控制中的 LMI / 点击此处继续 / 控制器合成 / 非凸多准则二次问题

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非凸多准则二次线性矩阵不等式将允许人们为非凸状态空间系统形成一个优化的控制器，类似于 LQR 框架中的控制器，该控制器基于 Q 和 R 矩阵中定义的几个不同标准，这些标准作为任意成本函数的一部分被优化。就像传统的 LQR 一样，成本矩阵必须以与经典控制中的传统增益非常类似的方式进行调整。然而，在 LQR 和 LQG 框架中，增益更直观，因为每个增益都直接与状态或输入相关联。

系统

此 LMI 的系统是一个线性时不变系统，可以用状态空间表示，如下所示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=Ax+Bw,x(0)=x_{0}\\\end{aligned}}$

假设系统是可控的。

其中 $x\in R^{n}$ 分别表示状态向量，$w\in R^{p}$ 是扰动向量，$A,B$ 是适当维度的系统矩阵。进一步定义：$x$ 是 $\in R^{n}$ 并且是状态向量，$A$ 是 $\in R^{n*n}$ 并且是状态矩阵，$B$ 是 $\in R^{n*r}$ 并且是输入矩阵，$w$ 是 $\in R^{r}$ 并且是外生输入。

对于任何输入，我们定义一个集合 $p+1$ 成本指标 $J_{0},...,J_{P}$，如下所示

${\begin{aligned}J_{i}(u)=\int _{0}^{\infty }{\begin{bmatrix}x^{T}&u^{T}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\u\end{bmatrix}}dt,\\i=0,...,p\end{aligned}}$

这里，对称矩阵

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}Q_{i}&C_{i}\\C_{i}^{T}&R_{i}\end{bmatrix}},i=0,...,p\end{aligned}}$,

不一定是正定的。

数据

矩阵 $A,B,C$.

优化问题

约束最优控制问题是

${\begin{aligned}\max :J_{0},\\\end{aligned}}$

受制于

${\begin{aligned}J_{i}\leq \gamma _{i},i=1,...,p,x\rightarrow 0,t\rightarrow \infty \end{aligned}}$

LMI： 非凸多准则二次问题

这个问题的解决方案如下：我们首先定义

${\begin{aligned}Q=Q_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}Q_{i},\\R=R_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}R_{i},\\C=C_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}C_{i},\\\end{aligned}}$

其中 $\tau _{i}\geq 0$ 且对于每个 $\tau _{i}$，我们定义

${\begin{aligned}S=J_{0}+\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}J_{i}-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

那么，该解决方案可以通过以下公式找到：

${\begin{aligned}\max :x(0)^{T}Px(0)-\sum _{i=1}^{p}\tau _{i}\gamma _{i}\end{aligned}}$

受制于

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A^{T}P+PA+Q&PQ+C^{T}\\B^{T}P+C&R\end{bmatrix}}&\geq 0\\\tau _{i}&\geq 0\end{aligned}}$

结论

如果存在解决方案，那么 $K$ 是最佳控制器，可以通过 P 中的 EVP 求解。

实施

此实施需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/rezajamesahmed/LMImatlabcode/blob/master/multicriterionquadraticproblems.m

相关 LMI

1. 多准则 LQG
2. 最优控制的逆问题
3. 非凸多准则二次问题
4. 静态状态反馈问题

外部链接

记录和验证 LMI 的参考列表。

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• LMI 属性及其在系统、稳定性和控制理论中的应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。