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分形/目标集

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动力学平面被划分为

  • Fatou 集
  • Julia 集

Fatou 集由一个或多个吸引到吸引子的吸引域组成。


每个吸引域有一个或多个临界点,这些临界点落入周期轨道(吸引子)


目标集

  • 是前向轨道的陷阱
  • 是一个捕获任何趋向于吸引子的轨道的集合(极限集 = 吸引循环 = 固定 / 周期点)。

分类标准:可以根据以下标准进行划分

  • 吸引子(有限或无限)
  • 动力学(双曲型、抛物线型、椭圆型)
  • 形状(逃逸测试)
  • 目标
  • 目标集的分解:二元分解(BDM)、角度分解,


按吸引子

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对于无限吸引子

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  • 目标集 是动力学平面上包含无穷大且不包含填充 Fatou 集点的任意集合。
  • 对于逃逸时间算法,目标集决定了水平集和曲线的形状。对于其他方法则不然。
  • 对于逃逸到无穷大点的(无穷大盆地 = Julia 集的外部),它是以原点 为中心,半径 =ER 的圆的外部。

半径称为逃逸半径(ER)或逃逸值。半径应大于 2。

无穷大

  • 对于多项式,无穷大是超吸引不动点。因此,在 Julia 集的外部(无穷大的吸引域)中,所有多项式的动力学都相同。逃逸测试(= 逃逸测试)可以用作第一个通用工具。
  • 对于有理映射,无穷大不是超吸引不动点。它可能是周期点,也可能不是。

对于有限吸引子

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不动点周围的内部水平集


对于有限吸引子,请参见:按盆地划分的目标集


参见

按动力学

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目标集沿内部射线 0 如何变化。如果圆包含来自 Julia 集外部的点,则它是一个不好的目标集。在抛物线情况下,应该更改圆的中心(圆的所有部分都应在 Julia 集内)

这里

  • 是临界轨道的最后一次迭代
  • 是陷阱(圆形)的中心
  • 是周期/不动点(阿尔法不动点)

陷阱是以 为中心,半径 = AR 的圆。


排斥情况

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  • 稳定性指数 = cabs(乘子) > 1.0
  • 周期/不动点(阿尔法不动点)是排斥的 = Julia 集没有内部

吸引但不是超吸引情况

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  • 当所有点都在Julia集内部时,
  • 稳定性指数:0.0 < |乘子| < 0.0

椭圆型情况

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椭圆型情况下的目标集 = 内圆

对于椭圆动力学,当存在Siegel圆盘时,目标集是内圆

超吸引情况

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吸引子

  • 无穷大对于多项式的正向迭代总是超吸引的。这里目标集是包含所有Julia集点(及其内部)的任何形状的外部。
  • 当参数c是Mandelbrot集的双曲分量的中心(核)时,有限吸引子也可以是超吸引的。

在正向迭代的情况下,目标集 是在动力学平面上包含无穷大且不包含填充Julia集点的任意集合。

超吸引情况:这里

  • 所以必须手动设置AR,例如AR = 30*像素宽度
  • 稳定性指数 = |乘子| = 0.0
  • 吸引盆的中心是

抛物线情况:花瓣

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在抛物线情况下,陷阱可以用于


抛物线情况下,目标集应在花瓣内部。


对于子周期为1和2的抛物线情况,目标集可以具有圆形形状。

  • 应该
    • 计算AR
    • 将陷阱中心更改为吸引不动点zp和临界轨道的最后一次迭代zn之间的中点以获得:
  • 稳定性指数|乘子| = 1.0
  • 这里

对于子周期 > 2,花瓣可以是围绕父周期不动点的圆的三角形片段。

按目的地

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对于抛物线情况很重要

  • 对于Fatou盆(颜色取决于目标集):围绕不动点的圆 = 内部陷阱
  • 对于Fatou盆的组成部分(颜色与迭代模周期成比例) - 上述圆的三角形片段 = 最大三角形(zp,zprep,-zprep) = 组成部分的陷阱
  • 对于Fatou盆的水平集(颜色与最后一次迭代次数成比例) = 组成部分的陷阱
  • 对于BDM抛物线棋盘格:2个较小的三角形(zp,zprecr,zcr)和(zp,zcr,-zprecr)= BD的陷阱


  		    -zprecr
zf      	    zcr 
  		    zprecr

其中

  • p是周期
  • zf = 不动点(这里周期 = 1)
  • zcr = 临界点z=0
  • zprecr = 临界前点 = 临界点的原像:。请注意,逆函数是多值的,因此应该选择合适的原像。


unsigned char ComputeColorOfFatouBasins (complex double z)
{

  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax; ++i)
    {


		
      // infinity is superattracting here !!!!!	
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
	
      // 1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){ return iColorOfInterior;}
		 
      			
     
      z = f(z);		//  iteration: z(n+1) = f(zn)
	

    }

  
  return iColorOfUnknown;


}


unsigned char ComputeColorOfFatouComponents (complex double z)
{


  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax; ++i)
    {


      // infinity is superattracting here !!!!!	
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
	
  
      //1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 )
      	{ return iColorOfBasin1 - (i % period)*20;} // number of components in imediate basin = period
	 
		
     
      z = f(z);		//  iteration: z(n+1) = f(zn)
	

    }

  
  return iColorOfUnknown;


}






unsigned char ComputeColorOfLSM (complex double z)
{

  //double r2;


  int i;			// number of iteration
  for (i = 0; i < IterMax_LSM; ++i)
    {

    
       if ( cabs2(z) > ER2 ){ return iColorOfExterior;}
      //1 Attraction basins 
      if ( cabs2(zp-z) < AR2 ){
      		return  i  % 255 ; 
	 	}
     
	
      z = f(z);	

    }

  return iColorOfUnknown;
}

按形状

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  • 圆形
  • 正方形
  • Julia集
  • p-范数圆盘

圆形外部

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这是典型的目标集。它是以原点 为中心,半径为ER的圆的外部。

半径被称为逃逸半径(ER)或溢出值

以原点为中心,半径为ER的圆为:


对于逃逸到无穷大点的(无穷大盆地 = Julia 集的外部),它是以原点 为中心,半径 =ER 的圆的外部。


半径称为逃逸半径(ER)或逃逸值。半径应大于 2。

对于有限吸引子,它是以周期点为中心的圆的内部。


对于抛物线周期点

  • 它被称为花瓣。
  • 花瓣是圆的内部。
  • 花瓣圆的中心等于最后一次迭代和抛物线周期点之间的中点。
  • 抛物线周期点属于Julia集。



正方形的外部

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这里目标集是边长为的正方形的外部,该正方形以原点为中心。


埃舍尔式平铺是水平集方法(LSM/J)的修改版。这里逃逸时间的水平集是不同的,因为目标集是不同的。这里目标集是一个缩放后的填充Julia集。

更多描述请参见




p-范数圆盘

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另请参阅

参考文献

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  1. 川平朋树的填充Julia集的镶嵌
  2. {Peitgen, H.O. and Fisher, Y. and Saupe, D. and McGuire, M. and Voss, R.F. and Barnsley, M.F. and Devaney, R.L. and Mandelbrot, B.B.}, (2012). 《分形图像科学》. Springer Science & Business Media, 2012. p. 187. ISBN 9781461237846.{{cite book}}: CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  3. fractalforums.org : Kalles Fraktaler的其他退出变化
华夏公益教科书