高中数学拓展/矩阵/项目/初等矩阵

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项目 -- 初等矩阵

始终，$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

1. 下面的矩阵称为初等矩阵。下面的矩阵与单位矩阵I有什么不同，分别描述每个矩阵。

• ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
• ${\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix}}$ 其中f为标量
• ${\begin{pmatrix}1&0\\f&1\end{pmatrix}}$ 其中f为标量
• ${\begin{pmatrix}f&0\\0&1\end{pmatrix}}$ 其中f为标量
• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&f\end{pmatrix}}$ 其中f为标量

2. 在每种情况下，计算B，然后描述B与A有何不同

• $B={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}A$
• $B={\begin{pmatrix}1&f\\0&1\end{pmatrix}}A$ 其中f为标量
• 其中f为标量，$B={\begin{pmatrix}1&0\\f&1\end{pmatrix}}A$
• 其中f为标量，$B={\begin{pmatrix}f&0\\0&1\end{pmatrix}}A$
• 其中f为标量，$B={\begin{pmatrix}1&0\\0&f\end{pmatrix}}A$

3. 矩阵${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}$的行列式不等于零。我们可以将该矩阵分解成若干个初等矩阵左乘单位矩阵的乘积。

${\begin{pmatrix}1&2\\4&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-3\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

现在假设det(A) ≠ 0，A可以表示为初等矩阵与单位矩阵的乘积吗？

4. a) 证明每个初等矩阵都有逆矩阵。提示：使用行列式。

b) 证明每个可逆矩阵（具有逆矩阵的矩阵）都是一些初等矩阵左乘单位矩阵的乘积。

5. 矩阵C的转置是矩阵C^T，其中C的第i行是C^T的第i列。使用初等矩阵证明

$(DE)^{T}=E^{T}D^{T}$

对于任意矩阵D和E。

6. 证明每个可逆矩阵也是一些初等矩阵右乘单位矩阵的乘积。

7. 不可逆矩阵呢？你能说些什么？