是稳定的。一些测试处理稳定性的这个特定方面：劳斯-赫维茨准则、根轨迹和奈奎斯特稳定性准则都测试传递函数在 RHP 中是否存在极点。我们将在接下来的章节中学习所有这些测试。

如果系统是多变量系统，或者 MIMO 系统，那么当且仅当传递函数矩阵中的每个传递函数的每个极点的实部为负，并且传递函数矩阵中的每个传递函数都不是不适当的，系统才是稳定的。对于这些系统，可以使用后面描述的劳斯-赫维茨、根轨迹和奈奎斯特方法，但这些方法必须对传递函数矩阵中的每个单独的传递函数执行一次。