抽象代数/剪切与斜率
首先需要定义的是三角形、底、顶点和面积。例如，对于给定底和面积的三角形，顶点的轨迹是平行于底的直线。想象一下顶点沿着这条直线移动，使三角形变形。想象一下，整个平面也通过一个将直线变换成直线的变换而变形。这种变换称为剪切映射。
剪切映射可以用线性变换表示
这里它以动力学解释写出，以垂直 (x) 空间轴为时间 (t) 水平演化，例如在时间序列研究中使用。
在 t=1 时，剪切将 (1,0) 变换为 (1,v)，即斜率为 v 的直线与 t=1 相交的点。因此，剪切变换中的参数 v 可以称为斜率。
由常数 t 和 x 给出的矩形通过剪切变换为平行四边形，但其中一个平行四边形的面积等于变换前矩形的面积。因此，剪切变换保留了面积。
令 ，并注意 e2 = 0，为零矩阵，而剪切矩阵为 ve 加上单位矩阵。对偶数在抽象代数中被用来为矩阵子代数 提供一个简写符号。
定义： 是对偶数的集合。基 {1,e} 将它描述为 R 上的 2-代数。如果 z = a+be，令 z* = a−be，为共轭。那么
- ，因为 e2 = 0。
注意，zz* = 1 意味着 z = ± 1 + be 对于 R 中的某个 b。此外，exp(be) = 1 + be，因为当应用于 e 轴时，指数级数在两项后被截断。因此，1 + ve 的对数为 v。因此，v 可以被认为是 1+ve 的角度，就像单位圆上的点的对数是该点的弧度角一样，如欧拉公式（exp 和 log 是互逆的）。
作用于平面的剪切映射形成了一个乘法群，它与实数的加法群同构。
在欧几里得平面几何中，存在直角、锐角、钝角的三分法。这里，线性运动的三分法区分了三种角度。
每个角度都围绕着它独特的运动旋转：圆周角的旋转，压缩映射的双曲线角，以及斜率的剪切。此外，每个运动都会演化为它独特的复杂代数：剪切的对偶数，双曲角的分裂二元数，以及旋转和圆周角对应于除法二元数的平面，一些人称之为“复数”。事实上，从实 2-代数的角度来看，“复数”是模棱两可的：每个除法二元数、分裂二元数和对偶数都形成了一个“复数”平面。
圆上弧长的一个性质是它在旋转下保持不变。据说“弧长是旋转的不变量”。t=1 上被剪切变换的线段，在剪切前后长度保持一致。类似地，双曲线角在压缩下是不变的。这三种不变性可以一起看作是这三种运动的面积不变性的结果：双曲线角是对应于 xy=1 的双曲线扇区的面积，其最小半径为 √2 到 (1,1)。圆周角对应于半径为 √2 的圆中扇区的面积。最后，斜率等于底在 t= √2 上且斜边对应于斜率的三角形的面积。由于压缩、剪切和旋转都是面积保持的，因此它们在相应平面上的运动保持了那里的中心角。角度保持研究的传统术语是共形映射，通常假设圆周角。