分形/计算机图形技术/2D/平面反演

在数学和逻辑中，反演可能指的是（消歧义）

• 对合，一个函数，它是自身的逆函数（当应用两次时，得到起始值）
• 离散数学中的反演，序列中任何一个位置错误的项
• 逆元素
• 反演几何，如圆反演，欧几里得平面的变换，将广义圆映射到广义圆
• 点反演，或点反射，欧几里得空间中的一种等距（保持距离）变换
• 反演变换，一种保角变换（保留交点角度）
• 反演法，球面（或平面）中调和函数的图像；参见[图像电荷法
• 乘法逆元] 数的倒数（或任何其他定义了乘法函数的元素类型）
• 矩阵反演，对矩阵执行的操作，得到其乘法逆元
• 模型反演
• 集合反演

曲线和曲面的反演

在反演几何中，反演是欧几里得平面的变换，如

• 圆反演
• 抛物线反演

• 
  抛物线反演 = 心形线
• 
  球面立体投影作为球面的反演
• 

平面反演

平面反演是平面变换的一个例子。反演变换是一种保角变换（保留交点角度）。 反演可以与其他变换组合，如平移。

参数平面（具有曼德勃罗集）反演

通过平面类型进行的反演

• 标准曼德勃罗集（c-平面）的反演 $f_{c}(z)=z^{2}+c$
• λ 曼德勃罗集（λ 平面）的反演 $z=\lambda z(1-z)$

c-平面

由Nikola Ubavić：Žulijev i Mandelbrotov skup（塞尔维亚语）描述

• 以零为中心的单位圆进行的反演与共轭（相对于实线的轴对称）的合成。曼德勃罗集边界中“标准”参数化的心形线对应于 1/c 参数化中的泪滴形曲线。
• 反演的 c-平面：“...几何上，...参数之间的关系表示以零为中心的单位圆进行的反演与共轭（相对于实线的轴对称）的合成。由于这种联系，曼德勃罗集边界中“标准”参数化的心形线对应于 α 参数化中的泪滴形曲线。”
• “如果在反演 1/4 之前执行平移，那么心形线将被映射到抛物线上” $z=z^{2}+{\frac {1}{c+1/4}}$

由David E. Joyce：朱利亚集和曼德勃罗集。替代参数平面描述

• 心形线的逆是泪滴形外部。心形线外部的圆被反演到泪滴形内部的圆。心形线的尖端变成了泪滴形的尖端。

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  c-平面
• 
  反演的 c 平面 = 1/c 平面
• 
  λ 曼德勃罗集的不同平移的反演
• 
  无平移的 c 族反演

Arneauxtje 的连续反演方法

• 曼德勃罗集反演，在一张图像中使用 4 种不同的方法
• 曼德勃罗集反演再探

Arneauxtje 的描述：将集合主体的心形线转换为圆的变换。这在 c 空间（a+ib）中完成，如下所示

rho=sqrt(a*a+b*b)-1/4
phi=arctan(b/a)
a-new=rho*(2*cos(phi)-cos(2*phi))/3
b-new=rho*(2*sin(phi)-sin(2*phi))/3

然后，有 4 种不同的方法可以从 c 到 1/c，这些方法分为 3 个家族

• 加法：c -> c-c*t+t/c 和 t=0..1
• 乘法：c -> c/(t*(c*c-1)+1) 和 t=0..1
• 指数运算：c -> c^t 和 t=1..-1

前两个方法很容易计算出来。第三种利用了以下事实

• c = a+ib = r*exp(i*phi)，其中 r=sqrt(a*a+b*b) 和 phi=arctan(b/a)
• 那么 c^t = r^t*exp(t*i*phi) = r^t*[cos(t*phi)+i*sin(t*phi)]

λ 平面

λ 曼德勃罗集：$z=\lambda z(1-z)$

由Nikola Ubavić：Žulijev i Mandelbrotov skup（塞尔维亚语）描述

• “通过围绕零点以单位圆为中心的复杂平面进行反演，这些圆中的一个保持不变，而另一个图像在它里面。” $z={\frac {z(1-z)}{\lambda }}$
• “如果...在反演 1 之前执行平移，那么两个圆将被映射到两条平行线上。这样就得到了下面两幅图中的第二幅。” $z={\frac {z(1-z)}{\lambda +1}}$

• 
  λ 平面
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  1/λ 平面

视频

• Cat Eye Revisited by denis archambaud

动态平面（具有朱利亚集）反演

• f(z) = z^2+c 转换为 f(z) = z^2 + 1/c
• 在半径为1的圆内反转多项式公式Ax(1-x)，得到公式f(x)= x^2/A(1-x)。

• 内爆花椰菜
• 
  带BD的z平面
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  带BD的w = 1/z平面

巴西利卡

• 正常巴西利卡 f(z) = z^2 - 1
• 反转巴西利卡
  • 有理数，度数= 2 : 反转巴西利卡 : f(z) = z^2/(z^2 -1)

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  巴西利卡
• 
  反转巴西利卡
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  反转巴西利卡作为包含临界点及其前像的区域的边界

视频

• The Donut Man的反转Julia集

参考资料

• Mandelbrot集-替代参数平面
• 内爆花椰菜 - 是c=1/4+epsilon的Julia集，其中epsilon>0。有多少种不同的方法可以显示这种集合？