高中数学扩展/矩阵/解答

高中数学扩展

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数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数和生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进一步的模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

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矩阵

目前，主要关注的是编写每个章节的主要内容。因此，此练习解答部分可能已过时，并且看起来杂乱无章。

如果您有任何问题，请在“讨论部分”中留下评论，或联系作者或任何主要贡献者。

矩阵乘法练习

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 1)+(2\times 2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 1&1\times 2\\2\times 1&2\times 2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1/8&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1/8\times 16)+(9\times 2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times d)+(b\times e)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\times d+b\times e\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6+6b&3-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}((6+6b)\times 0)+((3-b)\times 0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(0\times a)+(abc\times 0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}}$

非向量矩阵乘法练习

1.

a) $n\times m$

b) $2\times 4$

2.

a)

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}4\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}11\\22\\\end{pmatrix}}$

3.

$C={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

这里需要注意的是，当与另一个矩阵相乘时，2x2 矩阵保持不变。只有对角线上为 1，其他位置为 0 的矩阵被称为 *单位* 矩阵，记作 *I*，任何矩阵与它相乘，无论是乘在左侧还是右侧，结果都保持不变。也就是说，$A\times I=I\times A$

**注意:** 本节中剩余的练习是之前“非向量矩阵的乘法”部分练习的遗留问题

3.

$C={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

这里需要注意的是，当 1 到 9 的矩阵与另一个矩阵相乘时，它保持不变。只有对角线上为 1，其他位置为 0 的矩阵称为单位矩阵，称为I，任何矩阵与其相乘都保持不变。也就是说 $A\times I=I\times A$

4. a)

$A^{5}={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-13&42\\-7&22\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-29&90\\-15&46\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3)+(-2\times 1)&(1\times 2)+(-2\times 1)\\(-1\times 3)+(3\times 1)&(-1\times 2)+(3\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

c) ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(a\times 1)+(b\times 0)&(a\times 0)+(b\times 1)\\(c\times 1)+(d\times 0)&(c\times 0)+(d\times 1)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times a)+(0\times b)&(0\times a)+(1\times b)\\(1\times c)+(0\times d)&(0\times c)+(1\times d)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$

d)

$A={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

e) 举例说明，先计算A²

$A^{2}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{2}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{2}&0\\0&2^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&8\\1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}$

现在让我们对 A⁵ 做同样的简化操作，就像我上面做的那样。

$A^{5}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{5}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&2^{5}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&64\\1&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

f)

$A^{100}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{100}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{100}&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2535301200456458802993406410752\\1&1267650600228229401496703205376\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-2535301200456458802993406410751&7605903601369376408980219232254\\-1267650600228229401496703205373&3802951800684688204490109616122\\\end{pmatrix}}$

行列式和逆矩阵练习

1.

$\det(A)={\frac {2}{5}}\times {\frac {5}{2}}-{\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}=0$

联立方程将被转换成以下矩阵 ${\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ 因为我们已经知道

$\det({\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}})=0$

我们可以说这些联立方程没有唯一解。

2. 首先计算行列式相乘时的值

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\det({\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=$

$(ad-bc)(eh-fg)=$

$adeh-bceh-adfg+bcfg$

现在让我们先进行矩阵乘法来计算 C

$\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}})=$

$\det({\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}})=$

$(ae+bg)(cf+dh)-(af+bh)(ce+dg)=$

$aecf+bgcf+aedh+bgdh-afce-bgce-afdg-bhdg=$

$bgcf+aedh-bgce-afdg$

这等于我们计算行列式相乘时得到的值，因此

det(C) = det(A)det(B)

对于2×2的情况。

3.

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$\det(A)=ad-bc$

$A'={\begin{pmatrix}c&d\\a&b\end{pmatrix}}$

$\det(A')=cb-da$

$-\det(A')=-(bc-ad)=ad-bc$

因此 det(A) = -det(A') 是成立的。

4. a)

$A=P^{-1}BP$

$\det(A)=\det(P^{-1})\det(B)\det(P)=$

$\det(P^{-1})\det(P)\det(B)=$

$\det {(P^{-1}P)}\det(B)=$

$\det {(I)}\det(B)=$

$\det(B)$ 因为 det(I) = 1。

因此 det(A) = det(B) b) 如果 $A^{k}=0$ 对于某个 k，这意味着 $\det(A^{k})=0$。但我们可以写成 $\det(A^{k})=\det {(A)}^{k}$，因此 $\det {(A)}^{k}=0$。这意味着 $\det(A)=0$。

5. a)

$A^{5}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

$({\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}})({\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}){\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-5&18\\-3&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-13&42\\-7&22\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

b)

$P^{-1}={\frac {1}{1}}{\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}$

c)

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

d)

$A^{5}=$

$(P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P)^{5}=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}PP^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}I{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{5}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1^{5}&0\\0&2^{5}\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}P=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&64\\1&32\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-61&186\\-31&94\\\end{pmatrix}}$

我们可以看到，当矩阵升至五次方时，P及其逆矩阵消失。因此我们可以看到，我们可以很容易地计算Aⁿ，因为你只需要将对角矩阵升至n次方。将对角矩阵升至某个幂非常容易，因为你只需要将对角线上的数字升至那个幂。

e) 我们使用上面练习中推导出的方法。

$A^{100}=$

$(P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P)^{100}=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}^{100}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1^{100}&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}P=$

$P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}P=$

${\begin{pmatrix}3&2\\1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3&2^{101}\\1&2^{100}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}3-2^{101}&3\times 2^{101}-6\\1-2^{100}&3\times 2^{100}-2\\\end{pmatrix}}$