向量
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向量加法的技巧

现在您已经了解了向量的数学性质，我们将更详细地讨论向量加法。向量加法有很多技巧。这些技巧可以分为两大类 - 图形技巧和代数技巧。

图形技巧

图形技巧涉及绘制准确的比例图来表示各个向量及其结果。接下来我们将讨论两种主要的图形技巧，首尾相接法和平行四边形法。

首尾相接法

在描述向量的数学性质时，我们使用了位移和首尾相接的图形向量加法方法作为说明。在首尾相接的向量加法方法中，遵循以下策略

选择比例并包含参考方向。
选择要相加的任何向量，并将其绘制为箭头，箭头指向正确的方向，长度也正确 - 记住在末端放上箭头来表示其方向。
取下一个向量，将其绘制为箭头，从第一个向量的箭头开始，指向正确的方向，长度也正确。
继续下去，直到你画完每个向量 - 每次都从前一个向量的头部开始。这样，要相加的向量就按顺序首尾相接地画出来了。
然后，结果就是从第一个向量的尾部到最后一个向量的头部所画的向量。它的量级可以根据其箭头的长度使用比例来确定。它的方向也可以根据比例图来确定。

例题 4 首尾相接法图形加法 I

问题：一艘船从港口 H 出发，向北航行 6 km 到港口 A。从这里，船向东航行 12 km 到港口 B，然后向西南航行 5.5 km 到港口 C。使用首尾相接法求船的合位移。

答案

现在，我们面临着一个实际问题：在这个问题中，位移太大，无法按实际长度绘制！绘制一条 2 km 长的箭头需要一本非常大的书。就像制图师（绘制地图的人）一样，我们必须选择一个比例。比例的选择取决于实际问题 - 您应该选择一个比例，以便您的向量图适合页面。在选择比例之前，应该始终绘制问题的草图。在草图中，我们感兴趣的是向量图的近似形状。

步骤 1

让我们画出该情况的草图

在草图中，应该包含问题中给出的所有信息。显示了所有位移的大小，并包含指南针作为参考方向。

步骤 2

接下来，我们为我们的向量图选择一个比例。从草图中可以清楚地看出，选择一个 1 cm 代表 1 km 的比例 (比例：1 cm = 1 km) 将是这个问题中一个不错的选择（这样图就会占据 A4 纸的好一部分）。现在我们开始进行精确的构建。

步骤 3

构建步骤 1：从港口 H 开始，我们绘制第一个向量，长度为 6 cm，方向为北（记住，在图中 1 cm 代表 1 km）

构建步骤 2：由于船现在在港口 A，我们绘制第二个向量，长度为 12 cm，从该点开始，方向为东

构建步骤 3：由于船现在在港口 B，我们绘制第三个向量，长度为 5.5 cm，从该点开始，方向为西南。需要使用量角器来测量 45^o 的角度。

构建步骤 4：作为最后一步，我们绘制从起点（港口 H）到终点（港口 C）的合位移。我们使用尺子测量该箭头的长度，并使用量角器确定其方向

步骤 4

现在，我们使用比例将比例图中结果的长度转换为问题中的实际位移。由于我们在这个问题中选择了 1 cm = 1 km 的比例，因此结果的大小为 8.38 km。方向可以根据测量的角度来指定，可以是相对于北的 75.4^o 东，也可以是方位角 75.4^o。

步骤 5

现在我们可以说出最终答案：船的合位移为 8.38 km，方位角为 75.4^o！

例题 5 首尾相接法图形加法 II

问题：一个人向东走了 40 m，然后向北走了 30 m。

a) 他走了多少总距离？

b) 他的合位移是多少？

答案

步骤 1

这个人走了多少距离？在他旅程的第一部分，他走了 40 m，在第二部分，他走了 30 m。这给了我们 70 m 的总行程。 $40+30=70\ m$

步骤 2

他的合位移是多少？这个人的合位移是从他开始的地方到他结束的地方的向量。它是他的两个独立位移的总和。我们将使用首尾相接法的精确构建来找到这个向量。首先，我们画一个草图

文件:Fhsst vectors36.png

步骤 3

接下来，我们选择适合该问题的比例。比例 1 cm 代表 5 m (1 cm = 5 m) 是一个不错的选择。现在我们可以开始构建过程。

步骤 4

我们绘制第一个位移，作为长度为 8 cm 的箭头（根据比例， $8cm=8\times 5m=40m$ )，方向为东

步骤 5

从第一个向量的起点开始，我们将第二个位移绘制成一个 6cm 长的箭头（根据比例 $6cm=6\times 5m=30m$ )，方向为北方:</math>

步骤 6

现在我们将起点与终点连接起来，测量该箭头（合向量）的长度和方向。

步骤 7

最后，我们使用比例将合向量在比例图中的长度转换为合位移的实际大小。根据所选比例，1cm = 5m。因此，10cm 表示 50m。则合位移为 50m，方向为东偏北 36.9^o。

平行四边形法则

当需要求两个向量的合向量时，可以采用另一种图形方法——平行四边形法则。具体方法如下：

选择一个比例和参考方向。
选择要相加的两个向量中的任意一个，将其绘制成具有正确长度和方向的箭头。
以第一个向量的尾部为起点，绘制第二个向量，使其具有正确的长度和方向。
完成这两个向量形成的平行四边形。
则合向量为平行四边形的对角线。其大小可通过比例图中箭头的长度确定。其方向也可以通过比例图确定。

例题 6

平行四边形法则的图形加法 I

问题：一个力 F₁ = 5 N 作用于一个水平方向的物体。第二个力 F₂ = 4 N 作用于该物体，与水平方向成 30° 角。

使用平行四边形法则准确作图，确定作用于该物体的合力。

答案

步骤 1

首先，我们对向量图做一个粗略的草图。

步骤 2

现在我们选择一个合适的比例。在本例中，比例为 1 cm = 0.5 N 会比较合适，因为这样向量图会占据页面上的合理比例。现在我们可以开始准确的比例图。

步骤 3

首先，我们绘制 F₁。根据比例，它的长度为 10 cm。

步骤 4

接下来，我们绘制 F₂。根据比例，它的长度为 8 cm。我们使用量角器绘制该向量，使其与水平方向成 30° 角。

步骤 5

接下来，我们完成平行四边形，并绘制对角线。

RIAAN 注：图像缺失 img155.png PDF 页码 51 文件:Fhsst vectors43.png

步骤 6

最后，我们使用比例将测量的长度转换为实际大小。由于 1 cm = 0.5 N，因此 17.4 cm 表示 8.7 N。所以合力为 8.7 N，方向为水平方向向上 13.3°。

平行四边形法则仅限于两个向量的相加。然而，它可能是加点作用的两个力最直观的方法。

向量的代数加减

直线上的向量

当遇到直线上作用的向量的加法（例如，一些向左，一些向右，或者一些向上，一些向下）时，可以使用一种非常简单的代数方法。

选择一个正方向。例如，对于涉及向西和向东位移的情况，可以选择西方向为正方向。在这种情况下，向东位移为负。
接下来，只需将带有适当符号的向量加（或减）起来。
最后，应以文字形式给出合向量方向（正答案为正方向，而负答案为负方向）。

让我们考虑几个例子。

例题 7

向量的代数加法 I

问题：一个网球向右滚向距离为 10m 的墙壁。如果网球撞击墙壁后在水平地面上向左滚动了 2.5m，用代数方法计算网球的合位移。

(自我注意：PGCE 建议一个“更真实”的图，后面跟着一个用来解决问题的图（就像我们现有的图一样，正方向用箭头表示）)

答案

步骤 1

让我们画出这个情况的图片。

步骤 2

我们知道网球的合位移 ( ${\overrightarrow {s}}_{resultant}$ ) 等于网球各个位移之和 ( ${\overrightarrow {s}}_{1}$ 和 ${\overrightarrow {s}}_{2}$ )

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&{\overrightarrow {s}}_{1}+{\overrightarrow {s}}_{2}\end{matrix}}

由于网球的运动是一条直线（即网球向左和向右移动），我们可以使用上面介绍的代数加法方法。

步骤 3

首先，我们选择一个正方向。让我们将向右设置为正方向。这意味着向左就变成了负方向。

步骤 4

向右为正

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{1}&=&+10.0m\\&and&\\{\overrightarrow {s}}_{2}&=&-2.5m\end{matrix}}

步骤 5

接下来，我们只需将这两个位移加起来即可得到合位移。

{\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&(+10m)+(-2.5m)\\&=&(+7.5)m\end{matrix}}

步骤 6

最后，在这种情况下，向右表示正数，因此

${\begin{matrix}{\overrightarrow {s}}_{resultant}&=&7.5m{\rm {\ to\ the\ right}}\end{matrix}}$

让我们考虑一个向量减法的例子。

例题 8

用代数方法减去向量

问题：假设一个网球以 3 m.s⁻¹ 的速度水平地向右抛向墙壁。网球撞击墙壁后，以 2 m.s⁻¹ 的速度返回抛球者。确定网球的速度变化。

答案

步骤 1

请记住，速度是一个向量。网球速度的变化等于网球初始速度和最终速度之差

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&{\overrightarrow {v}}_{final}-{\overrightarrow {v}}_{initial}\end{matrix}}

由于球沿直线运动（即左右），我们可以使用前面讨论的向量减法的代数方法。

步骤 2

让我们将向右设为正方向。这意味着向左变为负方向。

步骤 3

向右为正

{\begin{matrix}{\overrightarrow {v}}_{initial}&=&+3m.s^{-1}\\&and&\\{\overrightarrow {v}}_{final}&=&-2m.s^{-1}\end{matrix}}

步骤 4

因此，网球的速度变化为

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&(-2m.s^{-1})-(+3m.s^{-1})\\&=&(-5)m.s^{-1}\end{matrix}}

请记住，在这种情况下，向右表示正数，因此

{\begin{matrix}\Delta {\overrightarrow {v}}&=&5m.s^{-1}{\rm {\textbf {\ to\ the\ {\emph {left}}}}}\end{matrix}}

请记住，前面讨论的加减法只能应用于沿直线作用的向量。

更通用的代数方法

在例题 3 中，使用首尾相接法进行精确的构造来确定一个先向东然后向北走的人的合位移。但是，这个人合位移的计算无需绘制精确的比例图。让我们重新审视这个例子。

例题 9

例题 3 的代数解

问题：一个人向东走 40 m，然后向北走 30 m。

计算此人的合位移。

答案

步骤 1

如前所述，粗略草图如下所示

步骤 2

请注意，由他的各个位移向量和他的合位移向量形成的三角形是一个直角三角形。因此，我们可以使用勾股定理来确定合位移的长度。如果合位移向量的长度称为 s，则

{\begin{matrix}s^{2}&=&(40m)^{2}+(30m)^{2}\\s^{2}&=&2500m^{2}\\s&=&50m\\\end{matrix}}

步骤 3 : 现在我们已经得到了合位移向量的长度，但还没有得到它的方向。为了确定它的方向，我们计算角度 $\alpha$ 在合位移向量和东方向之间的角度。

我们可以使用简单的三角函数来做到这一点。

{\begin{matrix}\tan \alpha &=&{\frac {opposite}{adjacent}}\\\tan \alpha &=&{\frac {30}{40}}\\\alpha &=&\arctan(0.75)\\\alpha &=&36.9^{o}\\\end{matrix}}

步骤 4

我们的最终答案是

合位移：东偏北 36.9^o，50 米

这与我们在绘制比例图后得到的答案完全相同！

在前面的例子中，我们能够使用简单的三角函数来计算一个人的合位移。这是因为该人的运动方向是垂直的（南北和东西）。然而，代数方法并不局限于向量沿着同一直线或互相垂直的情况。以下示例说明了这一点。

例题 10

通过计算进行向量加法的另一个例子

问题：一个人从 A 点走到 B 点，B 点在 A 点的方位角为 45^o，距离 A 点 12 公里。从 B 点，这个人再往东走 8 公里到 C 点。计算该人的合位移。

答案

步骤 1 : 让我们先画出这个情形的简略示意图。

RIAAN 注：第 56 页的图片丢失了 File:Fhsst vectors46.png

$B{\hat {A}}F=45^{o}$ 因为这个人最初的方位角是 45^o。然后， $A{\hat {B}}G=B{\hat {A}}F=45^{o}$ (平行线内错角)。这两个角度都包含在简略示意图中。

步骤 2

现在让我们计算合向量 (AC) 的长度。由于我们知道 $AB$ 和 $BC$ 的长度以及夹角 $A{\hat {B}}C$ ，我们可以使用余弦定理

{\begin{matrix}AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cos(A{\hat {B}}C)\\&=&(12)^{2}+(8)^{2}-2\cdot (12)(8)\cos(135^{o})\\&=&343.8\\AC&=&18.5\ km\end{matrix}}

步骤 3

接下来，我们使用正弦定理来确定角度 $\theta$

{\begin{matrix}{\frac {\sin \theta }{8}}&=&{\frac {\sin 135^{0}}{18.5}}\\\sin \theta &=&{\frac {8\times \sin 135^{o}}{18.5}}\\\theta &=&\arcsin(0.3058)\\\theta &=&17.8^{o}\end{matrix}}

因此， $F{\hat {A}}C=62.8^{o}$

步骤 4

我们的最终答案是

合位移：方位角 62.8^o，18.5 公里