波/向量

波 : 二维和三维波
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问题

数学教程--向量

图 1: 平面上的位移向量。
向量 ${\mbox{A}}$ 表示乔治相对于玛丽的位移，而向量 ${\mbox{B}}$ 表示保罗相对于乔治的位移。向量 ${\mbox{C}}$ 表示保罗相对于玛丽的位移，并且 ${\mbox{C}}={\mbox{A}}+{\mbox{B}}$。数量 $A_{x}$，$A_{y}$，等等，表示这些向量在笛卡尔坐标系下的分量。

在我们继续之前，我们需要了解一下向量的概念。向量是一个既表示大小又表示方向的量。在图形上，我们用箭头来表示向量。在排版中，向量用粗体字符表示，而在手写中，在代表向量的字符上画一个箭头。

图 1 展示了一些位移向量的示例，即表示一个物体相对于另一个物体的位移的向量，并引入了向量加法的概念。向量 ${\mbox{B}}$ 的尾部与向量 ${\mbox{A}}$ 的头部重合，从 ${\mbox{A}}$ 的尾部延伸到 ${\mbox{B}}$ 的头部的向量是 ${\mbox{A}}$ 和 ${\mbox{B}}$ 的和，在图 1 中称为 ${\mbox{C}}$。

图 2: 用于表示二维向量方向的角度 $\theta$ 的定义草图。

数量 $A_{x}$，$A_{y}$，等等，表示图 2 中向量在笛卡尔坐标系下的分量。向量可以用它的笛卡尔坐标系分量来表示，这些分量只是向量在笛卡尔坐标系轴上的投影，也可以用它的方向和大小来表示。二维向量方向通常用向量相对于 $x$ 轴的逆时针角度表示，如图 2 所示。从一种形式到另一种形式的转换由以下方程式给出

$A=(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})^{1/2}\qquad \theta =\tan ^{-1}(A_{y}/A_{x}),$

$A_{x}=A\cos(\theta )\qquad A_{y}=A\sin(\theta ),$

其中$A$ 是向量的长度。向量长度有时用绝对值符号表示：$A\equiv \vert {\mbox{A}}\vert$.

需要注意的是，反正切函数的结果对于加减整数倍的$\pi$ 是不确定的。因此，必须通过独立检查$A_{x}$ 和$A_{y}$ 的符号来确定角度所在的象限，并选择相应的$\theta$ 值。

要将两个向量${\mbox{A}}$ 和 ${\mbox{B}}$ 相加，最简单的方法是将它们转换为笛卡尔坐标形式。和向量${\mbox{C}}={\mbox{A}}+{\mbox{B}}$ 的分量就等于它们各自分量的和

$C_{x}=A_{x}+B_{x}\qquad C_{y}=A_{y}+B_{y}.$

向量减法类似进行，例如，如果${\mbox{A}}={\mbox{C}}-{\mbox{B}}$，那么

$A_{x}=C_{x}-B_{x}\qquad A_{y}=C_{y}-B_{y}.$

单位向量是指长度为 1 的向量。可以通过将普通向量除以其长度来构造单位向量：${\mbox{n}}={\mbox{A}}/\vert {\mbox{A}}\vert$。 此除法操作是通过将向量中的每个分量除以分母中的数字来执行的。 或者，如果向量用长度和方向表示，则将向量的模除以分母，方向不变。

单位向量可用于定义笛卡尔坐标系。 通常，${\mbox{i}}$，${\mbox{j}}$ 和 ${\mbox{k}}$ 分别表示该系统中的 $x$，$y$ 和 $z$ 轴。 注意 ${\mbox{i}}$，${\mbox{j}}$ 和 ${\mbox{k}}$ 互相垂直。 任何向量都可以用单位向量及其笛卡尔分量表示：${\mbox{A}}=A_{x}{\mbox{i}}+A_{y}{\mbox{j}}+A_{z}{\mbox{k}}$。 表示向量的另一种方法是作为分量列表：${\mbox{A}}=(A_{x},A_{y},A_{z})$。 我们倾向于使用后一种表示，因为它在某种程度上是一种更经济的表示法。

有两种方法可以将两个向量相乘，分别得到称为点积和叉积的结果。 叉积得到另一个向量，而点积得到一个数字。 在这里，我们将只讨论点积。

图 3：点积定义示意图。

给定向量 ${\mbox{A}}$ 和 ${\mbox{B}}$，这两个向量的点积定义为

${\mbox{A}}\cdot {\mbox{B}}\equiv \vert {\mbox{A}}\vert \vert {\mbox{B}}\vert \cos \theta ,$

其中 $\theta$ 是两个向量之间的夹角。点积的另一种表达式以向量的笛卡尔坐标表示

${\mbox{A}}\cdot {\mbox{B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}.$

很容易证明，当 $x$ 轴沿其中一个向量，如图 3 所示，这等同于点积的余弦形式。特别要注意，$A_{x}=\vert {\mbox{A}}\vert \cos \theta$，而 $B_{x}=\vert {\mbox{B}}\vert$ 和 $B_{y}=0$。因此，${\mbox{A}}\cdot {\mbox{B}}=\vert {\mbox{A}}\vert \cos \theta \vert {\mbox{B}}\vert$在这种情况下，这与上面给出的形式相同。

根据余弦定理，我们还可以看到

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\frac {1}{2}}\left(|\mathbf {A} +\mathbf {B} |^{2}-|\mathbf {A} |^{2}-|\mathbf {B} |^{2}\right)$

这是一个点积的另一种无坐标表达式。

图 4：旋转坐标系的定义图。向量 ${\mbox{R}}$ 在非标注坐标系中的分量为 $X$ 和 $Y$，在标注坐标系中的分量为 $X'$ 和 $Y'$。

要证明方程 (2.6) 通常成立，剩下的就是证明无论笛卡尔坐标系相对于向量如何定向，它都能得到相同的结果。为此，我们必须证明 $A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}=A_{x}'B_{x}'+A_{y}'B_{y}'$，其中撇号表示从原始坐标系旋转的坐标系中的分量。

这可以通过应用勾股定理几乎立即证明。由于 R 是不变的，并且代表两个三角形 (X, X', Y 和 Y') 的斜边，我们可以得出结论

$|R|^{2}=X^{2}+Y^{2}{\mbox{ and }}|R|^{2}=X'^{2}+Y'^{2}\Rightarrow X^{2}+Y^{2}=X'^{2}+Y'^{2}$

由于点积可以像上面那样完全用幅度表示，如果向量的幅度保持不变，则两个向量的点积也必须保持不变。

要推导出 X' 和 Y' 的一般公式，你需要多思考一下。

图 2.4 显示了向量 ${\mbox{R}}$ 在两个相互旋转的坐标系中分解。从图中可以清楚地看出，$X'=A+B$。专注于阴影三角形，我们看到 $A=X\cos \theta$ 和 $B=Y\sin \theta$。因此，我们得到 $X'=X\cos \theta +Y\sin \theta$。类似的推理表明 $Y'=-X\sin \theta +Y\cos \theta$（只需想象将图像中的构造体再旋转 90°，但不改变轴名称。你就会立即注意到，在第二象限中 X 为负而 Y 为正）。

因此，新坐标和旧坐标的关系是

${\begin{pmatrix}X^{\prime }\\Y^{\prime }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X\cos \theta +Y\sin \theta \\-X\sin \theta +Y\cos \theta \end{pmatrix}}$

这适用于位置向量。我们可以利用它将向量概念扩展到位置以外的概念，方法是声明，一对数字是向量，当且仅当它在旋转下以这种方式变化。

将此关系代入我们之前对点积的表达式，并使用三角恒等式 $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$，得到

${\begin{matrix}A_{x}'B_{x}'+A_{y}'B_{y}'&=&&(A_{x}\cos \theta +A_{y}\sin \theta )(B_{x}\cos \theta +B_{y}\sin \theta )\\&&+&(-A_{x}\sin \theta +A_{y}\cos \theta )(-B_{x}\sin \theta +B_{y}\cos \theta )\\&=&&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}\end{matrix}}$

这证明了上面引用的两种点积形式的完全等效性。（展开上面的表达式来验证这一点。）

不依赖于所使用坐标系的数值称为标量。两个向量的点积是一个标量。然而，向量的分量，单独考虑，不是标量，因为分量会随着坐标系的改变而改变。由于物理定律不能依赖于所使用坐标系的选择，我们坚持认为物理定律应该用标量和向量来表示，但不能用向量的分量来表示。

在三维空间中，点积的余弦形式保持不变，而分量形式是

${\mbox{A}}\cdot {\mbox{B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}.$