向量
免费高中科学教材：高中物理学生教科书。
主页 - << 上一章（波和波动） - 下一章（力）>>
PGCE 评论 - 待办事项列表 - 介绍 - 示例 - 数学性质 - 加法 - 分量 - 重要性 - 重要量、方程和概念

向量加法的技巧

现在你已经熟悉了向量的数学性质，我们将更详细地讨论向量加法。向量加法有多种技巧。这些技巧分为两大类——图形技巧和代数技巧。

图形技巧

图形技巧涉及绘制精确比例图来表示各个向量及其合向量。接下来我们将讨论两种主要的图形技巧，首尾相接法和平行四边形法。

首尾相接法

在描述向量的数学性质时，我们使用了位移和首尾相接图形向量加法作为示例。在首尾相接向量加法中，遵循以下策略

选择比例尺并包含参考方向。
选择要相加的任意向量，并将其绘制成箭头，方向正确，长度正确——记住在末端放一个箭头来表示其方向。
取下一个向量，将其绘制成箭头，从第一个向量的箭头开始，方向正确，长度正确。
继续直到你绘制了每个向量——每次都从前一个向量的头部开始。这样，要相加的向量就被绘制成首尾相接的形式。
然后，合向量是从第一个向量的尾部到最后一个向量的头部绘制的向量。其大小可以通过使用比例尺从其箭头的长度确定。其方向也可以从比例尺图中确定。

例题 4 首尾相接图形加法 I

问题：一艘船从港口 H 出发，向北航行 6 km 到港口 A。从这里，船向东航行 12 km 到港口 B，然后向西南航行 5.5 km 到港口 C。使用首尾相接向量加法来确定船的合位移。

解答

现在，我们面临一个实际问题：在这个问题中，位移太大，无法按实际长度绘制！绘制一个 2 km 长的箭头需要一本非常大的书。就像制图师（绘制地图的人）一样，我们必须选择一个比例尺。比例尺的选择取决于实际问题——你应该选择一个比例尺，使你的向量图适合页面。在选择比例尺之前，应始终绘制问题的草图。在草图中，你感兴趣的是向量图的近似形状。

步骤 1

让我们画出这种情况的草图

在草图中，应包含问题中给出的所有信息。所有位移的大小都已显示，并且已包含指南针作为参考方向。

步骤 2

接下来，我们选择一个适合我们向量图的比例尺。从草图中可以清楚地看到，在这个问题中选择 1 cm 代表 1 km 的比例尺（比例尺：1 cm = 1 km）将是一个不错的选择）——这样图就会占据 A4 纸的一大部分。现在我们开始精确的构建。

步骤 3

构建步骤 1：从港口 H 开始，我们绘制第一个向量，长度为 6 cm，方向为北（记住，在图中，1 cm 代表 1 km）

构建步骤 2：由于船现在位于港口 A，因此我们从这一点开始绘制第二个向量，长度为 12 cm，方向为东

构建步骤 3：由于船现在位于港口 B，因此我们从这一点开始绘制第三个向量，长度为 5.5 cm，方向为西南。需要使用量角器来测量 45^o 的角度。

构建步骤 4：作为最后一步，我们从起点（港口 H）到终点（港口 C）绘制合位移。我们使用尺子测量此箭头的长度，使用量角器确定其方向

步骤 4

现在，我们使用比例尺将比例尺图中合向量的长度转换为问题中的实际位移。由于我们在这个问题中选择了 1 cm = 1 km 的比例尺，因此合向量的大小为 8.38 km。方向可以按角度来指定，可以是北偏东 75.4^o 或方位角 75.4^o。

步骤 5

现在，我们可以给出最终答案：船的合位移是方位角 75.4^o，8.38 km！

例题 5 首尾相接图形加法 II

问题：一个人向东走了 40 m，然后向北走了 30 m。

a) 他一共走了多远？

b) 他的合位移是多少？

解答

步骤 1

这个人走了多远？在他旅程的第一部分，他走了 40 m，在第二部分，他走了 30 m。这使得他总共走了 $40+30=70\ m$

步骤 2

他的合位移是多少？这个人的合位移是从他开始的地方到他结束的地方的向量。它是他的两个独立位移的总和。我们将使用精确构建的首尾相接法来找到这个向量。首先，我们绘制一个草图

文件：Fhsst vectors36.png

步骤 3

接下来，我们选择一个适合此问题的比例尺。一个 1 cm 代表 5 m 的比例尺（1 cm = 5 m）将是一个不错的选择。现在，我们可以开始构建过程。

步骤 4

我们绘制第一个位移，将其绘制成一个 8 cm 长的箭头（根据比例尺 $8cm=8\times 5m=40m$ )，方向为东

步骤 5

从第一个向量的头部开始，我们绘制第二个位移，将其绘制成一个 6 cm 长的箭头（根据比例尺 $6cm=6\times 5m=30m$ )，方向为北：</math>

步骤 6

现在，我们将起点连接到终点，并测量此箭头（合向量）的长度和方向

步骤 7

最后，我们使用比例尺将比例图中合成的长度转换为合成位移的实际大小。根据所选比例尺，1cm = 5m。因此，10cm 代表 50m。合成位移为 50m，方向为东偏北 36.9^o。

平行四边形法则

当需要找到两个向量的合成时，可以应用另一种图形技术 - 平行四边形法则。采用以下策略

选择一个比例尺和一个参考方向。
选择要添加的两个向量中的任何一个，并将其绘制为在正确方向上的正确长度的箭头。
以正确长度和正确方向绘制第二个向量，使其从第一个向量的尾部开始。
完成由这两个向量形成的平行四边形。
合成向量是平行四边形的对角线。它的大小可以根据比例尺从其箭头的长度确定。它的方向也可以从比例图中确定。

例题 6

平行四边形法则的图形加法 I

问题：一个力 F₁ = 5 N 水平作用于一个物体。另一个力 F₂ = 4 N 以 30° 的角度作用于该物体，该角度相对于水平方向向上。

使用平行四边形法则的精确作图方法，确定作用于该物体的合力。

解答

步骤 1

首先，我们绘制向量图的草图

步骤 2

现在，我们选择一个合适的比例尺。在这个问题中，1 cm = 0.5 N 的比例尺是合适的，因为这样向量图将占据页面的一部分。

步骤 3

让我们先绘制 F₁。根据比例尺，它的长度为 10 cm

步骤 4

接下来，我们绘制 F₂。根据比例尺，它的长度为 8 cm。我们使用量角器以 30° 的角度绘制此向量，该角度相对于水平方向向上。

步骤 5

接下来，我们完成平行四边形并绘制对角线

RIAAN 注意：图像丢失 img155.png PDF 第 51 页 文件:Fhsst vectors43.png

步骤 6

最后，我们使用比例尺将测量的长度转换为实际大小。由于 1 cm = 0.5 N，因此 17.4 cm 代表 8.7 N。因此，合力为 8.7 N，方向为水平方向向上 13.3°。

平行四边形法则仅限于两个向量的加法。然而，它可以说是加法作用于一点的两个力最直观的方式。

向量的代数加减

直线上的向量

当您需要添加作用于直线上的向量时（即一些指向左侧，一些指向右侧，或一些向上作用，一些向下作用），您可以使用非常简单的代数技术

选择一个正方向。例如，对于涉及向西和向东位移的情况，您可以选择西作为您的正方向。在这种情况下，向东的位移为负。
接下来，简单地添加（或减去）具有适当符号的向量。
最后，应以文字形式包含合成向量方向（正答案在正方向上，而负答案在负方向上）。

让我们考虑几个例子。

例题 7

代数加法 I

问题：一个网球向右侧 10m 远的墙壁滚动。如果撞击墙壁后网球沿地面再向左侧滚动 2.5m，代数计算网球的合成位移。

(备忘：PGCE 建议一个“更现实”的图，然后是一个用来解决问题的图（就像我们现有的图，其中正方向用箭头表示））

解答

步骤 1

让我们画出这种情况的图

步骤 2

我们知道网球的合成位移（ ${\overrightarrow {s}}_{resultant}$ ) 等于网球单独位移的总和（ ${\overrightarrow {s}}_{1}$ 和 ${\overrightarrow {s}}_{2}$ )

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&{\overrightarrow {s}}_{1}+{\overrightarrow {s}}_{2}\end{matrix}}

由于网球的运动是直线运动（即网球向左和向右移动），我们可以使用刚刚解释的代数加法方法。

步骤 3

首先，我们选择一个正方向。让我们将向右作为正方向。这意味着向左成为负方向。

步骤 4

当向右为正时

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{1}&=&+10.0m\\&and&\\{\overrightarrow {s}}_{2}&=&-2.5m\end{matrix}}

步骤 5

接下来，我们简单地将两个位移相加以得到合成位移

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&(+10m)+(-2.5m)\\&=&(+7.5)m\end{matrix}}

步骤 6

最后，在这种情况下，向右表示正，因此

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&7.5m{\rm {\ to\ the\ right}}\end{matrix}}$

让我们来看一个向量减法的例子。

例题 8

用代数方法减去向量 I

问题：假设一个网球以 3m.s⁻¹ 的速度水平地向墙壁抛去。球撞击墙壁后，以 2m.s⁻¹ 的速度返回抛球者。求球的速度变化。

解答

步骤 1

记住速度是一个向量。球的速度变化等于球的初速度和末速度之差

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}\end{matrix}}

由于球沿直线运动（即左右），我们可以使用前面讨论的向量减法的代数方法。

步骤 2

让我们将向右定为正方向。这意味着向左就成了负方向。

步骤 3

当向右为正时

{\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}_{initial}&=&+3m.s^{-1}\\&and&\\{\overrightarrow {v}}_{final}&=&-2m.s^{-1}\end{matrix}}

步骤 4

因此，球的速度变化为

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&(-2m.s^{-1})-(+3m.s^{-1})\\&=&(-5)m.s^{-1}\end{matrix}}

记住，在这种情况下，右代表正值，所以

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&5m.s^{-1}{\rm {\textbf {\ to\ the\ {\emph {left}}}}}\end{matrix}}

记住，前面讨论的加减法只能应用于沿直线作用的向量。

更一般的代数方法

在例题 3 中，我们使用了首尾相连法，精确地画图来确定一个先向东走然后向北走的人的合位移。然而，无需绘制精确的比例图就可以计算出该人的合位移。让我们重新审视一下这个例子。

例题 9

例题 3 的代数解法

问题：一个人向东走 40 m，然后向北走 30 m。

计算该人的合位移。

解答

步骤 1

和以前一样，粗略的示意图如下

步骤 2

请注意，由他的单独位移向量和他的合位移向量形成的三角形是一个直角三角形。因此，我们可以使用勾股定理来确定合位移的长度。如果合位移向量的长度称为 s，那么

{\begin{matrix}s^{2}&=&(40m)^{2}+(30m)^{2}\\s^{2}&=&2500m^{2}\\s&=&50m\\\end{matrix}}

步骤 3 : 现在我们有了合位移向量的长度，但还没有它的方向。为了确定它的方向，我们计算合位移向量与东之间的角度 $\alpha$ 。

我们可以使用简单的三角函数来做到这一点

{\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {opposite}{adjacent}}\\\tan \alpha &=&{\frac {30}{40}}\\\alpha &=&\arctan(0.75)\\\alpha &=&36.9^{o}\\\end{matrix}}

步骤 4

最终的答案是

合位移：50 m，方向为东偏北36.9^o

这与我们在绘制比例图后得到的答案完全一致！

在前面的例子中，我们能够利用简单的三角函数来计算一个人的合位移。这是因为这个人的运动方向是垂直的（南北和东西）。然而，代数技巧并不局限于矢量组合沿同一直线或彼此成直角的情况。下面的例子说明了这一点。

例题 10

矢量加法的另一个计算例子

问题：一个人从A点出发，以45^o的方位角走到12km远的B点。从B点，这个人又向东走了8km到达C点。计算这个人的合位移。

解答

步骤 1 : 让我们先画出这种情况的大致草图

RIAAN 注意：第 56 页的图片丢失了 文件:Fhsst vectors46.png

$B{\hat {A}}F=45^{o}$ ，因为这个人最初的方位角是45^o。然后， $A{\hat {B}}G=B{\hat {A}}F=45^{o}$ （平行线内错角）。这两个角都包含在大致草图中。

步骤 2

现在让我们计算合位移（AC）的长度。由于我们知道 $AB$ 和 $BC$ 的长度以及夹角 $A{\hat {B}}C$ ，我们可以使用余弦定理

{\begin{matrix}AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos(A{\hat {B}}C)\\&=&(12)^{2}+(8)^{2}-2\cdot (12)(8)\cos(135^{o})\\&=&343.8\\AC&=&18.5\ km\end{matrix}}

步骤 3

接下来我们使用正弦定理来确定角度 $\theta$

{\begin{matrix}{\frac {\sin \theta }{8}}&=&{\frac {\sin 135^{0}}{18.5}}\\\sin \theta &=&{\frac {8\times \sin 135^{o}}{18.5}}\\\theta &=&\arcsin(0.3058)\\\theta &=&17.8^{o}\end{matrix}}

因此， $F{\hat {A}}C=62.8^{o}$

步骤 4

最终的答案是

合位移：18.5km，方位角 62.8^o