定义

法图集被称为

正规性域
等度连续性域

部分

法图集、域和分量那么存在有限数量的开集 $\;F_{1},...,F_{r}\;$ ，它们被 $\;f(z)\;,$ 保持不变，并且

集合 $\;F_{i}\;$ 的并集在平面上稠密，并且
$\;f(z)\;,$ 在每个集合 $\;F_{i}\ ;.$ 上以规律和相等的方式表现。

最后一句话意味着由 $\;F_{i}\;$ 的点生成的迭代序列的终止点

要么完全相同，在这种情况下它是一个有限循环
要么它们是同心排列的圆形或环形集合的有限循环。

在第一种情况下，循环是吸引的，在第二种情况下它是中性的。

这些集合 $\;F_{i}\;$ 是 $\;f(z)\;,$ 的法图域，它们的并集是 $\;\operatorname {F} (f)\;$ ，即 $\;f(z)\;.$ 的法图集。

法图集中的每个域可以归类为四种不同的类别之一。^[1]

每个法图域至少包含一个 $\;f(z)\;,$ 的临界点，即

满足 $\;f'(z)=0\;,$ 的一个（有限）点z，
$\;f(z)=\infty \;,$ $\;f(z)=\infty \;,$
- 如果分子 $\;p(z)\;$ 的次数至少比分母 $\;q(z)\;,$ 的次数大 2。
- 如果存在某个 c 和满足此条件的有理函数 $\;g(z)\;$ ，使得 $\;f(z)=1/g(z)+c\;$ 。

补集

$\;\operatorname {F} (f)\;$ 的补集是 $\;\operatorname {J} (f)\;$ ，即 $\;f(z)\;.$ 的Julia集。

如果所有临界点都是前周期点，也就是说它们不是周期点，但最终会落入一个周期循环中，那么 $\;\operatorname {J} (f)\;$ 将是整个球体；否则， $\;\operatorname {J} (f)\;$ 是一个无处稠密的集合（它没有内点）并且是一个不可数的集合（与实数具有相同的基数）。像 $\;\operatorname {F} (f)\;,$ 一样， $\;\operatorname {J} (f)\;$ 不变于 $\;f(z)\;,$ ，并且在这个集合上迭代是排斥的，这意味着对于 z 的邻域 [在 $\;\operatorname {J} (f)\;$ 内] 的所有 w ，都有 $\;|f(z)-f(w)|>|z-w|\;$ 。这意味着 $\;f(z)\;$ 在Julia集上表现出混沌行为。尽管Julia集中的某些点的迭代序列是有限的，但这样的点只有可数个（它们构成Julia集的无穷小部分）。由这些集合之外的点生成的序列表现出混沌行为，这种现象被称为 确定性混沌。

分量

关于有理映射的动态平面的分量，Fatou集的分量个数:^[2]

0（Fatou集为空，整个黎曼球面都是Julia集）^[3]
1 ( 例如 $f(z)=z^{2}-2$ ，这里只有一个 Fatou 域，它包含一个分量 = 完整的 Fatou 集)
2 ( 例如 $f(z)=z^{2}$ ，这里有两个 Fatou 域，两者都包含一个分量)
无限多个 ( 例如 $f(z)=z^{2}-1$ ，这里有两个 Fatou 域，一个 ( 外部 ) 包含一个分量，另一个 ( 内部 ) 包含无限多个分量)

分量的数量
2 个域 ( 盆 ) 和 2 个分量，所以域 = 分量
2 个域：一个域包含一个分量，但另一个域包含无限多个分量
1 个域和无限多个分量

The Samuel Lattes 函数的 Julia 集 $l(z)={\frac {{(z^{2}+1)}^{2}}{4z(z^{2}-1)}}$ 包含整个复球面 = Fatou 集为空^[4]^[5]

域

在基于复二次多项式的离散动力系统的情况下，Fatou 集可以由域 ( 盆 ) 组成

吸引 ( 吸引不动点的盆 / 周期 )
- 超吸引 ( Boettcher 坐标 )
  - 无穷远处的盆 ^[6]
- 吸引但不是超吸引 (
抛物线 (Leau-Fatou) 盆 ( Fatou 坐标 ) 附近有理无差异不动点 / 周期的局部动力学 ;
椭圆盆 = Siegel 圆盘 ( 附近无理无差异不动点 / 周期的局部动力学 )

坐标

坐标
盆	坐标		接近不动点的速度
超吸引	Boettcher		快
吸引	Koenigs		中等
抛物线	Fatou		慢
Siegel 圆盘		无理旋转，所以轨道是闭合曲线	点围绕不动点旋转，永远不会接近它
Herman 环		无理旋转，所以轨道是闭合曲线	点围绕不动点旋转，永远不会接近它

排斥盆是另一个名字

多项式的超吸引盆

局部离散复动力学

Julia 集是连通的 ( 2 个吸引盆)

吸引 : 双曲动力学
- 超吸引 : 非常快 ( = 指数 ) 收敛到周期循环 ( 不动点 )
抛物线分量 = 慢 ( 懒惰 ) 动力学 = 慢 ( 指数减速 ) 收敛到抛物线不动点 ( 周期循环)
Siegel 圆盘分量 = 围绕不动点旋转，永远不会到达不动点

当 Julia 集不连通时，Julia 集没有内部 ( 临界不动点是排斥的 ( 或吸引到无穷大 ) - 只有一个吸引盆

沿逃逸路径 0 的动力学演化 ( 抛物线内爆)
参数 c	c 的位置	Julia 集	内部	临界轨道动力学类型	临界点	不动点	alfa 的稳定性
c = 0	中心，内部	连通	存在	超吸引	吸引到 alfa 不动点	临界不动点等于 alfa 不动点，alfa 是超吸引的，beta 是排斥的	r = 0
0<c<1/4	内部射线 0，内部	连通	存在	吸引	吸引到 alfa 不动点	alfa 是吸引的，beta 是排斥的	0 < r < 1.0
c = 1/4	尖点，边界	连通	存在	抛物线	吸引到 alfa 不动点	alfa 不动点等于 beta 不动点，两者都是抛物线的	r = 1
c>1/4	外部射线 0，外部	不连通	消失	排斥	排斥到无穷大	两个有限不动点都是排斥的	r > 1

稳定性 r 是不动点 alfa 处的乘子的绝对值

 $r=|m(z_{\alpha })|$

c = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0000000000000000+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0000000000000000 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.0513167019494862+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.0513167019494862 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1055728090000841+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1055728090000841 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.0750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.1633399734659244+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.1633399734659244 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2254033307585166+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2254033307585166 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.2928932188134524+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.2928932188134524 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.3675444679663241+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.3675444679663241 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.1750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.4522774424948338+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.4522774424948338 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.5527864045000419+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.5527864045000419 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.6837722339831620+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.6837722339831620 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 0.9999999894632878+0.0000000000000000*I 	 r(m) = 0.9999999894632878 	 t(m) = 0.0000000000000000 	period = 1
 c = 0.2750000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.3162277660168377*I 	 r(m) = 1.0488088481701514 	 t(m) = 0.0487455572605341 	period = 1
 c = 0.3000000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.4472135954999579*I 	 r(m) = 1.0954451150103321 	 t(m) = 0.0669301182003075 	period = 1
 c = 0.3250000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.5477225575051662*I 	 r(m) = 1.1401754250991381 	 t(m) = 0.0797514300099943 	period = 1
 c = 0.3500000000000000+0.0000000000000000*I 	 m(c) = 1.0000000000000000+0.6324555320336760*I 	 r(m) = 1.1832159566199232 	 t(m) = 0.0897542589928440 	period = 1

沿内部 / 外部射线 0 的动力学演化
中心 = 超吸引
吸引
抛物线
排斥

测试

局部动力学分析

绘制临界轨道
查找周期点
将复数移动划分为简单的路径
拓扑图,^[7]
绘制网格 ( 极坐标或矩形 )

方法	测试	描述	结果集	真实集
二进制逃逸时间	保释	abs(zn)>ER	逃逸和不逃逸	逃逸集包含快速逃逸像素，是真正的外部。不逃逸集被视为填充的 Julia 集 ( 内部和边界 )，但它包含来自外部的缓慢逃逸点， Julia 集内部点
离散逃逸时间 = 等级集方法 = LSM	保释	最后一次迭代或 final_n = n : abs(zn)>ER	逃逸集被划分为具有相同 n ( 最后一次迭代 ) 的子集。这些子集称为等级集，并创建围绕 Julia 集并逼近它的带。等级集的边界称为停留带
连续逃逸时间	示例	示例	示例