高中数学扩展/矩阵

高中数学扩展

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补充章节 — 素数和模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论和无限过程 — 计数和生成函数 — 离散概率

矩阵 — 进阶模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

HSME
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矩阵
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简介

"矩阵"这个词可能更广为人知的是一个巨大的计算机模拟，但在数学中它是一个完全不同的东西。更准确地说，矩阵（复数形式为矩阵）是一个数字的矩形数组。例如，下面是编写矩阵的一种典型方式，数字以行和列排列，数字周围用圆括号括起来

${\begin{pmatrix}1&5&10&20\\1&-3&-5&9\\3&-1&-1&-1\\3&2&4&-5\end{pmatrix}}$

上述矩阵有 4 行 4 列，因此我们称它为 4 × 4（4 行 4 列）矩阵。此外，我们可以有各种形状的矩阵。矩阵的 *形状* 是指矩阵维度的名称（*m* 行 *n* 列，其中 *m* 是行数，*n* 是列数）。以下是矩阵的更多示例

这是一个 3 × 3 矩阵的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

这是一个 5 × 4 矩阵的示例

${\begin{pmatrix}a&b&c&d\\h&g&f&e\\i&j&k&l\\p&o&n&m\\q&r&s&t\\\end{pmatrix}}$

这是一个 1 × 6 矩阵的示例

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\\end{pmatrix}}$

矩阵理论与（线性）联立方程理论密切相关。古代中国人已经建立了解决联立方程的系统方法。联立方程理论在东方得到了进一步发展，由日本数学家关孝和以及稍后的莱布尼茨（牛顿最大的竞争对手）发展。后来，高斯（1777-1855 年）是现代数学三大巨匠之一，他推广了高斯消元法，这是一种简单的逐步算法，可以用来求解任何数量的线性联立方程。到那时，用矩阵来表示纸上的联立方程（如上所述）已经变得相当普遍¹。

考虑联立方程

$x+y=10$

$x-y=4$

它的解是 *x* = 7 和 *y* = 3，通常的解法是将两个方程加在一起以消去 *y*。矩阵理论为我们提供了另一种方法，可以通过矩阵 *乘法*（在下面讨论）来求解上述联立方程。我们将研究一种广泛接受的 *乘法* 两个矩阵的方法。理论上，使用 *矩阵乘法* 可以求解任意数量的联立方程，但我们将主要把注意力集中在 2 × 2 矩阵上。即使这样限制，我们也打开了联立方程无法提供给我们的课题的大门。以下两个例子是

1. 使用矩阵求解线性递推关系，该关系可用于模拟人口增长，以及
2. 使用矩阵加密消息。

我们将通过学习一些矩阵更基础的概念来开始我们的研究。一旦我们牢固地掌握了基础知识，我们将继续研究本章的重点内容，即矩阵乘法。

元素

矩阵的元素是矩阵中特定的数字，它用一对数字唯一地定位。例如，假设以下矩阵由 *A* 表示，或符号表示

$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}$

*A* 的（2,2）项是 5；*A* 的（1,1）项是 1，*A* 的（3,3）项是 9，*A* 的（2,3）项是 8。*A* 的（*i*，*j*）项通常表示为 *a*_i,j，矩阵 *B* 的（*i*，*j*）项通常表示为 *b*_i,j，依此类推。

总结

• 矩阵是数字的数组
• *m*×*n* 矩阵有 *m* 行 *n* 列
• 矩阵的 *形状* 由其行数和列数决定
• 矩阵的（*i*，*j*）元素位于第 *i* 行和第 *j* 列

矩阵加法和数乘

矩阵可以加在一起。但只有相同 *形状* 的矩阵才能相加。这是非常自然的。例如

$A={\begin{pmatrix}1&x&2x\\1&3x&5x\\1&3&4\\\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}$

那么

$A+B={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}2&9&8\\0&-1&8\\4&6&7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+2&2+9&3+8\\4+0&5+(-1)&6+8\\7+4&8+6&9+7\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&11&11\\4&4&14\\11&14&16\\\end{pmatrix}}$

类似地，矩阵可以乘以一个数。我们称这个数为标量，以区别于矩阵。读者不必担心这里的定义，只需记住标量只是一个数字。

$5A=A+A+A+A+A=5{\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10&15\\20&25&30\\35&40&45\\\end{pmatrix}}$

在这种情况下，标量值为 5。一般来说，当我们做s × A时，其中s是标量，A是矩阵，我们将A的每个元素乘以s。

矩阵乘法

广泛接受的将两个矩阵相乘的方法绝对不直观。如上所述，乘法可以帮助解决联立方程。我们现在将简要概述如何完成此操作。首先，任何线性联立方程组都可以写成系数矩阵乘以未知矩阵，等于结果矩阵。这个描述可能听起来有点复杂，但用符号形式表达就非常清楚了。前面的陈述简单地说，如果A，x和b是矩阵，那么Ax = b，可以用来表示一些联立方程组。矩阵乘法的奇妙之处在于，一些矩阵可以具有乘法逆，也就是说，我们可以将等式两边乘以A^-1得到x = A^-1b，这实际上解决了联立方程。

随着本章的深入，读者肯定会更好地理解矩阵乘法。现在，我们应该考虑矩阵乘法的最简单情况，即乘以向量。我们将看到一些例子，然后我们将解释乘法过程。

${\begin{matrix}A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 2}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那么

$B_{1\times 2}\times A_{2\times 1}={\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\9\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(3\times 2)+(5\times 9)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}51\end{pmatrix}}$

类似地，如果

${\begin{matrix}A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}&,&B_{1\times 3}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\end{matrix}}$

那么

$B_{1\times 3}\times A_{3\times 1}={\begin{pmatrix}4&5&6\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(4\times 1)+(5\times 2)+(6\times 3)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}32\end{pmatrix}}$

只有一个行的矩阵被称为行向量，类似地，只有一个列的矩阵被称为列向量。 当我们将行向量A乘以列向量B时，我们将A的第一列中的元素乘以B的第一行中的元素，并将该乘积与A的第二列和B的第二行元素的乘积相加，依此类推。 更一般地说，我们将a_1,i乘以b_i,1（其中i从1到n，n为行/列数），并将所有乘积加起来。 符号上

$A_{1\times n}\times B_{n\times 1}=(\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}\times b_{i,1})$ （有关$\sum$符号的信息，请参阅 Summation_Sign)

其中n是行/列数。

换句话说：列向量和行向量的乘积是行向量中第1,i项和列向量中第i,1项的乘积的和，其中i从1到这些向量的宽度/高度。

注意：矩阵的乘积也是一个矩阵。 行向量和列向量的乘积是一个1x1的矩阵，而不是一个标量。

练习

乘

${\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{8}}&9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}16\\2\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}6+6b&3-b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}0&abc\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}$

非向量矩阵的乘法

假设 $A_{m\times n}B_{n\times p}=C_{m\times p}$ 其中 *A*、*B* 和 *C* 是矩阵。我们将 *A* 的第 *i* 行与 *B* 的第 *j* 列相乘，就好像它们是向量矩阵一样。结果数字是 *C* 的第 (*i*, *j*) 个元素。符号表示：

$c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}\times b_{k,j}$

示例 1

计算 *AB* = *C* 和 *BA* = *D*，其中

$A={\begin{pmatrix}3&2\\5&6\\\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}2&6\\8&7\\\end{pmatrix}}$

解决方案

$c_{1,1}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(3\times 2+2\times 8)=22$

$c_{1,2}={\begin{pmatrix}3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(3\times 6+2\times 7)=32$

$c_{2,1}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}}=(5\times 2+6\times 8)=58$

$c_{2,2}={\begin{pmatrix}5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\7\end{pmatrix}}=(5\times 6+6\times 7)=72$

也就是说

$C={\begin{pmatrix}22&32\\58&72\end{pmatrix}}$

$d_{1,1}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(2\times 3+6\times 5)=36$

$d_{1,2}={\begin{pmatrix}2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(2\times 2+6\times 6)=40$

$d_{2,1}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}=(8\times 3+7\times 5)=59$

$d_{2,2}={\begin{pmatrix}8&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}}=(8\times 2+7\times 6)=58$

也就是说

$D={\begin{pmatrix}36&40\\59&58\end{pmatrix}}$

示例 2 计算 AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}$

解决方案

${\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}7&-17\\-2&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&17\\2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

示例 3 计算 AB 和 BA，其中

$A={\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}$

解决方案

${\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}5&-6\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&6\\0&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10&0\\0&10\end{pmatrix}}$

示例 4 计算以下乘法

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

解决方案

请注意

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

是一个 2 行 1 列的矩阵，而

${\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}$

是一个 1 行 2 列的矩阵。因此它们的乘法是合理的，且乘积应该是 2 行 2 列的矩阵。

${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&ad\\bc&bd\\\end{pmatrix}}$

例 5 计算以下乘法

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}$

解决方案

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 3&1\times 4\\2\times 3&2\times 4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&4\\6&8\\\end{pmatrix}}$

例 6 计算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}$

解 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ac&0\\0&bd\end{pmatrix}}$

例 7 计算以下乘法

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

解 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

注意 矩阵的乘法通常不满足交换律，即一般情况下 AB ≠ BA.

对角矩阵

对角矩阵是指除了对角线上的元素外，其他所有元素都为零的矩阵。对角矩阵的乘法非常方便，只需要将对角线上的元素相乘即可。

例子

以下都是对角矩阵 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&0\\0&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0&0\\0&c&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$

例子 1 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&0\\0&f\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h&0\\0&i\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}aeh&0\\0&bfi\\\end{pmatrix}}$

例子 2 ${\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a^{3}&0\\0&b^{3}\end{pmatrix}}$

上面的例子表明，如果 D 是一个对角矩阵，那么 D^k 很容易计算，我们只需要将对角元素取 k 次方即可。这在后面学习如何用矩阵计算第 n 个斐波那契数时将是一个非常有用的事实。

练习

1. 说明 C 的维数

a) C = A_n×pB_p×m

b) $C={\begin{pmatrix}10^{10}&20\\5000&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&5&6&6\end{pmatrix}}$

2. 计算。请注意，在矩阵乘法中 (AB)C = A(BC)，即你进行乘法的顺序并不重要（稍后证明）。

a)

${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

b)

${\begin{pmatrix}3&1\\2&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\\\end{pmatrix}}$

3. 进行以下乘法

$C={\begin{pmatrix}1&2\\4&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

$D={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\4&5\\\end{pmatrix}}$

你发现了什么？

单位矩阵和乘法定律

上面的练习向我们展示了矩阵

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

非常特殊。它被称为2×2单位矩阵。单位矩阵是一个方阵，其对角元素为1，所有其他元素为零。单位矩阵I具有以下非常特殊的性质

1. $A\times I=A$
2. $I\times A=A$

对于所有矩阵A。我们通常不会指定单位矩阵的形状，因为它在上下文中是显而易见的，在本节中，我们只处理2×2单位矩阵。在实数系统中，数字1满足：r × 1 = r = 1 × r，因此很明显单位矩阵类似于“1”。

结合律、分配律和（非）交换律

矩阵乘法与我们从实数乘法中知道的乘法大不相同。因此，令人欣慰的是，实数满足的许多定律也适用于矩阵世界。但有一个重大例外，一般情况下AB ≠ BA。

令A、B和C为矩阵。结合律意味着

(AB)C = A(BC)

即，您乘以矩阵的顺序无关紧要，因为无论您执行乘法的顺序如何，您得到的结果都是相同的。

另一方面，分配律意味着

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

注意：实数的交换律（即 ab = ba）不适用于矩阵世界。

说服自己

对于所有2×2矩阵A、B和C。以及I单位矩阵。

1. 说服自己，在2×2情况下

A(B + C) = AB + AC

以及

(A + B)C = AC + BC

2. 说服自己，在2×2情况下

A(BC) = (AB)C

3. 说服自己

$AB\neq BA$

一般来说。什么时候AB = BA？至少列举一种情况。

请注意，以上所有内容都适用于所有矩阵（任何维度/形状）。

行列式和逆矩阵

我们将考虑联立方程

ax + by = α (1)

cx + dy = β (2)

其中a、b、c、d、α和β为常数。我们想要确定（1）和（2）对x和y具有唯一解的必要条件。我们继续

令（1'）=（1）× c

令（2'）=（2）× a

也就是说

acx + bcy = cα (1')

acx + ady = aβ (2')

现在

令（3）=（2'） - （1'）

(ad - bc)y = aβ - cα (3)

现在，当且仅当 (ad - bc) ≠ 0 时，y 可以唯一确定。因此，（1）和（2）具有唯一解的必要条件取决于x 和 y 的所有四个系数。我们称这个数字 (ad - bc) 为行列式，因为它告诉我们两个具有两个变量的联立方程是否具有唯一解。总结一下

如果 (ad - bc) = 0，则没有唯一解

如果 (ad - bc) ≠ 0，则存在一个唯一解。

注意：唯一，我们不能过分强调这个词。如果行列式为零，并不一定意味着联立方程没有解！考虑

x + y = 2

7x + 7y = 14

上述方程组的行列式为零，但显然有一个解，即x = y = 1。实际上，有无限多个解！另一方面，也考虑

x + y = 1

x + y = 2

上述方程组的行列式为零，而且根本没有解。因此，如果行列式为零，则要么没有解，要么有无限多个解。

矩阵的行列式

我们定义2 × 2矩阵的行列式

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

为

$\det(A)=ad-bc\!$

逆矩阵

也许在现阶段，det(A) 的用途还不十分清楚。但它与逆矩阵的概念密切相关。考虑实数系统中的一个数字b，它具有（乘法）逆矩阵 1/b，即 b(1/b) = (1/b)b = 1。我们知道当 b = 0 时，1/b 不存在。

在矩阵的世界中，一个矩阵A可能具有也可能不具有逆矩阵，这取决于行列式 det(A) 的值！这是怎么回事？假设A（已知）确实具有一个逆矩阵B（即 AB = I = BA）。因此，我们的目标是找到B。进一步假设

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

以及

$B={\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}}$

我们需要求解四个联立方程，以根据 a、b、c、d 和 det(A) 来求得 w、x、y 和 z 的值。

aw + by = 1

cw + dy = 0

ax + bz = 0

cx + dz = 1

读者可以尝试自行求解上述方程组。 答案为

$B={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

这里我们假设了A有逆矩阵，但如果det(A) = 0，这是没有意义的，因为我们不能除以零。 所以A^-1（A的逆矩阵）存在当且仅当det(A) ≠ 0。

总结

如果AB = BA = I，那么我们说B是A的逆矩阵。 我们用A^-1表示A的逆矩阵。 一个2 × 2矩阵的逆矩阵

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

是

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

前提是A的行列式不为零。

求解联立方程组

假设我们要求解

ax + by = α

cx + dy = β

我们令

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$

$w={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

$\gamma ={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

我们可以将其转换为矩阵形式

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

即

$Aw=\gamma$

如果A的行列式不为零，那么我们可以用A^-1（A的逆矩阵）左乘等式两边

${\begin{matrix}A^{-1}Aw&=&A^{-1}\gamma \\Iw&=&A^{-1}\gamma \\w&=&A^{-1}\gamma \\\end{matrix}}$

也就是说

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

这意味着x和y是唯一的。

例子

如果存在，求A的逆矩阵

a) $A={\begin{pmatrix}1&5\\2&3\end{pmatrix}}$

b) $A={\begin{pmatrix}10&2\\2&7\end{pmatrix}}$

c) $A={\begin{pmatrix}a&b\\3a&3b\end{pmatrix}}$

d) $A={\begin{pmatrix}3&5\\5&3\end{pmatrix}}$

解答

a) $A^{-1}={\frac {1}{-7}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-2&1\end{pmatrix}}$

b) $A^{-1}={\frac {1}{66}}{\begin{pmatrix}7&-2\\-2&10\end{pmatrix}}$

c) 无解，因为 det(A) = 3ab - 3ab = 0

d) $A^{-1}={\frac {1}{-16}}{\begin{pmatrix}3&-5\\-5&3\end{pmatrix}}$

练习

1. 求

$A={\begin{pmatrix}{\frac {2}{5}}&{\frac {2}{3}}\\\\{\frac {3}{2}}&{\frac {5}{2}}\end{pmatrix}}$的行列式。利用 A 的行列式，判断以下联立方程是否有唯一解

${\begin{matrix}{\frac {2}{5}}x+{\frac {2}{3}}y=0\\{\frac {3}{2}}x+{\frac {5}{2}}y=0\end{matrix}}$

2. 假设

C = AB

证明

det(C) = det(A)det(B)

对于 2 × 2 的情况。注意：对于所有情况都成立。

3. 证明，如果你交换 A 的行得到 A' ，那么 det(A) = -det(A' )

4. 利用结果 2

a) 证明，如果

$A=P^{-1}BP$

那么 det(A) = det(B)

b) 证明，如果

A^k = 0

对于某个正整数 k，那么 det(A) = 0。

5. a) 计算 A⁵，即用 A 自身相乘 5 次，其中

$A={\begin{pmatrix}-1&6\\-1&4\\\end{pmatrix}}$

b) 求 P 的逆矩阵，其中

$P={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&3\\\end{pmatrix}}$

c) 验证

$A=P^{-1}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\\\end{pmatrix}}P$

d) 利用 (b) 和 (c) 部分计算 A⁵。

e) 计算 A¹⁰⁰

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