控制中的LMI/pages/控制性格拉姆矩阵的LMI

用于查找控制性格拉姆矩阵的LMI

能够使用反馈和传感器以所需方式调整系统是控制工程中非常重要的一部分。然而，并非所有系统都能调整。这种调整能力指的是“可控”系统的概念，并促使需要确定系统的“可控性”。可控性是指使用输入准确和精确地操纵系统状态的能力。本质上，如果一个系统是可控的，则意味着存在一个控制律，该控制律将传输给定的初始状态 $x(t_{0})=x_{0}$ 并将其传输到所需最终状态 $x(t_{f})=x_{f}$。有多种方法可以确定系统是否可控，其中之一是计算秩“控制性格拉姆矩阵”。如果格拉姆矩阵是满秩的，则系统是可控的，并且存在状态转移控制律。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

此 LMI 所需的矩阵是 $A$ 和 $B$。 $A$ 必须是稳定的，问题才能可行。

LMI：确定控制性格拉姆矩阵的LMI

$(A,B)$ 可控当且仅当 $W>0$ 是以下方程式的唯一解

$AW+WA^{T}+BB^{T}<0$,

其中 $W$ 是可控性格拉姆矩阵。

结论

上面的 LMI 找到了系统 $(A,B)$ 的可控性格拉姆矩阵 $W$。如果问题是可行的，并且可以找到唯一的 $W$，那么我们也能说系统是可控的。系统 $(A,B)$ 的可控性格拉姆矩阵也可以计算为：$W=\int _{0}^{\infty }e^{As}BB^{T}e^{A^{T}s}ds$，控制律为 $u(t)=B^{T}W^{-1}x(t)$，可以将给定的初始状态 $x(t_{0})=x_{0}$ 转移到期望的最终状态 $x(t_{f})=x_{f}$。

实现

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Controllability_Gram_LMI.m

相关 LMI

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外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• 最优和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编写的 LMI 列表。
• 系统和控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。
• 控制系统中的 LMI：分析、设计和应用 - 作者为 Duan Guang-Ren 和 Yu Hai-Hua，CRC 出版社，泰勒和弗朗西斯集团，2013 年，第 6.1.1 节和表 6.1，第 166-170 页，192 页。
• 鲁棒控制理论课程：凸方法 - 作者为 Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini，施普林格出版社，2011 年，第 2.2.3 节，第 71-73 页。