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可观测性格拉姆矩阵的 LMI

可观测性是系统的属性，表示系统的状态 $x(T)$ 可以通过输入 $u(t)$ 和输出 $y(t)$ 在区间 $[0,T]$ 上重建。当无法获得完整状态信息时，这非常必要。如果可观测，则可以创建估计器或观测器来重建完整状态。可观测性和可控性是双重概念。因此，为了研究系统的可观测性，我们可以研究对偶系统的可控性。尽管可以通过多种方法确定系统可观测性，但其中一种方法是计算可观测性格拉姆矩阵的秩。

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+Bu(t),\\y(t)&=Cx(t)+Du(t),\\x(0)&=x_{0},\end{aligned}}$

其中 $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$，$u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$，在任何 $t\in \mathbb {R}$。

数据

这个 LMI 所需的矩阵是 $A$ 和 $C$。

LMI：用于确定可观测性格拉姆矩阵的 LMI

$(A,B)$ 可观测当且仅当 $Y>0$ 是以下方程的唯一解。

$AY+YA^{T}+C^{T}C<0$,

其中 $Y$ 是可观测格拉姆矩阵。

结论

以上 LMI 试图找到系统 $(A,C)$ 的可观测格拉姆矩阵 $Y$。如果问题是可行的，并且找到了唯一的 $Y$，那么该系统也是可观测的。可观测格拉姆矩阵也可以计算为： $Y=\int _{0}^{\infty }e^{A^{T}s}C^{T}Ce^{As}ds$。由于可观测性和可控性的对偶性，此 LMI 可以通过确定对偶性的可控性来确定，这导致了上述 LMI。可观测性和可控性矩阵分别写为 ${\mathcal {O}}$ 和 ${\mathcal {C}}$。它们之间的关系如下

${\mathcal {O}}(C,A)={\mathcal {C}}(A^{T},C^{T})^{T}$

${\mathcal {C}}(A,B)={\mathcal {O}}(B^{T},A^{T})^{T}$

因此 $(C,A)$ 可观测当且仅当 $(A^{T},C^{T})$ 可控。请参考可控性格拉姆矩阵部分。

实施

此实现需要 Yalmip 和 Sedumi。

https://github.com/eoskowro/LMI/blob/master/Observability_Gram_LMI.m

相关 LMI

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外部链接

记录和验证 LMI 的参考文献列表。

• LMI Methods in Optimal and Robust Control - Matthew Peet 关于控制中 LMI 的课程。
• LMI Properties and Applications in Systems, Stability, and Control Theory - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• LMIs in Systems and Control Theory - Stephen Boyd 的 LMI 下载书籍。
• LMIs in Control Systems: Analysis, Design and Applications - 作者 Guang-Ren Duan 和 Hai-Hua Yu, CRC Press, Taylor & amp; Francis Group, 2013 年，第 6.1.1 节和第 6.1 表，第 166-170 页，192 页。
• 鲁棒控制理论教程：凸优化方法 - 作者：Geir E. Dullerud 和 Fernando G. Paganini，Springer，2011 年，第 2.2.3 节，第 71-73 页。