控制系统/系统建模

控制过程

控制工程师的工作是分析现有系统，并设计新系统以满足特定需求。有时需要设计新系统，但更常见的是需要设计一个控制器单元来提高现有系统的性能。在设计系统或实施控制器来增强现有系统时，我们需要遵循一些基本步骤

1. 用数学模型对系统进行建模
2. 分析数学模型
3. 设计系统/控制器
4. 实施系统/控制器并测试

本书的大部分内容将重点关注 (2)，即对数学系统的分析。本章将专门用于讨论系统的数学建模。

外部描述

系统的外部描述将系统输入与系统输出联系起来，而不显式考虑系统的内部工作原理。系统的外部描述有时也称为系统的输入-输出描述，因为它只处理系统的输入和输出。

如果系统可以用数学函数h(t, r)表示，其中t是观察输出的时间，r是施加输入的时间。我们可以通过使用积分将系统函数h(t, r)与输入x和输出y联系起来

[一般系统描述]

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,r)x(r)dr$

这种积分形式适用于所有线性系统，每个线性系统都可以用这样的方程描述。

如果一个系统是因果的（即t=r时的输入仅影响系统行为 $t\geq r$）并且在t=0之前没有系统输入，我们可以改变积分的极限

$y(t)=\int _{0}^{t}h(t,r)x(r)dr$

时不变系统

如果系统还时不变，我们可以将系统描述方程改写如下

$y(t)=\int _{0}^{t}h(t-r)x(r)dr$

这个方程被称为卷积积分，我们将在下一章中详细讨论它。

每个线性时不变 (LTI) 系统都可以与拉普拉斯变换一起使用，这是一个强大的工具，它允许我们将方程从时域转换为S域，在 S域中许多计算更容易。时变系统不能与拉普拉斯变换一起使用。

内部描述

如果一个系统是线性和集中的，它也可以用一组方程来描述，这些方程被称为状态空间方程。在状态空间方程中，我们使用变量x来表示系统的内部状态。然后我们使用u作为系统输入，我们继续使用y作为系统输出。我们可以将状态空间方程写成这样

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

当我们进入现代控制部分时，我们将更多地讨论状态空间方程。

复杂描述

LTI 和集中的系统也可以用状态空间方程和拉普拉斯变换的组合来描述。如果我们对上面列出的状态方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到一组称为传递矩阵函数的函数。我们将在后面的章节中讨论这些函数。

表示

回顾一下，我们将准备一个表格，其中包含各种系统属性，以及描述系统的可用方法

属性	状态空间 方程式	拉普拉斯 变换	传递 矩阵
线性、时变、分布式	否	否	否
线性、时变、集中式	是	否	否
线性、时不变、分布式	否	是	否
线性、时不变、集中式	是	是	是

我们将在本书后面讨论所有这些不同的系统表示类型。

分析

一旦使用上面列出的表示方法之一对系统进行建模，就需要分析系统。我们可以确定系统的指标，然后将这些指标与我们的规格进行比较。如果我们的系统满足规格，我们就可以完成设计过程。但是，如果系统不满足规格（通常情况下），则需要设计和添加合适的控制器和补偿器。

一旦控制器和补偿器设计完成，工作还没有结束：我们需要分析新的复合系统以确保控制器正常工作。此外，我们需要确保系统稳定：不稳定的系统可能很危险。

频域

对于建议、早期阶段设计和快速周转分析，频域模型通常优于时域模型。频域模型直接采用扰动 PSD（功率谱密度），直接使用传递函数，并直接生成输出或残差 PSD。答案是稳态响应。通常，控制器旨在实现 0，因此稳态响应也是残差误差，这将是分析输出或报告的指标。

表 1：频域模型输入和输出

输入	模型	输出
PSD	传递函数	PSD

数学简要概述

频域建模是确定系统对随机过程的脉冲响应的问题。

图 1：频域系统

$S_{YY}\left(\omega \right)=G^{*}\left(\omega \right)G\left(\omega \right)S_{XX}=\left|G\left(\omega \right)\right\vert S_{XX}$

其中

$S_{XX}\left(\omega \right)$ 是单边输入 PSD，以 ${\frac {magnitude^{2}}{Hz}}$ 为单位

$G\left(\omega \right)$ 是系统的频率响应函数，并且

$S_{YY}\left(\omega \right)$ 是单边输出 PSD 或自功率谱密度函数。

频率响应函数 $G\left(\omega \right)$ 与脉冲响应函数（传递函数）的关系为

$g\left(\tau \right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\omega t}H\left(\omega \right)\,d\omega$

请注意，一些文本会说明这仅对平稳随机过程有效。其他文本建议平稳和遍历，而另一些文本则说明弱平稳过程。一些文本没有区分严格平稳和弱平稳。从实践经验来看，经验法则是，如果输入过程的 PSD 逐小时和逐日保持一致，则可以使用输入 PSD，并且上述方程有效。

笔记

在 ControlTheoryPro.com 上查看包含示例的完整说明

建模示例

控制系统中的建模通常是判断的问题。这种判断是通过创建模型和从他人的模型中学习来发展起来的。ControlTheoryPro.com 是一个包含许多示例的网站。以下是其中一些链接

• 悬停直升机示例
• 反作用力矩抵消示例
• ControlTheoryPro.com 上所有示例的列表

制造

一旦系统设计妥当，我们就可以制作原型并对其进行测试。假设我们的分析是正确的，我们的设计也很好，原型应该按预期工作。现在我们可以继续制造和分发我们的完整系统。

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