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系统指标

在设计和分析系统时，用各种奇怪的输入函数测试系统，或测量各种任意性能指标毫无意义。相反，在所有人的最大利益中，应该用一组标准的简单参考函数来测试系统。一旦系统用参考函数测试完毕，我们可以使用许多不同的指标来确定系统性能。

值得注意的是，本章介绍的指标仅仅代表可以用于评估给定系统的一小部分指标。本维基教科书将沿途介绍其他有用的指标，因为它们的需要变得明显。

标准输入

注意:
所有标准输入在时间零之前均为零。所有标准输入都是因果关系的。

在设计系统时，有一些标准输入被认为足够简单和通用，因此会被考虑在内。这些输入被称为单位阶跃、斜坡和抛物线输入。

单位阶跃: 单位阶跃函数被定义为分段函数，如下所示

[单位阶跃函数]

u(t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{matrix}}\right.

单位阶跃函数是一个非常重要的函数，不仅在控制系统工程中，而且在信号处理、系统分析和所有工程分支中也是如此。如果将单位阶跃函数输入到系统中，则系统的输出被称为阶跃响应。阶跃响应是系统的一个重要工具，我们将在后面的章节中详细研究阶跃响应。

斜坡: 单位斜坡函数根据单位阶跃函数定义，如下所示

[单位斜坡函数]

r(t)=tu(t)

重要的是要注意，单位阶跃函数仅仅是单位斜坡函数的微分

r(t)=\int u(t)dt=tu(t)

当我们学习拉普拉斯变换时，这个定义会派上用场。

抛物线: 单位抛物线输入类似于斜坡输入

[单位抛物线函数]

p(t)={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)

还要注意，单位抛物线输入等于斜坡函数的积分

p(t)=\int r(t)dt=\int tu(t)dt={\frac {1}{2}}t^{2}u(t)={\frac {1}{2}}tr(t)

同样，这个结果将在我们学习拉普拉斯变换时变得重要。

此外，正弦和指数函数也被认为是基本的，但它们在系统的初始分析中太难使用。

稳态

注意:
更准确地说，我们应该取t趋于无穷大的极限。但是，为了简化表示，我们通常会说“t 等于无穷大”，并假设读者理解所使用的快捷方式。

当将单位阶跃函数输入到系统时，该系统的稳态值是系统在时间 $t=\infty$ 时的输出值。由于在无穷大时观察系统是不切实际的（如果不是完全不可能的话），因此会使用近似值和数学计算来确定系统的稳态值。大多数系统响应是渐近的，也就是说响应接近某个特定值。从观察该响应的图形可以明显看出渐近的系统。

阶跃响应

系统的阶跃响应最常用于分析系统，并且阶跃响应涉及大量的术语。当暴露于阶跃输入时，系统最初将有一个不可取的输出周期，被称为瞬态响应。瞬态响应发生是因为系统正在接近其最终输出值。系统的稳态响应是在瞬态响应结束后产生的响应。

系统输出达到所需值所花费的时间（在瞬态响应结束之前，通常）被称为上升时间。瞬态响应结束和稳态响应开始所花费的时间被称为调节时间。

系统工程师通常会尝试改进系统的阶跃响应。一般来说，希望减小瞬态响应，缩短上升时间和调节时间，并且稳态接近特定的所需“参考”输出。

具有 $x(t)=Mu(t)$ 的任意阶跃函数	输入x(t) 到一个虚构系统的阶跃响应图

目标值

目标输出值是系统在给定输入下试图获得的值。这与稳态值不同，稳态值是系统实际获得的值。目标值通常被称为参考值或系统的“参考函数”。本质上，这是我们希望系统产生的值。当我们在电梯中输入“5”时，我们希望输出（电梯的最终位置）是五楼。按下“5”按钮是参考输入，是我们期望获得的值。如果我们按下“5”按钮，电梯却到了三楼，那么我们的电梯设计就很糟糕。

上升时间

上升时间是系统响应从初始状态为零达到目标值所需的时间。许多关于该主题的教科书将上升时间定义为从初始位置上升到目标值的 80% 所需的时间。这是因为有些系统永远不会上升到预期目标值的 100%，因此它们将具有无限的上升时间。本书将指定每个问题的使用约定。上升时间通常用t_r或t_rise表示。

百分比过冲

欠阻尼系统通常会在初始时超过其目标值。这种初始激增被称为“过冲值”。过冲量与系统目标稳态值的比率称为百分比过冲。百分比过冲代表系统的过度补偿，可能会输出危险的大的输出信号，从而损坏系统。百分比过冲通常用PO表示。

示例：冰箱

考虑一台普通的家庭冰箱。冰箱有开和关的循环。当冰箱打开时，冷却剂泵正在运行，冰箱内部的温度降低。温度下降到远低于所需水平，然后泵关闭。

当泵关闭时，温度会随着热量被吸收进入冰箱而缓慢升高。当温度升高到足够高时，泵将重新启动。由于泵最初会使冰箱比需要的温度低得多，因此我们可以说它以一定量的“过冲”超过了目标值。

示例：冰箱

另一个与冰箱有关的例子是热泵首次启动时的电力需求。泵是一种感应机械电机，当电机首次启动时，一种称为“反电动势”的特殊反作用力会抵抗电机的运动，并导致泵消耗更多电力，直到电机达到其最终速度。在泵启动期间，与冰箱在同一电路上的灯可能会有轻微的变暗，因为电力从灯中转移到泵中。这种最初的电力消耗是过冲的典型例子。

稳态误差

通常，字母e或E将用于表示误差值。

有时系统可能永远无法达到所需的稳态值，而是会稳定在不希望的输出值上。稳态输出值与稳态时参考输入值之间的差值称为系统的稳态误差。我们将使用变量e_ss来表示系统的稳态误差。

调节时间

在系统的初始上升时间之后，一些系统会在系统输出稳定在最终值之前振荡和振动一段时间。从初始上升时间开始达到稳态所需的时间称为调节时间。请注意，阻尼振荡系统可能永远不会完全稳定，因此我们将调节时间定义为系统达到并保持在一定可接受范围内的所需时间。调节时间的可接受范围通常由每个问题决定，尽管常见的值是目标值的 20%、10% 或 5%。调节时间将表示为t_s。

系统阶数

系统阶数由系统中独立储能元件的数量定义，直观地由描述系统的线性微分方程的最高阶数定义。在传递函数表示中，阶数是传递函数中最高指数。在真系统中，系统阶数定义为分母多项式的次数。在状态空间方程中，系统阶数是系统中使用的状态变量的数量。系统的阶数通常用n或N表示，尽管这些变量也用于其他目的。本书将明确区分这些变量的使用。

真系统

真系统是一个系统，其中分母的次数大于或等于分子多项式的次数。严格真系统是一个系统，其中分母多项式的次数大于（但从不等于）分子多项式的次数。双真系统是一个系统，其中分母多项式的次数等于分子多项式的次数。

重要的是要注意，只有真系统才能在物理上实现。换句话说，一个非真系统是不可能建造的。没有必要花费大量时间来设计和分析假想的系统。

示例：系统阶数

找到这个系统的阶数

G(s)={\frac {1+s}{1+s+s^{2}}}

分母中最高的指数是 s²，因此系统是二阶。此外，由于分母的次数高于分子，因此该系统是严格真的。

在上面的例子中，G(s) 是一个二阶传递函数，因为分母中一个 s 变量的指数为 2。二阶函数是最容易处理的。

系统类型

假设我们有一个过程传递函数（或函数组合，例如控制器馈入过程），所有这些都位于单位反馈回路的前向分支中。假设整个前向分支传递函数采用以下广义形式（称为零极点形式）

[零极点形式]

G(s)={\frac {K\prod _{i}(s-s_{i})}{s^{M}\prod _{j}(s-s_{j})}}

原点处的极点被称为积分器，因为它们对输入信号执行积分。

我们将参数M 称为系统类型。请注意，系统类型编号的增加对应于 s = 0 处极点的数量增加。原点处更多极点通常对系统有益，但它们会增加系统的阶数，并使物理实现越来越困难。系统类型通常用字母表示，如N、M 或m。由于这些变量通常被重复用于其他目的，本书将在使用时进行明确区分。

现在，我们将定义一些在讨论系统类型时常用的术语。这些新术语是位置误差、速度误差和加速度误差。这些名称是物理学术语的回归，其中加速度是速度的导数，而速度是位置的导数。请注意，这些术语都不打算处理运动。

位置误差: 位置误差，用位置误差常数 $K_{p}$ 表示。这是系统在受到单位阶跃输入激励时的稳态误差量。我们定义位置误差常数如下：

[位置误差常数]

K_{p}=\lim _{s\to 0}G(s)

其中 G(s) 是我们系统的传递函数。

速度误差: 速度误差是系统在受到斜坡输入激励时的稳态误差量。我们定义速度误差常数如下：

[速度误差常数]

K_{v}=\lim _{s\to 0}sG(s)

加速度误差: 加速度误差是系统在受到抛物线输入激励时的稳态误差量。我们定义加速度误差常数为：

[加速度误差常数]

K_{a}=\lim _{s\to 0}s^{2}G(s)

现在，此表将简要显示系统类型、输入类型（阶跃、斜坡、抛物线）和系统稳态误差之间的关系。

	单位系统输入
类型，M	Au(t)	Ar(t)	Ap(t)
0	$e_{ss}={\frac {A}{1+K_{p}}}$	$e_{ss}=\infty$	$e_{ss}=\infty$
1	$e_{ss}=0$	$e_{ss}={\frac {A}{K_{v}}}$	$e_{ss}=\infty$
2	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$	$e_{ss}={\frac {A}{K_{a}}}$
> 2	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$	$e_{ss}=0$