离散数学/集合论/练习

集合论练习 1

1

以下每个集合是否为良定义集合？为每个答案给出简短的原因。

(a) 所有字母数字字符的集合。

(b) 所有高个子的集合。

(c) 所有满足以下条件的实数x的集合：

2x – 9 = 16.

(d) 所有满足以下条件的整数x的集合：

2x – 9 = 16.

(e) 所有优秀网球运动员的集合。

2

U = {自然数}；A = {2, 4, 6, 8, 10}；B = {1, 3, 6, 7, 8}

判断以下每个语句是否为真或假

(a) 2 ∈ A

(b) 11 ∈ B

(c) 4 ∉ B

(d) A ∈ U

(e) A = {偶数}

3

U = R；A = {4, √2, 2/3, -2.5, -5, 33, √9, π}

使用{…} 集合符号，写出以下集合：

(a) A 中的自然数

(b) A 中的整数

(c) A 中的有理数

(d) A 中的无理数

4

真或假？

(a)ø = {0}

(b) x ∈ { x }

(c)ø = { ø }

(d)ø∈ {ø }

5

以下集合使用 | 符号定义。通过列出一些元素来重新写它们。

(a) {p | p 是一座首都城市，p 在欧洲}

(b) {x | x = 2n - 5，x 和 n 是自然数}

(c) {y | 2y² = 50，y 是一个整数}

(d) {z | 3z = n²，z 和 n 是自然数}

答案

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集合论练习 2

1

在A中？	在B中？	在C中？	区域
Y	Y	Y
Y	Y	N
Y	N	Y
Y	N	N
N	Y	Y
N	Y	N
N	N	Y
N	N	N

将真值表复制到右侧，并在每行的末尾写下图 4 韦恩图中对应区域的编号。

2

如果U = {字母的集合}，A = {a, a, a, b, b, a, c}，B = {c, b, a, c} 并且 C = {a, b, c}，那么关于 A、B 和 C 可以说些什么？

3

U = {自然数}；A = {2, 4, 6, 8, 10}；B = {1, 3, 6, 7, 8}

判断以下每个语句是否为真或假

(a) A ⊂ U

(b) B ⊆ A

(c)ø⊂ U

4

U = {a, b, c, d, e, f, g, h}；P = {c, f}；Q = {a, c, d, e, f, h}；R = {c, d, h}

(a) 画一个韦恩图，显示这些集合，并将所有元素输入到相应的区域。如果需要，重新绘制图表以消除任何空区域。

(b) P、Q 和 R 中哪些集合是其他集合的真子集？使用 ⊂ 符号写出您的答案。

(c) P 和 R 是不相交集合。真或假？

5

绘制韦恩图，显示全集 U、集合 A 和 B，以及以下每种情况下单个元素 x

(a) x ∈ A；A ⊂ B

(b) x ∈ A；A 和 B 是不相交的

(c) x ∈ A；x ∉ B；B ⊂ A

(d) x ∈ A；x ∈ B；A 不是 B 的子集；B 不是 A 的子集

答案

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集合论练习 3

1

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 6, 7, 8}

C = {3, 7}

(a) 在韦恩图中说明集合 U、A、B 和 C，将所有元素标记在适当的位置。（注意：如果图表中的任何区域不包含任何元素，请重新绘制集合循环以更正此问题。）

(b) 使用您的韦恩图，列出以下每个集合中的元素

A ∩ B，A ∪ C，A′，B′，B ∩ A′，B ∩ C′，A – B，A Δ B

(c) 使用单个符号完成语句：C - B = ... .

2

真或假？

(a) |ø | = 1

(b) | { x, x } | = 2

(c) | U ∩ø | = 0

3

如果您能说出关于两个集合 P 和 Q 的哪些信息，则

(a) P ∩ Q′ =ø

(b) P ∪ Q = P？

问题 4

4

制作六个附带所示韦恩图的副本，然后阴影表示以下区域

(a) A ′ ∪ B

(b) A ∩ B ′

(c) (A ∩ B) ′

(d) A ′ ∪ B ′

(e) (A ∪ B) ′

(f) A ′ ∩ B ′

5

使用集合符号 ∩、∪ 和 ′ 仅识别以下阴影区域表示的集合

(a)	(b)
(c)	(d)

6

(a) 问题 5 中的一个阴影区域表示集合 A – B。确定是哪一个，然后使用列表 ∩、∪ 和 ′ 中的符号仅写出 A – B 的定义。

(b) 再次使用您对问题 5 的答案之一，使用列表 ∩、∪ 和 ′ 中的符号仅写出 A Δ B 的定义。（这里有两个可能性——看看您是否能找到它们！）

答案

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集合论练习 4

1

(a) 如果 A = {1, 2, 3, 4}，通过列出其元素写出 P(A)。| P(A) | 的值是多少？

(b) 如果 | A | = 5，| P(A) | 的值是多少？

(c) 如果 | A | = 10，| P(A) | 的值是多少？

2

证明以下恒等式，仔细说明在证明的每个阶段您使用了哪些集合定律。

(a) B ∪ (ø∩ A) = B

(b) (A ′ ∩ U) ′ = A

(c) (C ∪ A) ∩ (B ∪ A) = A ∪ (B ∩ C)

(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ' ) = A

(e) (A ∩ B) ∪ (A ∪ B ' ) ′ = B

(f) A ∩ (A ∪ B) = A

答案

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集合论练习 5

1

X = {a, c} 并且 Y = {a, b, e, f}。

写下以下元素：

(a) X × Y

(b) Y × X

(c) X ² (= X × X)

(d) 如果 A × B = B × A，您能对两个集合 A 和 B 说些什么？

2

国际象棋棋盘的 8 行标号为 1 到 8，其 8 列标号为 a 到 h。棋盘的每个方格都用有序对 (列字母，行号) 来描述。

(a) 马的位置在 (d, 3)。写下它在马走一步后的可能位置。

(b) 如果 R = {1, 2, ..., 8}，C = {a, b, ..., h}，并且 P = {国际象棋棋盘上所有方格的坐标}，使用集合符号用 R 和 C 表示 P。

(c) 车的位置在 (g, 2)。如果 T = {2} 并且 G = {g}，用 R、C、T 和 G 表示车走一步后的可能位置。

3

在某种编程语言中，所有变量名必须是 3 个字符长。第一个字符必须是 'a' 到 'z' 之间的字母；其他可以是 '0' 到 '9' 之间的字母或数字。

如果 L = {a, b, c, ... , z}，D = {0, 1, 2, ..., 9}，并且 V = {允许的变量名}，使用笛卡尔积来完成

V = {pqr | (p, q, r) ∈ ... }

4

人们认为，对于任何集合 A、B 和 C，A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)。

(注意，如果这是真的，它表明 × 是对 ∩ 的分配。)

复制并完成下面显示的两个笛卡尔图——每个图表示等式两边的表达式——以调查这一点。

您认为这个命题是正确的吗？

答案

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