分形/复平面迭代/参数平面

参数平面

• 结构
• 算法
• 模型

参数平面的结构

二次映射的相空间称为其参数平面。在这里

• $z0=z_{cr}\,$ 是常数
• $c\,$ 是变量

这里没有动力学。它只是一组参数值。参数平面上没有轨道。

参数平面由 

• 曼德勃罗集
  • 分岔轨迹 = 曼德勃罗集的边界
  • 曼德勃罗集的有界双曲分量 = 曼德勃罗集的内部

从程序员的角度看参数平面的结构

• M 集的外部
• 每个分量都被一个原子域包围（半径大 4 倍的圆盘，对于心形，半径大约是大小的平方根）。
• 每个分量在其中心都有一个核，该核有一个包含 0 的周期轨道。

参数平面的部分

• 分量（包括岛屿）
• 曲线
• 点

曲线或路径

曼德勃罗集包含光滑曲线

• 与实轴的交集 M ∩ R = [−2, 1/4] = 曼德勃罗集的实数切片
• M 的主心形，它是参数 c 的集合，对于这些参数，fc 具有吸引或无差异的不动点（当然，除了尖点 c = 1/4 之外，它是光滑的）。
• 周期 2 双曲分量的边界，它是一个圆

路径

• 外部射线
• 内部射线
• 逃逸路线

实数切片

" 每个周期加倍级联超稳定轨道 ... 生成相应的混沌带 $B_{n}$ 和 Misiurewicz 点 $m_{n}$，它将混沌带 $B_{n=1}$ 和 $B_{n}$ 分开 "

$B\prec MF\prec A$

其中

• B 是从 -2 到 MF 的混沌区域
• $c=MF=m_{\infty }=b_{\infty }=-1.4011551890......$ = 费根鲍姆点 = 米尔伯格-费根鲍姆点
• A 是一个周期区域：从 MF 到 1/4
• $\prec$ 是优先于符号。二元关系：“x 优先于 y” 写作：$x\prec y$。它用于区分其他顺序与全序。

混沌区域

$B_{0}\prec B_{1}\prec B_{2}\prec ...\prec B_{\infty }$

其中

• $B_{m}$ 是 混沌带 $B_{m}=(2n+1)\cdot 2^{m}$

 $3*2^{m}\prec 5*2^{m}\prec 7*2^{m}\prec ...\prec \infty$
 

另见

• 带之间的分隔符
• 它是 谢尔宾斯基排序 的一部分

周期区域

周期倍增级联

• 2^n = 2 的幂，按降序排列，最后为 2^0 = 1。“

$2^{\infty }\prec ...\prec 2^{2}\prec 2^{1}\prec 2^{0}$

曼德布罗特集的命名部分

山谷:

• 双螺旋
• 纺锤
• 海马山谷/海岸（或东海马山谷）
  • 主心形海马山谷 = 头部（周期 2 部分）和身体（或肩膀 = 主心形）之间的间隙。特别是上面的部分。
  • 圆盘 3 海马山谷 = 周期 1 和周期 3 之间的间隙
• 象山谷 = 主心形尖点附近的间隙。这里的天线类似于大象的鼻子
  • 象海岸 = 主心形尖点附近的边界
• 权杖山谷 = 周期 2 和周期 4 部分之间的间隙，也称为西海马山谷或权杖山谷。“权杖山谷” 其中双螺旋有权杖（呼应纺锤）从它们的所有尖端伸出来。
  • 双螺旋山谷 =
  • 双螺旋海岸 = 周期 2 部分靠近主心形的边界
• 三重螺旋海岸（山谷） - 周期 3 部分靠近周期 1 心形的边界

零件

• 孔雀眼 = 海马山谷的灌木丛（装饰） = 具有所有分支的主要米西乌里维奇点
• 海马
• 大象 = 当 n 趋于无穷大时，主心形的极限 1/n 肢体。参见 沃尔夫·荣格编写的程序 mandel 的演示 2 第 10 页

• 
  头部和身体之间的间隙 = **海马山谷**
• 
  左侧是双螺旋，右侧是海马
• 
  曼德布罗特集的片段，称为 **象山谷**

迷你曼德布罗特集

名称

• 矮子
• 迷你曼德布罗特集
• 婴儿曼德布罗特
• 岛屿 = 岛屿 mu 分子 = 岛屿 mu 单元
• 原始成分
• 自己的小型副本
• 婴儿曼德布罗特集 = BMSs

迷你曼德布罗特集的参数射线

“复杂动力系统中的鞍节点（抛物线）周期点通常允许同宿点，在这些同宿点是非退化的的情况下，这伴随着在相应参数平面中存在无限多个婴儿曼德布罗特集收敛到鞍节点参数值。” 德瓦内

另见

• 如何找到落在任何曼德布罗特集成分的根点的外部射线角度，该成分不能通过有限数量的边界交叉从主心形（M0）访问？
• 扭曲的岛屿

茱莉亚岛或嵌入茱莉亚集或虚拟茱莉亚集或奖章

• “由细丝组成的结构，在外观上类似于茱莉亚集，其豪斯多夫维数比周围区域的细丝更高。它们有时也被称为茱莉亚岛或虚拟茱莉亚集。” 罗伯特·穆纳福
• "这个位置被称为茱莉亚岛，因为它看起来像茱莉亚集，但实际上它位于曼德勃罗集内部。"

• 
• 

奖章

• 胡萝卜 = 非螺旋奖章 (-1.6898799090349986e-01 1.0423707254693195e+00 3.0218142193747843e-07 ) 类型：长双精度型
• 花椰菜 = 单螺旋奖章 (-0.1543869 1.0308295 3.0218142193747843e-07 ) 类型：长双精度型
• 双螺旋奖章 (-0.16092059 1.03663239 0.000001 ) 类型：长双精度型
• 三螺旋奖章 ( -1.5403777941777627e-01 1.0369221371305641e+00 6.5186720162412668e-07 ) 类型：长双精度型

双曲分量

• 参数平面的分量

双曲分量的顺序

• Myrberg 1963
• Sharkovsky 1964
• Metropolis 1973
• 内部地址 由 Lau 和 Schleicher 于 1994 年提出
• 旋转数 由 Devaney 于 1997 年提出
• R2 命名系统由 R Munafo 于 1999 年提出
• 轨道肖像 由 Milnor 于 2000 年提出
• 灌木 由 M Romero 等人于 2004 年提出

形状

• 关于基本域的形状，或者为什么曼德勃罗集是由近乎理想的圆圈组成的 by V. Dolotin A.morozov
• 离散动力系统的代数几何。单变量情况 by V.Dolotin, A.Morozov

参数平面的部分

• 关于曼德勃罗集
  • 外部
  • 边界 带有不同的点类型：克莱莫，西格尔，抛物线，米修列维奇，费根鲍姆，...
  • 内部
• 关于尾迹
  • 在 p/q 尾迹 内
  • 在任何尾迹之外 (???)

根据 M Romera 等人的曼德勃罗集的组成部分：

• • 主心形
  • q/p 族 (= q/p 肢体)
    • 周期部分：双周期级联的双曲分量，最终在米尔贝格-费根鲍姆点结束
    • 米尔贝格-费根鲍姆点
    • 混沌部分：灌木

注意她的 q/p 而不是 p/q 表示法

参数平面的分量

• 尾迹 / 肢体
• 米格代特 / 岛屿 / μ-分子
  • 扭曲 = 翘曲
• 曼德勃罗集的双曲分量

尾迹是参数平面的一部分，它位于两个落在同一个抛物点（根点，键）上的参数射线之间。

肢体是曼德勃罗集的一部分，它位于两个落在同一个抛物点（根点，键）上的参数射线之间。

来自论文 周期轨道、外部射线和曼德勃罗集：一个解释性说明 by John W. Milnor 中的严格（数学）定义

定理 1.2. 尾迹 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$. 两个对应的参数射线 ${\mathcal {R}}_{{\mathit {t}}\pm }^{\mathit {M}}$ 落在参数平面的同一个点 $\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$ 上。这些射线与其着陆点一起将平面切成两个开集

• ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$
• 和 $\mathbb {C} \setminus {\overline {{\mathit {W}}_{\mathcal {P}}}}$

具有以下性质：一个二次映射 $f_{c}$ 具有排斥轨道，其肖像为 ${\mathcal {P}}$ 当且仅当 $c\in {\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$，并且具有抛物线轨道，其肖像为 ${\mathcal {P}}$ 当且仅当 $c=\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$.

定义

• 曼德勃罗集 ${\mathit {M}}$
• 这个开集 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$ 将被称为参数空间中的 ${\mathcal {P}}$-尾流（参见 Atela [A]），
• $\mathbf {r} _{\mathcal {P}}$ 将被称为该尾流的根点
• 交集 ${\mathit {M}}_{\mathcal {P}}={\mathit {M}}\cap {\overline {{\mathit {W}}_{\mathcal {P}}}}$ 将被称为 ${\mathcal {P}}$-曼德勃罗集的肢体
• 开弧 $I_{S_{1}}=(t_{-},t_{+})$ 由以下组成：
  • 所有包含在 S1 内部 的动力射线 ${\mathcal {R}}_{t}^{\mathcal {K}}$ 的角度，
  • 或者所有包含在 ${\mathit {W}}_{\mathcal {P}}$ 的参数射线 ${\mathcal {R}}_{t}^{\mathcal {M}}$ 的角度，将被称为轨道肖像 ${\mathcal {P}}$ 的特征弧 ${\mathcal {I}}={\mathcal {I}}_{\mathcal {P}}$

命名类型（名称来源）

• mu-ency
• Mandelbrot 论文和书籍

如何在参数平面上移动 ?

• 
  每帧的 C 值通过公式计算：C=r*cos(a)+i*r*sin(a)，其中：a=(0..2*Pi)，r=0.7885。因此，参数 С 在复平面原点处勾勒出一个半径为 r=0.7885 的圆。
• 
• 
  缩放并平移到 Feigenbaum 点

• 内爆 : 从圆形通过花椰菜到内爆的花椰菜
• 
  c=0
• 
  c=1/4
• 
  c= 1/4 + 0.05
• 
  c = 1/4 + 0.029
• 
  c = 1/4 + 0.035

如何选择移动的步长 ?

• 固定大小步长 / 自适应大小步长
• 移动的最小尺寸

"For c values that could not be represented accurately by C++ double data type I calculated the images using interval arithmetics with tiny intervals (border values being fractions of 2^25, interval width 2^-25) encompassing the published value (as needed for real or imaginary part or both) (values were computed using wolfram-alpha to multiply large integers). Given is the left (smaller) border value, the right is obtained by adding one." marcm200

为什么是 : 2^-25  ?

"When I started with this article back in March this year, my initial formulas were z^2+c and z^2+c*z.

In expanded form with real coordinates: z=(x+i*y) and c=(d+e*i):

( x²-y² + d, 2xy + e )  or ( d*x + x² - e*y - y² , e*x + d*y + 2x*y )

To accurately represent a sum, the widest two terms can be apart is 53 bits (mantissa precision for C++ double) and all other must lie in this range.

The smallest non-zero value of x,y is "axis range / pixel count", i.e. 4 (escape radius of 2, hence axis -2..+2) divided by 2^refinement level.

So for x^2 this goes to 2^-26 as the lowest possible value for x. And since d,e are multiplied with x in the 2nd formula, the same goes for d and e. As I do not like to work "on the edge" I used a buffer of 1-2 bits and came to  the lowest value of 2^-25 for d,e (and refinement level limit of 27 which is currently outside a reasonable range).

For the 1st formula z^2+c, the seed value could go as little as 2^-48 (stated in the article) as it is only added.

For long double and float128 one could go lower in both formulas, but I haven't explored that."marcm200

比较

• 数值计算和严格的数学
• 可靠计算，区间计算

类型

• 移动的类型
  • 连续
  • 离散 = 使用点序列
• 曲线的类型
  • 沿着径向曲线 
    • 逃逸路线
    • 外部射线：从康托尔到沿着外部射线的抛物线参数
    • 抛物线点 = 根点 = 上述外部射线的着陆点
    • 内部射线：从双曲到沿着内部射线的抛物线参数
  • 沿着圆形曲线 
    • 等势线
    • 双曲分量的边界
    • 内部圆形曲线
  • 循环

沿着曲线移动的多项式的动力学是 :

• 对于外部射线：“拉伸”无穷大盆地的动力学。φPa,b (2a) 的参数保持不变（固定）
• 对于等势线：扭曲逃逸临界点和临界值的格林能级曲线之间的环带中的动力学。φPa,b (2a 的模数固定

例子

• 
  点 c 沿着主心形边界移动到 c=0.75（Mandelbrot 集的周期 2 分量的根点），使用一个序列

外部射线

• 从康托尔到沿着外部射线的半双曲参数
• 沿着参数外部射线，角度为 9/31，作者：David Madore : 它的外部参数始终为 9/31，并且以指数速度缓慢地接近芽的根 (~ −0.481763 + +0.531657i)。
• 外部角度 1/3，作者：David Madore
• 康托尔到 Misiurewicz：沿着角度为 15/56 的参数射线，作者：Tomoki Kawahira
• 康托尔到抛物线，沿着角度为 1/3 的参数射线：作者：Tomoki Kawahira

分量的边界

• Mandelbrot 集的最大球的边界，作者：David Madore

其他

• 变形
• 用于缩放动画的 poincare_half-plane_metric，作者：Claude Heiland-Allen
• youtube：Julia 集随着 C 在 Mandelbrot 集上平移，作者：captzimmo
• youtube : Julia 集关于主心形，放大 1.1 倍，以及 Mandelbrot 集，作者：Thomas Fallon
• youtube：相对于 Mandelbrot 集的 Julia 集，作者：Gary Welz
• you tube : 二次方程的 Julia 集，作者：Gary Welz
• youtube : Julia 集围绕心形/中心球变形，作者：blimeyspod
• youtube : Julia 集变形/分形动画 - 超越心形周长，作者：blimeyspod
• youtube：Julia 集变形/分形动画 - 超越二阶球，作者：blimeyspod
• 分形：Julia 集之旅，作者：corsec
• shadertoy : Julia - 距离，作者：iq
• 演化 Julia，作者：Marco_Gilardi

 // glsl code by iq from https://www.shadertoy.com/view/Mss3R8
 float ltime = 0.5-0.5*cos(time*0.12);
 vec2 c = vec2( -0.745, 0.186 ) - 0.045*zoom*(1.0-ltime);

 // glsl code by xylifyx  from https://www.shadertoy.com/view/XssXDr
 vec2 c = vec2( 0.37+cos(iTime*1.23462673423)*0.04, sin(iTime*1.43472384234)*0.10+0.50);

 // by Marco Gilardi
 // https://www.shadertoy.com/view/MllGzB
 vec2 c = vec2(-0.754, 0.05*(abs(cos(0.1*iTime))+0.8));

逃逸路线

• 
  逃逸路线 1/2

逃逸路线 0

内部角度为 0/1 的逃逸路线

步骤

• 周期 1 分量的核（c = 0）固定点 alfa 是超吸引固定点。Julia 集是连通的。
• 沿着内部射线 0。参数 c 的虚部为零。0 < cx < 0.25。固定点 alfa 是吸引固定点。Julia 集是连通的。
• 抛物线点 c = 1/4。固定点 alfa 是抛物线固定点。Julia 集是连通的。
• 沿着外部射线 0。参数 c 的虚部为零。0.25 < cx。固定点 alfa 是排斥固定点。Julia 集是不连通的

这里发生了抛物线内爆/爆炸（从连通到不连通）。在抛物线点，子周期点与父周期点重合

沿着逃逸路线 0（抛物线内爆）的连续动力学演化

参数 c	c 的位置	Julia 集	内部	临界轨道动力学的类型	临界点	固定点	alfa 的稳定性
c = 0	中心，内部	连通	存在	超吸引	被 alfa 固定点吸引	临界固定点等于 alfa 固定点，alfa 是超吸引的，beta 是排斥的	r = 0
0<c<1/4	内部射线 0，内部	连通	存在	吸引	被 alfa 固定点吸引	alfa 是吸引的，beta 是排斥的	0 < r < 1.0
c = 1/4	尖点，边界	连通	存在	抛物线	被 alfa 固定点吸引	alfa 固定点等于 beta 固定点，两者都是抛物线的	r = 1
c>1/4	外部射线 0，外部	不连通	消失	排斥	排斥到无穷大	两个有限固定点都是排斥的	r > 1

稳定性 r 是乘子在固定点 alfa 处的绝对值

$r=|m(z_{\alpha })|$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

• 沿着内部/外部射线 0 的动力学演化
• 
  中心 = 超吸引
• 
  吸引
• 
  抛物线
• 
  排斥

• 
• 
• 
• 

• 目标集
• 内部能级集
• 二进制分解
• 完整图块 = 二进制分解和内部能级集

参数平面的实切片：imag(c) = 0

参数 c 值	c 位置的描述	固定点	Julia 集	盆地	目标集（花瓣）
1/4 < c	点 c 位于外部射线 0 上	两个固定点都是排斥的	不连通	只有一个吸引盆地（无穷大）
c = 1/4	主心形的尖点	两个固定点都是抛物线的（属于 Julia 集）	连通 = 花椰菜		圆形
0 < c < 1/4	在主心形内部，沿着内部射线 0	Treść komórki	Treść komórki
c = 0	主心形的中心	Treść komórki	Treść komórki
0 < c < 3/4	在主心形内部，沿着内部射线 1/2	Treść komórki	Treść komórki
c = 3/4	根点（抛物线）	Treść komórki	Treść komórki
3/4 < c < 1.0	在周期 2 分量内部，沿着内部射线 0	Treść komórki	Treść komórki
c = 1.0	周期 2 分量的中心	Treść komórki	Treść komórki
1/0 < c < 5/4	在周期 2 分量内部，沿着内部射线 1/2	Treść komórki	Treść komórki
c = 5/4	根点（抛物线）	Treść komórki	Treść komórki

周期 1 点的稳定性指数	动力学平面上的周期 1 点	参数平面上的周期 1 点
从吸引通过无差别到排斥的变化	从 Kc 的内部移动到其边界	从 M 集的分量的内部移动到其边界

逃逸路线 1/3

• 沿着 internal1/3 的动力学演化
• 
  带有逃逸路线 1/3 的参数平面
• 从中心到抛物线的动画
• 
  超吸引 = 周期 1 的中心
• 
  抛物线 = 边界
• 
  超吸引 = 周期 3 的中心

平面类型

平面分类标准

• 分形公式（函数）：c-平面，lambda-平面
• 平面变换

参数平面有很多不同的类型

• 根据函数分类
  • 普通 c 平面: $z=z^{2}+c$
  • 普通 lambda 平面 $z=\lambda z(1-z)$ 其中 $c={\frac {\lambda }{2}}-{\frac {\lambda ^{2}}{4}}$
• 根据变换分类
  • 反转 c 平面 = 1/c 平面: $z=z^{2}+c^{-1}$
  • 指数平面 (映射)
  • 展开 平面 (将心形展平 = 展开 ) = “心形上的一段区域被连续放大和拉伸，使得心形的那段区域成为一条线段。...” (《分形图像的科学》第 204-205 页的图 4.22)

• 
  c 平面
• 
  反转 c 平面 = 1/c 平面
• 
  ${\frac {c^{2}}{c^{4}-0.25}}$ 平面
• 
  周期为 7-13 的曼德布罗特集展开主心形

• 
  lambda 平面
• 
  1/lambda 平面

另见

• 曼德布罗特集: 备选参数平面

按维度分类的参数空间类型

• 一维 ( 1 个实数参数)
• 二维 ( 1 个复数参数): 标准曼德布罗特集，这里空间是二维平面
• 四维 ( 2 个复数参数) : 由 marcm200 给出的 f(z) = z^n+A*z+c 族
• 六维 ( 3 个复数参数) : 由 Valannorton 给出的公式 f(x)=mx(1-x)(x+b)/(x+d) 中使用的复数参数 m、b 和 d 的六维空间

只能在多维空间中显示二维切片。

点

• 实数

如何描述 c 点 ?

数值描述

• c 值
  • 笛卡尔坐标描述
    • 实部
    • 虚部
  • 极坐标描述
    • (外部或内部) 角
    • (外部或内部) 半径，请参阅稳定性指数

符号描述

• 集合关系: 茱莉亚集内部 / 边界 / 外部

如何保存点的参数?

• 参数文件: 保存参数值的 文件
• 带有保存参数的图像文件

重要点的示例

来自参数平面和曼德布罗特集的示例

• 西北部外部角度为 3/8
• 北部外部角度为 1/4
• 东北部外部角度为 1/8
• 西部外部角度为 1/2
• 东部外部角度为 0
• 西南部外部角度为 5/8
• 南部外部角度为 3/4
• 东南部外部角度为 7/8,

点类型

点

• 参数平面的像素
• 复二次多项式 $f_{c}(z)=z^{2}+c$ 的 c 参数
• 复数
• 点坐标

标准

参数平面点分类标准 

• 内部角度（旋转数）或外部角度的算术性质
  • 对于外部点的情况
    • 角度类型 : 有理数、无理数......
    • 角度在倍增映射下的前周期和周期
  • 对于边界点的情况 
    • 外部角度在倍增映射下的前周期和周期
    • 内部角度在倍增映射下的前周期和周期
• 集合属性（与曼德布罗特集和尾迹的关系）
  • 内部
  • 边界
  • 外部
    • 尾迹内部、子尾迹
    • 在所有尾迹之外，属于落在西格尔或克雷默参数上的参数射线，
• 几何属性
  • 落在边界点上的外部射线的数量 : 尖端 ( 1 个射线)、双可达、三可达......
  • 临界点相对于茱莉亚集的位置
• 重整化

分类

没有完整的分类。 “未分类” 参数是不可数无限的，相关的角度也是不可数无限的。

简单分类

• 曼德布罗特集外部
• 曼德布罗特集
  • 曼德布罗特集的边界
  • 曼德布罗特集内部（双曲参数）
    • 中心，
    • 其他内部点（内部射线的点）

定义

• 曼德博集合边界 ∂M 上的一个参数 c 如果临界点是非循环的且属于 Julia 集，则该参数 c 为半双曲的。^[44]
  • 半双曲参数的一个典型例子是 Misiurewicz 点：如果 fcˆ 的临界点是前周期点，则我们称参数 ˆc 为 Misiurewicz 点。

边界点部分分类

分类 ：^[45]

• 原始和卫星双曲分量的边界
  • 抛物线（包括 1/4 和原始根，它们是具有有理外部角的 2 个参数射线的着陆点 = 双可达）。
  • Siegel（具有无理外部角的唯一参数射线着陆点）
  • Cremer（具有无理外部角的唯一参数射线着陆点）
• M 的边界，不包括双曲分量的边界
  • 非可重整化（具有有理外部角的 Misiurewicz 点和其他）。
  • 可重整化
    • 有限重整化（Misiurewicz 点和其他）。
    • 无限重整化（Feigenbaum 点和其他）。落在 Feigenbaum 点上的外部射线的角度以圈数为单位是无理数。
• 非双曲分量（我们认为它们不存在，但我们无法证明）。非双曲分量的边界也将是无限重整化的。

这里的“其他”没有完整的描述。多项式可能具有局部连通的 Julia 集或没有，临界点可能循环或不循环，分支点处的分支数可能是有界的或没有......

如何从参数平面选择一个点 ？

• 取一个点（并检查其性质）
  • 由其他人选择参数（视觉选择）
  • 点击参数点并查看结果（随机选择）^[46]
• 根据其已知性质计算一个点
  • 对于（抛物线点），选择双曲分量（周期，数量）和内部角（= 旋转数），然后计算 c 参数。
  • Misiurewicz 点^[47]
  • 另请参见^[48]中的已知区域
  • 变形
  • 有趣的区域^[49]
• 缩放
  • 自动缩放
  • math.stackexchange 问题：value-to-use-as-center-of-mandelbrot-set-zoom
  • David J. Eck 提供的 Mandelbrot 示例参数
  • 示例

参数调整是一种习得的艺术，还是纯粹的随机机会？

 "From my own experience with monocritical polynomials and Lyapunov diagrams, all my images I found purely by chance.
 For z^2+c e.g. as long as you're in the same hyperbolic component, the shape changes only in the sense, that a fat spiral might become thinner, but the number of arms stays constant. 
 If you move the c value out of that    component into another - and if this 2nd component is not directly attached to the first, then, I'm not aware of a direct way of telling what it would look like there.

Usually I perform a parameter walk just computing black and white escape images with periodicity. Then for  the interesting shapes/periods I apply a color walk with some gradients that looked fine in previous images. 
But that's  more or less guessing.

If you want to turn more into the constructing-an-image from a vision you have, you might try two articles: genetic algorithm and Leja points"  marcm200

曼德博集合 : z^6+ A*z+c 如何找到如此有趣的示例 ？

" I'm running from time to time an A,c-parameter space walk (brute force) in a rather wide grid (-2..+2 in ~0,01 or larger steps) for the family z^n+A*z+c, adding a small random dyadic fraction to the 4d coordinates to get variation. 
Following numerically the orbits of the critical points with a rather high max it of 25000 it's possible to get the number of attracting cycles and their length to some accuaracy level in a decent time. If those A,c-parameter pairs pass some filters (mostly sum of length of cycles and diversity) I scan through small overview pictures manually.
Then I use interesting A,c pairs (shape-wise or from the filter values) and some small deviations from it to compute level 10-12 TSA images, as sets wiith similar shapes can show a different dynamical behaviour w.r.t. the level at which interior cells emerge.
I'll take the fastest one and see how many cycles can be detected up to level 18-19." marcm200

曲线

在参数平面上的曲线

• 射线
  • 参数外部射线
  • 内部射线
• 等势线
• 边界
  • 整个曼德博集合的
  • 双曲分量的

算法

• 通用或表示函数
  • 布尔逃逸时间
    • BDM/M
  • 复势
• 原子域
• bof60
• Lyapunov 指数
• 真实形状
• 离散拉格朗日描述符
• 组合 : 调整
  • 尾流
  • 主心形尾流 k/r 的原理 Misiurewicz 点
  • 子尾流，调整和内部地址
  • 根，岛屿和 Douady 调整
• Julia 变形 - 用于雕刻曼德博集合部分的形状（缩放）并显示拐点

模型

• 
  曼德博集合的拓扑模型（反映对象的结构）。没有迷你曼德博集合和 Misiurewicz 点的曼德博集合的拓扑模型（仙人掌模型）
• 
  曼德博集合的灌木模型
• 
  使用 Lavaurs 算法对曼德博集合进行拓扑建模，直到周期 12

曼德博集合的结构

• Sharkovsky 排序

尺寸或面积

• Kerry Mitchell 的 mandelbrot-area（2001 年）
• A.C. Fowler 和 Mark J. Mcguinness 的曼德博灯泡尺寸

如何为任意缩放级别确定曼德博分形中的理想最大迭代次数

• a-way-to-determine-the-ideal-number-of-maximum-iterations-for-an-arbitrary-zoom
• 由 Robert Munafo 编写的曼德博集合词汇表和百科全书中的自动驻留限制（版权所有 1987-2023）。
• stackoverflow 问题：how-many-iterations-of-the-mandelbrot-set-for-an-accurate-picture-at-a-certain-z
• stackoverflow 问题：calculate-a-dynamic-iteration-value-when-zooming-into-a-mandelbrot
• 根据放大倍数的平方根倒数自适应 maxiter

另见

• Julia 集类型
• 精确坐标 by  Robert P. Munafo，2003 年 9 月 22 日。
• 有理坐标   by Robert P. Munafo，2012 年 4 月 22 日。