分形/目标集
外观
< 分形
动力学平面被划分为
- Fatou 集
- Julia 集
Fatou 集由一个或多个吸引到吸引子的吸引域组成。
每个吸引域有一个或多个临界点,这些临界点落入周期轨道(吸引子)
-
排斥情况:Julia 集不连通,只有一个盆地(周期为 1 的超吸引:无穷大的盆地)
-
2 个盆地,每个盆地只有一个分量
-
2 个盆地:外部(1 个分量)和内部:由无限多个分量组成(吸引情况)
-
2 个盆地:外部和内部。外部仅由一个分量组成(周期为 1 的超吸引)。内部由无限多个分量组成。直接吸引域由包含周期 3 循环的 3 个分量组成
-
抛物线吸引子属于 Julia 集
目标集
- 是前向轨道的陷阱
- 是一个捕获任何趋向于吸引子的轨道的集合(极限集 = 吸引循环 = 固定 / 周期点)。
分类标准:可以根据以下标准进行划分
- 吸引子(有限或无限)
- 动力学(双曲型、抛物线型、椭圆型)
- 形状(逃逸测试)
- 目标
- 目标集的分解:二元分解(BDM)、角度分解,
- 目标集 是动力学平面上包含无穷大且不包含填充 Fatou 集点的任意集合。
- 对于逃逸时间算法,目标集决定了水平集和曲线的形状。对于其他方法则不然。
- 对于逃逸到无穷大点的(无穷大盆地 = Julia 集的外部),它是以原点 为中心,半径 =ER 的圆的外部。
半径称为逃逸半径(ER)或逃逸值。半径应大于 2。
无穷大
- 对于多项式,无穷大是超吸引不动点。因此,在 Julia 集的外部(无穷大的吸引域)中,所有多项式的动力学都相同。逃逸测试(= 逃逸测试)可以用作第一个通用工具。
- 对于有理映射,无穷大不是超吸引不动点。它可能是周期点,也可能不是。
对于有限吸引子,请参见:按盆地划分的目标集
参见
这里
- 是临界轨道的最后一次迭代
- 是陷阱(圆形)的中心
- 是周期/不动点(阿尔法不动点)
陷阱是以 为中心,半径 = AR 的圆。
- 稳定性指数 = cabs(乘子) > 1.0
- 周期/不动点(阿尔法不动点)是排斥的 = Julia 集没有内部
- 当所有点都在Julia集内部时,
- 稳定性指数:0.0 < |乘子| < 0.0
吸引子
- 无穷大对于多项式的正向迭代总是超吸引的。这里目标集是包含所有Julia集点(及其内部)的任何形状的外部。
- 当参数c是Mandelbrot集的双曲分量的中心(核)时,有限吸引子也可以是超吸引的。
在正向迭代的情况下,目标集 是在动力学平面上包含无穷大且不包含填充Julia集点的任意集合。
超吸引情况:这里
- 所以必须手动设置AR,例如AR = 30*像素宽度
- 稳定性指数 = |乘子| = 0.0
- 吸引盆的中心是
-
不动点属于Julia集和陷阱的边界(此处为圆形)。
-
抛物线情况下t = 1/30时的三角形陷阱。
在抛物线情况下,陷阱可以用于
对于子周期为1和2的抛物线情况,目标集可以具有圆形形状。
- 应该
- 计算AR
- 将陷阱中心更改为吸引不动点zp和临界轨道的最后一次迭代zn之间的中点以获得:
- 稳定性指数|乘子| = 1.0
- 这里
对于子周期 > 2,花瓣可以是围绕父周期不动点的圆的三角形片段。
对于抛物线情况很重要
- 对于Fatou盆(颜色取决于目标集):围绕不动点的圆 = 内部陷阱
- 对于Fatou盆的组成部分(颜色与迭代模周期成比例) - 上述圆的三角形片段 = 最大三角形(zp,zprep,-zprep) = 组成部分的陷阱
- 对于Fatou盆的水平集(颜色与最后一次迭代次数成比例) = 组成部分的陷阱
- 对于BDM或抛物线棋盘格:2个较小的三角形(zp,zprecr,zcr)和(zp,zcr,-zprecr)= BD的陷阱
-zprecr zf zcr zprecr
其中
- p是周期
- zf = 不动点(这里周期 = 1)
- zcr = 临界点z=0
- zprecr = 临界前点 = 临界点的原像:。请注意,逆函数是多值的,因此应该选择合适的原像。
unsigned char ComputeColorOfFatouBasins (complex double z)
{
int i; // number of iteration
for (i = 0; i < IterMax; ++i)
{
// infinity is superattracting here !!!!!
if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
// 1 Attraction basins
if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){ return iColorOfInterior;}
z = f(z); // iteration: z(n+1) = f(zn)
}
return iColorOfUnknown;
}
unsigned char ComputeColorOfFatouComponents (complex double z)
{
int i; // number of iteration
for (i = 0; i < IterMax; ++i)
{
// infinity is superattracting here !!!!!
if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
//1 Attraction basins
if ( cabs2(zp-z) < AR2 )
{ return iColorOfBasin1 - (i % period)*20;} // number of components in imediate basin = period
z = f(z); // iteration: z(n+1) = f(zn)
}
return iColorOfUnknown;
}
unsigned char ComputeColorOfLSM (complex double z)
{
//double r2;
int i; // number of iteration
for (i = 0; i < IterMax_LSM; ++i)
{
if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
//1 Attraction basins
if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){
return i % 255 ;
}
z = f(z);
}
return iColorOfUnknown;
}
- 圆形
- 正方形
- Julia集
- p-范数圆盘
这是典型的目标集。它是以原点 为中心,半径为ER的圆的外部。
半径被称为逃逸半径(ER)或溢出值。
以原点为中心,半径为ER的圆为:
对于逃逸到无穷大点的(无穷大盆地 = Julia 集的外部),它是以原点 为中心,半径 =ER 的圆的外部。
半径称为逃逸半径(ER)或逃逸值。半径应大于 2。
对于有限吸引子,它是以周期点为中心的圆的内部。
对于抛物线周期点
- 它被称为花瓣。
- 花瓣是圆的内部。
- 花瓣圆的中心等于最后一次迭代和抛物线周期点之间的中点。
- 抛物线周期点属于Julia集。
-
-
抛物线情况
这里目标集是边长为的正方形的外部,该正方形以原点为中心。
埃舍尔式平铺是水平集方法(LSM/J)的修改版。这里逃逸时间的水平集是不同的,因为目标集是不同的。这里目标集是一个缩放后的填充Julia集。
更多描述请参见
- Fractint : escher_julia
- Heinz-Otto Peitgen、Dietmar Saupe编著的《分形图像科学》第187页[2]
-
巴西利卡
-
c = -1.24
-
杜瓦迪兔子
另请参阅
- ↑ 川平朋树的填充Julia集的镶嵌
- ↑ {Peitgen, H.O. and Fisher, Y. and Saupe, D. and McGuire, M. and Voss, R.F. and Barnsley, M.F. and Devaney, R.L. and Mandelbrot, B.B.}, (2012). 《分形图像科学》. Springer Science & Business Media, 2012. p. 187. ISBN 9781461237846.
{{cite book}}
: CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) - ↑ fractalforums.org : Kalles Fraktaler的其他退出变化