FHSST 物理/向量/分量

向量的分量

在讨论向量加法时，我们看到许多向量一起作用可以组合成单个向量（合向量）。以类似的方式，单个向量可以分解成许多向量，当这些向量加起来时会得到该原始向量。这些加起来等于原始向量的向量称为分量。将向量分解成其分量称为分解成分量。

虽然对给定向量的集合进行求和只会得到一个答案（合向量），但单个向量可以分解成无限多组分量。在下图中，相同的黑色向量被分解成不同的分量对。这些分量以红色显示。当红色向量加在一起时，它们会得到原始的黑色向量（即，原始向量是其分量的合向量）。

在实践中，将向量分解成彼此成直角的分量最有用。

例题 11

将向量分解成分量

问题：一名驾驶员向东偏北 30^o 方向行驶 250 km。将该位移分解成南北方向 (${\overrightarrow {s}}_{N}$ 和东 (${\overrightarrow {s}}_{E}$).

答案

步骤 1 

首先，让我们画出原始向量的草图

步骤 2 

接下来，我们将位移分解成其南北方向的分量。由于这些方向彼此正交，因此分量与原始位移形成一个直角三角形，其中原始位移为斜边。

请注意，两个分量一起作用，它们的合向量为原始向量。

步骤 3 

现在，我们可以使用三角学来计算原始位移分量的量级。

${\begin{matrix}s_{N}&=&250\sin 30^{o}\\&=&125\ km\end{matrix}}$

和

${\begin{matrix}s_{E}&=&250\cos 30^{o}\\&=&216.5\ km\end{matrix}}$

请记住，s_N 和 s_E 是分量的量级——它们分别指向北和东方向。

斜坡上的块

作为分量的另一个示例，让我们考虑一个质量为 m 的块，放置在一个与水平面成某个角度 $\theta$ 的无摩擦表面上。显然，该块将沿斜坡向下滑动，但是什么导致了这种运动呢？

作用在该块上的力是其重力 mg 和表面对物体施加的法向力 N。这两种力在下图中显示。

现在，物体重量可以分解成平行于和垂直于斜面的分量。这些分量在上图中以红色箭头显示，并且彼此成直角。分量已从同一点开始绘制。应用平行四边形法则，块重量的两个分量之和为重量向量。

为了找到重量分量，我们可以使用三角学

${\begin{matrix}W_{\|}&=&mg\sin \theta \\W_{\perp }&=&mg\cos \theta \end{matrix}}$

垂直于斜面的重量分量W_$\perp$正好与表面施加的正压力N平衡。然而，平行分量$W_{\|}$是不平衡的，会导致物体沿着斜面滑动。

使用分量进行向量加法

在图 3.3 中，两个向量以一种与迄今为止讨论的方法略有不同的方式相加。它可能看起来有点像我们在给自己增加工作量，但从长远来看，事情会变得更容易，而且我们不太可能出错。

在图 3.3 中，我们正在相加的主要向量用实线表示，它们与图 3.2 中使用不太复杂的方法相加的向量相同。

图 3.2：两个向量相加得到合向量的示例

每个向量可以分解为一个在x方向上的分量和一个在y方向上的分量。这些分量是两个向量，当相加时，它们的合向量为原始向量。看看图 3.3 中的红色向量。如果你将x方向和y方向上的两个红色点线向量相加，你会得到相同的向量。对于所有三个向量，我们已经用相同颜色的点线表示了它们各自的分量。

但是，如果我们仔细观察，两个原始向量的x分量的加法就得到了合向量的x分量。同样适用于y分量。因此，如果我们只将所有分量加在一起，我们就会得到相同的答案！这是向量的另一个重要性质。

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例题 12

使用分量进行向量加法

问题：让我们按照图 3.3 中所示的示例进行操作，以确定合向量。

答案

步骤 1 

我们首先要意识到，我们相加向量的顺序并不重要。因此，我们可以按照任何顺序操作要相加的向量。

步骤 2 

让我们从最下面的向量开始。如果告诉你这个向量长度为 5.385 个单位，并且与水平方向成 21.8^o 角，那么我们可以找到它的分量。我们通过使用已知的三角比来做到这一点。首先，我们找到垂直分量或y分量

${\begin{matrix}\sin \theta &=&{\frac {y}{\mbox{hypotenuse}}}\\\sin(21.8)&=&{\frac {y}{5.385}}\\y&=&5.385\sin(21.8)\\y&=&2\end{matrix}}$

其次，我们找到水平分量或x分量

${\begin{matrix}\cos \theta &=&{\frac {x}{\mbox{hypotenuse}}}\\\cos(21.8)&=&{\frac {x}{5.385}}\\x&=&5.385\cos(21.8)\\x&=&5\end{matrix}}$

我们现在知道我们向量是斜边的三角形的边的长度。如果你看看这些边，我们可以根据点线箭头赋予它们方向。然后，我们最初的红色向量只是两个点线向量（它的分量）的总和。当我们试图找到最终答案时，我们可以简单地将所有点线向量加起来，因为它们将加起来得到我们想要相加的两个向量。

步骤 3 

现在我们继续考虑第二个向量。绿色向量长度为 5 个单位，并且与水平方向成 53.13 度角，因此我们可以找到它的分量。

${\begin{matrix}\sin \theta &=&{\frac {y}{\mbox{hypotenuse}}}\\\sin(53.13)&=&{\frac {y}{5}}\\y&=&5\sin(53.13)\\y&=&4\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\cos \theta &=&{\frac {x}{\mbox{hypotenuse}}}\\\cos(53.13)&=&{\frac {x}{5}}\\x&=&5\cos(53.13)\\x&=&3\end{matrix}}$

步骤 4

现在我们有了所有分量。如果我们将所有x分量加起来，我们将得到合向量的x分量。类似地，如果我们将所有y分量加起来，我们将得到合向量的y分量。

两个向量的x分量分别为向右 5 个单位和向右 3 个单位。这使我们得到最终的x分量为向右 8 个单位。

两个向量的y分量分别为向上 2 个单位和向上 4 个单位。这使我们得到最终的y分量为向上 6 个单位。

步骤 5

现在我们有了合向量的分量，我们可以使用勾股定理来确定合向量的长度。我们把斜边的长度称为l，我们可以计算它的值

${\begin{matrix}l^{2}&=&(6)^{2}+(8)^{2}\\l^{2}&=&100\\l&=&10.\\\end{matrix}}$

合力的长度为 10 个单位，因此我们只需计算其方向。我们可以将方向指定为向量与已知方向所成的角。为此，您只需将向量可视化为从坐标系的原点开始。我们在下面明确绘制了这一点，我们将计算的角度标记为$\alpha$.

利用我们已知的三角函数比，我们可以计算$\alpha$的值。

${\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {6}{8}}\\\alpha &=&\arctan {\frac {6}{8}}\\\alpha &=&36.8^{o}.\end{matrix}}$

步骤 6

我们的最终答案是合力为 10 个单位，相对于正 x 轴的角度为 36.8^o。