向量
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向量示例

位移

假设你从家走到商店，沿着穿过草原的蜿蜒小路行走。你的路线在图 3.1 中用蓝色显示。你的妹妹也从家走到商店，但她决定沿着人行道走。她的路线用红色显示，包含两个直线段，一个接一个。

图 3.1：位移示意图

虽然你们走的是完全不同的路线，但你和你的妹妹都从家走到商店。最终效果是一样的！显然，从你家到商店的最短路线是沿着这两点之间的直线。这条线的长度以及从起点（家）到终点（商店）的方向构成一个非常特殊的向量，称为位移。位移用符号 ${\overrightarrow {s}}$ 表示。

定义：位移定义为连接起点到终点的直线的长度和方向。

或者

定义：位移是一个向量，其方向从某个初始点（起点）指向某个最终点（终点），其大小是从起点到终点的直线距离。

（备忘：选择上面其中一个）

在这个例子中，你和你的妹妹的位移都一样。这在图 3.1 中用黑色箭头显示。请记住，位移与实际路径无关。它只与你的起点和终点有关。它告诉你从起点到终点的直线路径的长度以及从起点到终点的方向。所走的距离是所走路径的长度，是一个标量（只是一个数字）。请注意，位移的大小不一定与所走的距离相同。在这种情况下，你的位移的大小将大大小于你沿着草原走的实际路径长度！

速度

定义：速度是指位移相对于时间的变化率。

术语变化率和相对于是我们经常使用的术语，重要的是你要理解它们的含义。速度描述了在一定时间变化内位移的变化量。

我们通常用符号 $\Delta$ （希腊字母 Δ）来表示事物的变化。你可能在数学中见过这个符号——直线的斜率是 ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$ 。斜率只是在一定时间变化内y的变化量。换句话说，它只是y相对于x的变化率。这意味着速度必须是

{\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}={\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}={\frac {{\overrightarrow {s}}_{final}-{\overrightarrow {s}}_{initial}}{t_{final}-t_{initial}}}\end{matrix}}

（备忘：这实际上是平均速度。对于瞬时 $\Delta$ 's 变化到微分。解释一下，如果 $\Delta$ 很大，那么我们得到平均速度，否则对于无穷小的时段，得到瞬时速度！）

那么什么是速度？速度是物体移动的快慢。它与速度有什么不同？速度不是向量。它不会告诉你物体运动的方向，只会告诉你它运动的速度。速度是速度向量的量值（备忘：瞬时速度是瞬时速度的大小……这对于平均值不成立！）。

考虑以下示例来测试你对速度和速率之间差异的理解。

例题 3：速度和速率

问题：一个人在一个半径为 100m 的圆形跑道上跑步。他花了 120s 完成跑道一圈。如果他以恒定速度跑步，计算

他的速率，
他在 A 点的瞬时速度，
他在 B 点的瞬时速度，
他在 A 点和 B 点之间的平均速度，
他在一圈内的平均速度。

答案

1. 为了确定该男子的速度，我们需要知道他所走的距离以及花费的时间。我们知道他完成跑道一圈需要

120s

。跑道一圈的距离是多少？我们知道跑道是一个圆，也知道它的半径，所以我们可以确定圆的周长或距离。我们从圆周长的公式开始

{\begin{matrix}C&=&2\pi r\\&=&2\pi (100m)\\&=&628.3\;m.\end{matrix}}

2. 现在我们有了距离和时间，就可以确定速度。我们知道速度是单位时间内的距离。如果我们将所走距离除以花费的时间，我们将知道每单位时间所走距离。

{\begin{matrix}v&=&{\frac {Distance\ travelled}{time\ taken}}\\&=&{\frac {628.3m}{120s}}\\&=&5.23\ m.s^{-1}\end{matrix}}

3. 考虑图中的A点

我们知道该男子在跑道上跑步的方向，也知道他的速度。他在A点的速度将是他的速度（速度的大小）加上他的运动方向（速度的方向）。他到达A点的瞬间正在运动，如下图所示。

他的速度向量将是 $5.23\ m.s^{-1}$ 向西。

4. 考虑图中的B点

我们知道该男子在跑道上跑步的方向，也知道他的速度。他在B点的速度将是他的速度（速度的大小）加上他的运动方向（速度的方向）。他到达B点的瞬间正在运动，如下图所示。

他的速度向量将是

5.23\ m.s^{-1}

向南。

4. 那么，现在，该男子在A点和B点之间的平均速度是多少？

当他在圆周上跑步时，他不断改变方向。（想象一下从圆周上指向的一系列矢量箭头，每个箭头代表他走的一步。）如果你把所有这些方向加起来，并找到平均值，它会变成...对的。西南方向。并且，请注意，如果你只是查找他在A点和B点的速度之间的平均值，它也会变成西南方向。因此，他在A点和B点之间的平均速度是 $5.23\ m.s^{-1}$ 向西南。

5. 现在我们需要计算他在完成一圈时的平均速度。平均速度的定义前面已经给出，需要知道总位移和总时间。完成一圈的总位移由初始点到终点的矢量给出。如果该男子在圆周上跑步，那么他将在起点结束。这意味着从他的初始点到他的终点的矢量的长度为零。对他的平均速度的计算如下

{\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}&=&{\frac {\Delta {\overrightarrow {s}}}{\Delta t}}\\&=&{\frac {0m}{120s}}\\&=&0\ m.s^{-1}\end{matrix}}

记住：即使距离不为零，位移也可能为零！

加速度

定义：加速度是速度随时间的变化率。

加速度也是一个矢量。请记住，速度是位移随时间的变化率，因此我们预计速度和加速度方程看起来非常相似。实际上

{\begin{matrix}{\overrightarrow {a}}={\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}={\frac {{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}}{t_{final}-t_{initial}}}\end{matrix}}

(3.2)

(自注：再次区分平均加速度和瞬时加速度！进一步扩展——这意味着什么？)

当我们考虑力时，加速度将变得非常重要。

力

想象一下，你和你的朋友正在推放在光滑地板上的纸箱。你们俩一样强壮。你能告诉我箱子会往哪个方向移动吗？可能不行。因为我没有告诉你你们每个人往哪个方向推箱子。如果你俩都往北推，箱子就会往北移动。如果你往北推，而你的朋友往东推，它就会往东北方向移动。如果你俩朝相反的方向推，它就不会移动！

因此，在处理作用在任何物体上的力时，考虑力的方向与力的大小一样重要。所有矢量都是如此。