广义相对论/逆变和协变指标

秩和维数

现在我们已经讨论了张量，我们需要弄清楚如何对它们进行分类。一个重要的特征是张量的秩，它是指定张量所需的索引数量。一个普通的矩阵是一个秩为 2 的张量，一个向量是一个秩为 1 的张量，一个标量是秩为 0 的张量。一般来说，张量可以具有大于 2 的秩，而且通常确实如此。

张量的另一个特征是张量的维数，它是每个索引的计数。例如，如果我们有一个包含 3 行的矩阵，每行有 4 个元素（列），那么该矩阵是一个维数为 (3,4) 或等效地维数为 12 的张量。

秩和维数的重要之处在于它们在坐标系的变化下是不变的。您可以随意更改坐标系，秩和维数不会改变。这引发了一个重要的问题，即当您更改坐标系时，张量如何变化。当我们研究这个问题时，我们会发现实际上有两种不同类型的向量。

逆变和协变向量

想象一下，您正在以每小时 1000 公里的速度向东飞行，或者沿着正 x 轴飞行。我们将您的速度向量称为v。现在，我们将向量保持为一维。突然，您意识到您处于米的情绪中，因此我们想弄清楚您以米为单位的速度有多快。快速更改您的坐标系，您发现您正在以每小时 1000 * 1000 = 1000 000 米的速度向东飞行。我们将此向量称为v'。没问题。

现在您决定爬升，您注意到温度正在变化。然后我们绘制一张地图，显示当我们飞行时温度如何变化。然后我们沿着最陡峭的上升路径或最快冷却路径飞行。在我们当前的位置，温度以每公里向东 10 摄氏度的速度下降。让我们将此温度梯度向量称为w。同样，您进入米的情绪。快速计算后，您发现温度变化的梯度为 -10/1000 = -.01 摄氏度/米。我们将此向量称为w'。

您注意到什么有趣的事情了吗？

即使我们谈论的是两个向量，但我们在更改坐标时对它们的处理方式却截然不同。在第一种情况下，向量对坐标变化的反应是乘法。也就是说，v'=k•v。在第二种情况下，我们进行了一个除法：w'=1/k•w。在第一种情况下，我们正在改变一个距离/某物的向量，而在第二种情况下，向量是某物/距离。这些是两种截然不同的向量类型。下面的图形描绘了表示v、v'、w 和w'的向量。

第一组向量，代表速度，是逆变的；当比例从公里变为米时，向量的长度会增加。第二组向量，代表温度梯度，是协变的；当比例从公里变为米时，向量的长度也会减小。

第一种向量的数学术语称为逆变向量。第二种向量类型称为协变向量。有时协变向量被称为一形式。

试图更充分地解释

很容易看出为什么w 被称为协变。协变仅仅意味着w 所度量的特征（温度变化）随着沿坐标系位移的增加而增加。换句话说，您离固定点越远，温度变化就越大，或者等效地，温度变化与位移变化协变。

虽然有点难以理解，但v 被称为逆变的原因恰恰相反。由于v 代表速度或距离/单位时间，我们可以将v 视为时间/单位距离的倒数，这意味着在走完一定固定距离时经过的时间量。时间/单位距离显然是协变的，因为您离固定点越远，经过的时间就越多。换句话说，时间与位移协变。由于速度是时间/单位距离的倒数，因此速度一定是逆变的。

这种差异在度量单位中也很明显。v 的度量单位是米/小时，而w 的度量单位是摄氏度/米。坐标系是空间中的位置，以米为单位测量。因此，我们再次看到坐标系出现在v 的分子中，这表明v 是逆变的（在这种情况下是时间的倒数），而坐标系出现在w 的分母中，这表明w 是协变的（与温度变化有关）。

逆变向量描述的是那些距离单位出现在分子中的量（如速度），而协变向量是那些距离单位出现在分母中的量（如温度梯度）。

当然，这些只是花哨的数学名称。正如我们所见，逆变向量和协变向量彼此非常不同，我们希望避免将它们混淆。为此，数学家想出了一个巧妙的表示法。逆变向量的分量用上标表示，而协变向量的分量用下标表示。因此，向量v 的分量为v¹ 和v²，而向量w 的分量为w₁ 和w₂。

尺度不变性

现在我们有了逆变向量和协变向量，我们可以做一些非常有趣的事情并将它们结合起来。我们有一个逆变向量来描述我们前进的方向和速度。我们有一个协变向量来描述温度变化的速率和方向。如果我们使用点积将它们组合起来

f\ \ =\ \ \mathbf {v} \cdot \mathbf {w}

dT/dt = 1000 · -10 = -10000 摄氏度/小时

我们得到了温度变化率f，当我们在某个方向上移动时，其单位为摄氏度/小时。f 的单位的有趣之处在于它们不包含任何距离单位，如米或公里。因此，现在假设我们更改坐标系，从米更改为公里。f 如何变化？

f\ \ =\ \ \mathbf {v'} \cdot \mathbf {w'}

dT/dt = 100,0000 · -.01 = -10000 摄氏度/小时

它没有。我们称这种特征为尺度不变性，我们说f 是一个尺度不变量。f 的值在坐标系尺度的变化下是不变的。

到目前为止，我们一直将w 视为一种奇怪类型的向量。但有一种更强大的方法来思考w。看看我们刚刚做了什么。我们取v，将它与w 结合起来，得到了一个在您更改坐标系时不会更改的东西。现在，一种思考方式是说w 是一个函数，它接受v 并将其转换为一个尺度不变的值f。直白地说，w 将是接受任何粒子的速度并产生该粒子每小时经历的温度变化的函数（对于前面声明的特定温度场）。

向量空间和基向量

这种事实，即协变向量，如w，可以将任何逆变向量，如v，转换为尺度不变值，如f，概括为说w 是一个线性泛函。

让我们更精确地解释“像”这个词。数学运算，例如将一种类型的向量转换为另一种类型的向量，是在向量空间中进行的。有关向量空间的详细定义，请参阅向量空间。简单地说，我们可以说向量空间是一组可以相加并乘以数字的向量，其结果始终是同一个向量空间中的另一个向量。

我们定义 $V$ 为逆变向量，如v的向量空间。

然后，所有协变向量，如w的集合，它将v中的向量从 $V$ 转换为标量，如f，我们也可以将其称为所有线性泛函w的集合 $V$ ，可以被命名为 $V^{*}$ ，我们称之为对偶空间。

$V^{*}$ 也是一个向量空间。请记住，我们可以将w视为向量或函数，这取决于我们希望强调其哪些属性。

现在，我们可以更仔细地解释“像”这个词，说明w和v必须是哪个空间的成员： $V^{*}$ （称为协变向量或1-形式）中的任何向量w都可以将 $V$ （称为逆变向量）中的任何向量v转换为一个尺度不变的值，如f。（我们没有说明f是哪个空间或集合的成员：在实践中，我们通常只对f作为实数集合的成员感兴趣。）

任何向量空间都有一组基向量。也就是说，如果 $\mathbf {v} \in V$ ，那么 $\mathbf {v}$ 可以写成 $\sum _{\alpha }v^{\alpha }\mathbf {e} _{\alpha }$ 其中，

${\alpha }$ 是一个从 1 到 $\mathbf {v}$ 的维度进行索引的指标。
集合 { $\mathbf {e} _{\alpha }$ } 是向量空间 $\mathbf {V}$ 的基向量。
$v^{\alpha }$ 是一个常数。

请注意，尽管逆变向量的分量用上标（“上标”）表示，但基向量用下标（“下标”）表示。如果集合 { $\mathbf {e} _{\alpha }$ } 是 $V$ 的基底，那么 $\mathbf {v} \in V$ 可以写成线性组合 $\mathbf {v} =v^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ 。（我们使用爱因斯坦求和约定，详见下一节；这是一种简写形式，代表 $\sum _{\mu }v^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ 。）

在讨论协变向量之前，我们必须定义 **对偶基** 的概念。请记住， $V^{*}$ 的元素是 $V$ 上的线性泛函。因此，我们可以将协变向量“作用”于逆变向量以得到一个标量。例如，如果 $\mathbf {\sigma } \in V^{*}$ 并且 $\mathbf {v} \in V$ ，那么 $\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )$ 将返回一个标量。现在，对偶基定义如下：如果 { $\mathbf {e} _{\alpha }$ } 是 $V$ 的基底，那么对偶基是 $V^{*}$ 的基底 { $\mathbf {\omega ^{\alpha }}$ }，满足 $\mathbf {\omega } ^{\mu }(\mathbf {e} _{\nu })=\delta _{\nu }^{\mu }$ （其中 $\delta _{\nu }^{\mu }$ 是克罗内克δ）对于每个 $\mu$ 和 $\nu$ 成立。

现在，协变向量的分量用下标（“下标”）表示。由于 { $\mathbf {\omega ^{\alpha }}$ } 是 $V^{*}$ 的基底，我们可以将协变向量 $\mathbf {\sigma }$ 写成 $\mathbf {\sigma } =\sigma _{\mu }\mathbf {\omega } ^{\mu }$ 。

现在我们可以评估应用于任何向量（逆变向量）的任何泛函（协变向量）。如果 $\mathbf {\sigma } \in V^{*}$ 且 $\mathbf {v} \in V$ ，则由线性性 $\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )=\sigma _{\alpha }\mathbf {\omega } ^{\alpha }(v^{\beta }\mathbf {e} _{\beta })=\sigma _{\alpha }v^{\beta }\mathbf {\omega } ^{\alpha }(\mathbf {e} _{\beta })=\sigma _{\alpha }v^{\beta }\delta _{\beta }^{\alpha }=\sigma _{\alpha }v^{\alpha }$ 。最后，如果我们定义 $\mathbf {e} _{\alpha }(\mathbf {\omega } ^{\beta })=\delta _{\alpha }^{\beta }$ ，我们看到 $\mathbf {v} (\mathbf {\sigma } )=\mathbf {\sigma } (\mathbf {v} )$ 。