高中数学扩展/矩阵/习题集

高中数学扩展

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补充章节 — 素数与模算术 — 逻辑

数学证明 — 集合论与无限过程 — 计数与生成函数 — 离散概率

矩阵 — 更多模算术 — 数学规划 — 马尔可夫链

HSME
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习题集

1. 卓决定使用矩阵加密给珍妮写一条消息。他用一个数字替换英文字母表中的每个字母

A 为 0

B 为 1

C 为 2

...

Z 为 25,

然后，他将自己的信息以 2 行 4 列的矩阵形式写下，如下所示：

$X={\begin{pmatrix}?&?&?&?\\?&?&?&?\end{pmatrix}}$,

现在，他用一个矩阵左乘他的秘密信息X，得到结果

${\begin{pmatrix}2&3\\3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}?&?&?&?\\?&?&?&?\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}28&94&70&102\\44&153&112&163\end{pmatrix}}$.

卓给珍妮的消息是什么？

2. 一个 2 行 2 列的矩阵A具有以下性质

$A{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

以及 $A{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$.

A的逆矩阵是什么？

3. 令

$J={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$,

并令 K = I + J。证明 Kⁿ = nK。

4. 假设

$A^{k}=0$

并且

$B^{l}=0$

证明或反驳，你总能找到一个正整数m，使得

$(A+B)^{m}=0$

5. 令p和q是两个实数，使得p + q = 1。证明存在一个 2 × 2 矩阵A ≠ I（即不等于单位矩阵），使得

$A{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

6. 求解 A，使得： $A^{3}={\begin{pmatrix}-10&18\\-9&17\end{pmatrix}}$

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