线性代数/用矩阵表示线性映射

示例 1.1

考虑一个映射 $h$ 它的定义域是 $\mathbb {R} ^{2}$，值域是 $\mathbb {R} ^{3}$（固定

$B=\langle {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

作为这些空间的基），由其对定义域基向量上的操作确定。

${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}$

为了计算这个映射对定义域中任何向量的作用，我们首先用值域的基表示 $h({\vec {\beta }}_{1})$ 和 $h({\vec {\beta }}_{2})$

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}=0{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{so}}\quad {\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))={\begin{pmatrix}0\\-1/2\\1\end{pmatrix}}_{D}$

和

${\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}=1{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+0{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{so}}\quad {\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{2}))={\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}_{D}$

(这些很容易检查)。然后，正如前言中所述，对于域中的任何成员${\vec {v}}$，我们可以用$h({\vec {\beta }})$来表示图像$h({\vec {v}})$。

${\begin{array}{rl}h({\vec {v}})&=h(c_{1}\cdot {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}+c_{2}\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})\\&=c_{1}\cdot h({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})+c_{2}\cdot h({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})\\&=c_{1}\cdot (0{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\!-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}\!+1{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\!)+c_{2}\cdot (1{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\!-1{\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}\!+0{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\!)\\&=(0c_{1}+1c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+(-{\frac {1}{2}}c_{1}-1c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}}+(1c_{1}+0c_{2})\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\end{array}}$

因此，

如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$，那么 ${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}0c_{1}+1c_{2}\\-(1/2)c_{1}-1c_{2}\\1c_{1}+0c_{2}\end{pmatrix}}$。

例如，

如果 ${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}_{B}$，那么 ${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}})\,)={\begin{pmatrix}2\\-5/2\\1\end{pmatrix}}$。

我们将使用矩阵表示来表达如上所述的计算。

${\begin{pmatrix}0&1\\-1/2&-1\\1&0\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}0c_{1}+1c_{2}\\(-1/2)c_{1}-1c_{2}\\1c_{1}+0c_{2}\end{pmatrix}}_{D}$

中间是参数 ${\vec {v}}$ 到映射，相对于域的基底 $B$ 用一个列向量表示，其分量为 $c_{1}$ 和 $c_{2}$。右边是映射在这个参数上的值 $h({\vec {v}})$，相对于陪域的基底 $D$ 用一个列向量表示，其分量为 $0c_{1}+1c_{2}$ 等。左边是新事物。它由右边向量中的系数组成， $0$ 和 $1$ 来自第一行， $-1/2$ 和 $-1$ 来自第二行，以及 $1$ 和 $0$ 来自第三行。

这种表示法只是将右边部分，系数和 $c$，分别放在左边，变成一个表示映射参数的向量和一个用来表示映射本身的矩阵。

定义 1.2

假设$V$ 和 $W$ 是维数分别为 $n$ 和 $m$ 的向量空间，基分别为 $B$ 和 $D$，且 $h:V\to W$ 是一个线性映射。如果

${\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{1}))={\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\\\vdots \\h_{m,1}\end{pmatrix}}_{D}\;\ldots \;{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {\beta }}_{n}))={\begin{pmatrix}h_{1,n}\\h_{2,n}\\\vdots \\h_{m,n}\end{pmatrix}}_{D}$

那么

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)_{B,D}$

是关于 $B,D$ 的 $h$ 的矩阵表示。

简而言之，将表示 $h({\vec {\beta }})$ 的向量并置起来，就形成了表示该映射的矩阵。

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {\beta }}_{1})\,)&\cdots &{\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {\beta }}_{n})\,)\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)$

观察矩阵的列数 $n$ 是映射域的维数，行数 $m$ 是陪域的维数。

示例 1.3

如果 $h:\mathbb {R} ^{3}\to {\mathcal {P}}_{1}$ 由下式给出

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}(2a_{1}+a_{2})+(-a_{3})x$

那么，当

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\rangle \quad {\text{and}}\quad D=\langle 1+x,-1+x\rangle$

$h$ 对 $B$ 的作用如下：

${\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}-x\qquad {\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}2\qquad {\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {h}{\longmapsto }}4$

简单的计算得到

${\rm {Rep}}_{D}(-x)={\begin{pmatrix}-1/2\\-1/2\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(2)={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(4)={\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}}_{D}$

表明这正是关于这些基的线性映射 $h$ 的矩阵表示。

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}-1/2&1&2\\-1/2&-1&-2\end{pmatrix}}_{B,D}$

我们使用小写字母来表示映射，大写字母来表示矩阵，并再次使用小写字母来表示矩阵的元素。因此，对于映射 $h$，表示它的矩阵是 $H$，其元素是 $h_{i,j}$。

定理 1.4

假设 $V$ 和 $W$ 是维数分别为 $m$ 和 $n$ 的向量空间，基分别为 $B$ 和 $D$，并且 $h:V\to W$ 是一个线性映射。如果 $h$ 由

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)=\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right)_{B,D}$

表示，而 ${\vec {v}}\in V$ 由

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}_{B}$

表示，则 ${\vec {v}}$ 的像的表示如下。

${\rm {Rep}}_{D}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}h_{1,1}c_{1}+h_{1,2}c_{2}+\dots +h_{1,n}c_{n}\\h_{2,1}c_{1}+h_{2,2}c_{2}+\dots +h_{2,n}c_{n}\\\vdots \\h_{m,1}c_{1}+h_{m,2}c_{2}+\dots +h_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}_{D}$

证明

问题 18.

我们将把矩阵 ${\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ 和向量 ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})$ 视为组合成向量 ${\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {v}}))$ 。

定义 1.5

一个 $m\!\times \!n$ 矩阵和一个 $n\!\times \!1$ 向量的 **矩阵-向量乘积** 是这样的。

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\ldots &a_{2,n}\\&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\ldots &a_{m,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1,1}c_{1}+a_{1,2}c_{2}+\dots +a_{1,n}c_{n}\\a_{2,1}c_{1}+a_{2,2}c_{2}+\dots +a_{2,n}c_{n}\\\vdots \\a_{m,1}c_{1}+a_{m,2}c_{2}+\dots +a_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}$

定义 1.2 的目的是推广 示例 1.1，也就是说，定义的目的是 定理 1.4，矩阵描述了如何从域向量关于域基的表示得到其像关于陪域基的表示。有了 定义 1.5，我们可以将其重新表述为：线性映射的应用用映射的代表矩阵和向量的代表矩阵的矩阵-向量乘积表示。

示例 1.6

使用 示例 1.3 中的矩阵，我们可以计算该映射将该向量发送到的位置。

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}$

该向量相对于域基底 $B$ 表示为

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}0\\1/2\\2\end{pmatrix}}_{B}$

因此，这是相对于陪域基底 $D$ 的值 $h({\vec {v}})$ 的表示。

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{D}(h({\vec {v}}))&={\begin{pmatrix}-1/2&1&2\\-1/2&-1&-2\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}0\\1/2\\2\end{pmatrix}}_{B}\\&={\begin{pmatrix}(-1/2)\cdot 0+1\cdot (1/2)+2\cdot 2\\(-1/2)\cdot 0-1\cdot (1/2)-2\cdot 2\end{pmatrix}}_{D}={\begin{pmatrix}9/2\\-9/2\end{pmatrix}}_{D}\end{array}}$

为了找到 $h({\vec {v}})$ 本身，而不是它的表示，取 $(9/2)(1+x)-(9/2)(-1+x)=9$.

例 1.7

令 $\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$ 为投影到 $xy$-平面上的映射。为了给出表示该映射的矩阵，我们首先固定基底。

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

对于域基底中的每个向量，我们找到它在映射下的像。

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

然后我们找到每个图像关于余域基的表示

${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

(这些很容易检查)。最后，将这些表示并起来就得到了关于 $\pi$ 的矩阵，关于 $B,D$。

${\rm {Rep}}_{B,D}(\pi )={\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}}_{B,D}$

我们可以通过计算矩阵-向量积来说明 定理 1.4，该矩阵-向量积表示关于投影映射的以下陈述。

$\pi ({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

将这个域向量关于域基进行表示

${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}$

得到这个矩阵-向量积。

${\rm {Rep}}_{D}(\,\pi ({\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}})\,)={\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{D}$

将该表示扩展为来自 $D$ 的向量的线性组合。

$0\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

验证了映射的作用确实反映在矩阵的运算中。（有时我们将这三个显示的方程压缩成一个方程）

${\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}_{B}\;{\overset {h}{\underset {H}{\longmapsto }}}\;{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}_{D}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

在计算过程中）。

我们现在有两种方法可以计算投影的效果，一种是直接的公式，它将每个三维向量中的第三个分量删除以形成二维向量；另一种是上面的公式，它使用表示和矩阵向量乘法。与第一种方法相比，第二种方法可能看起来很复杂。然而，它有优势。下一个例子表明，使用这种新方案，可以简化一些映射的公式。

例 1.8

为了表示一个旋转映射 $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，它将平面中的所有向量逆时针旋转一个角度 $\theta$

我们首先固定基。使用 ${\mathcal {E}}_{2}$ 作为域基和陪域基是自然的，现在，我们找到域基中每个向量在该映射下的像。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{\theta }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

然后我们用陪域基来表示这些像。因为这个基是 ${\mathcal {E}}_{2}$，向量用自身表示。最后，将表示组合起来得到表示该映射的矩阵。

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t_{\theta })={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

这种方案的优势在于，只要知道如何表示两个基向量的像，我们就可以得到一个公式，告诉我们任何向量的像；这里一个被 $\theta =\pi /6$ 旋转的向量。

${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\;{\stackrel {t_{\pi /6}}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}3.598\\-0.232\end{pmatrix}}$

(Again, we are using the fact that, with respect to ${\mathcal {E}}_{2}$, vectors represent themselves.)

我们已经看到了矩阵的加法和标量乘法运算，以及向量的点积运算。矩阵-向量乘法是向量和矩阵运算中的一种新运算。在定义 1.5中，没有任何内容要求我们将它视为表示。我们可以通过摆脱被表示的内容，转而关注条目是如何组合的，来了解这种运算。

示例 1.9

在定义中，矩阵的宽度等于向量的长度。因此，下面的第一个乘积是定义好的，而第二个不是。

${\begin{pmatrix}1&0&0\\4&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&0\\4&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

这个乘积没有被定义的一个原因纯粹是形式上的：定义要求大小匹配，而这些大小并不匹配。然而，在形式背后，还有一个原因让我们把它留作未定义——矩阵代表一个具有三维域的映射，而向量代表一个二维空间中的成员。

一个看待矩阵-向量乘积的好方法是将矩阵的行与列向量进行点积。

${\begin{pmatrix}&\vdots \\a_{i,1}&a_{i,2}&\ldots &a_{i,n}\\&\vdots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\vdots \\a_{i,1}c_{1}+a_{i,2}c_{2}+\ldots +a_{i,n}c_{n}\\\vdots \end{pmatrix}}$

从这种逐行的方式来看，这种新运算概括了点积。

矩阵-向量乘法也可以从逐列的角度来看。

${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{cccc}h_{1,1}&h_{1,2}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&h_{2,2}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&h_{m,2}&\ldots &h_{m,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}h_{1,1}c_{1}+h_{1,2}c_{2}+\dots +h_{1,n}c_{n}\\h_{2,1}c_{1}+h_{2,2}c_{2}+\dots +h_{2,n}c_{n}\\\vdots \\h_{m,1}c_{1}+h_{m,2}c_{2}+\dots +h_{m,n}c_{n}\end{pmatrix}}\\&=c_{1}{\begin{pmatrix}h_{1,1}\\h_{2,1}\\\vdots \\h_{m,1}\end{pmatrix}}+\dots +c_{n}{\begin{pmatrix}h_{1,n}\\h_{2,n}\\\vdots \\h_{m,n}\end{pmatrix}}\end{array}}$

示例 1.10

${\begin{pmatrix}1&0&-1\\2&0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}+1{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\7\end{pmatrix}}$

结果是矩阵的列向量乘以向量的元素得到的。这种理解方式让我们回到了本节开头提到的目标，计算 $h(c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n})$ 为 $c_{1}h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}h({\vec {\beta }}_{n})$.

我们从本节开头就注意到这两个的相等性，这使我们能够计算$h$对任何参数的作用，只需知道$h({\vec {\beta }}_{1})$，...，$h({\vec {\beta }}_{n})$。我们已经将其发展成一个方案，通过取表示映射的矩阵和表示参数的向量的矩阵向量积来计算映射的作用。以这种方式，任何线性映射都通过一个矩阵相对于某些基来表示。在下节中，我们将展示其逆命题，即任何矩阵都表示一个线性映射。

练习

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问题 1

将矩阵

${\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-1&2\\1&1&0\end{pmatrix}}$

分别与每个向量相乘（或说明未定义）。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

问题 2

如果可能，执行每个矩阵向量乘法。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$

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问题 3

求解此矩阵方程。

${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&3\\1&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\4\\4\end{pmatrix}}$

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问题 4

对于来自 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的同态，它发送

$1\mapsto 1+x,\quad x\mapsto 1+2x,\quad {\text{and}}\quad x^{2}\mapsto x-x^{3}$

那么 $1-3x+2x^{2}$ 会映射到哪里？

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问题 5

假设 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 由以下作用确定。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

使用标准基，求

1. 表示该映射的矩阵；
2. 关于 $h({\vec {v}})$ 的一般公式。

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问题 6

设 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 是导数变换。

1. 关于 $B,B$ 表示 $d/dx$，其中 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$.
2. 关于 $B,D$ 表示 $d/dx$，其中 $D=\langle 1,2x,3x^{2},4x^{3}\rangle$.

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问题 7

关于每对基，分别表示每个线性映射。

1. $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 关于 $B,B$ 表示，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$，由

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}$

2. $\int :{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n+1}$ 关于 $B_{n},B_{n+1}$，其中 $B_{i}=\langle 1,x,\dots ,x^{i}\rangle$，给出如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}x+{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}$

3. $\int _{0}^{1}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 关于 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 以及 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，给出如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+{\frac {a_{1}}{2}}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}$

4. ${\text{eval}}_{3}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 关于 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式给出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot 3+a_{2}\cdot 3^{2}+\dots +a_{n}\cdot 3^{n}$

5. ${\text{slide}}_{-1}:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 关于 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$，由下式给出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot (x+1)+\dots +a_{n}\cdot (x+1)^{n}$

问题 8

用关于 $B,B$ 的表示形式表示任何非平凡空间上的恒等映射，其中 $B$ 是任何基。

问题 9

用关于自然基的表示形式表示在 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ $2\!\times \!2$ 矩阵空间上的转置变换。

问题 10

假设 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle$ 是向量空间的基。用 $B,B$ 表示每个确定的变换。

1. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
2. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
3. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$

问题 11

示例 1.8 展示了如何用标准基表示平面的旋转变换。用标准基表示这些变换：

1. 缩放映射 $d_{s}$，它将所有向量乘以相同的标量 $s$
2. 反射映射 $f_{\ell }$，它将所有向量跨过一条穿过原点的直线 $\ell$ 反射

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问题 12

考虑由以下两个方程确定的 $\mathbb {R} ^{2}$ 的线性变换：

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

1. 用标准基表示此变换。
2. 变换将此向量映射到哪里？

   ${\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}$

3. 用以下基表示此变换。

   $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

4. 使用前面一项中的$B$，表示相对于$B,B$的变换。

问题 13

假设$h:V\to W$是非奇异的，因此根据定理 II.2.21，对于任何基$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle \subset V$，像$h(B)=\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是$W$ 的一个基。

1. 表示相对于$B,h(B)$ 的映射$h$。
2. 对于域中的一个成员${\vec {v}}$，其中${\vec {v}}$ 的表示形式具有分量$c_{1}$，...，$c_{n}$，用图像基$h(B)$ 表示图像向量$h({\vec {v}})$。

问题 14

给出一个矩阵与${\vec {e}}_{i}$（除了在$i$ 位置上的单个 1 之外，其他位置均为零的列向量）相乘的公式。

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问题 15

对于每个单实变量函数的向量空间，表示相对于$B,B$ 的导数变换。

1. $\{a\cos x+b\sin x\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle \cos x,\sin x\rangle$
2. $\{ae^{x}+be^{2x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle e^{x},e^{2x}\rangle$
3. $\{a+bx+ce^{x}+dxe^{x}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle 1,x,e^{x},xe^{x}\rangle$

问题 16

找到以标准基表示的 $\mathbb {R} ^{2}$ 线性变换的范围，每个矩阵表示的范围。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}$
3. 形式为 ${\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}$ 的矩阵

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问题 17

一个矩阵可以表示两个不同的线性映射吗？也就是说，${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ 可能吗？

问题 18

证明 定理 1.4。

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问题 19

示例 1.8 展示了如何用标准基来表示平面中所有向量绕原点旋转 $\theta$ 角。

1. 将三维空间中的所有向量绕 $\theta$ 角旋转 $x$ 轴是一个对 $\mathbb {R} ^{3}$ 的变换。用标准基表示它。安排旋转，使得对于一个脚在原点，头在 $(1,0,0)$ 的人来说，运动看起来是顺时针方向的。
2. 重复上一项，只是绕 $y$ 轴旋转。（将人的头放在 ${\vec {e}}_{2}$。）
3. 重复，绕 $z$ 轴旋转。
4. 将上一项扩展到 $\mathbb {R} ^{4}$。（提示： “绕 $z$ 轴旋转” 可以改写为 “平行于 $xy$ 平面旋转”。)

问题 20 （舒尔三角化引理）

1. 设 $U$ 是 $V$ 的子空间，并固定基 $B_{U}\subseteq B_{V}$。关于 $B_{U}$ 表示的来自 $U$ 的向量与该向量（视为 $V$ 的成员）关于 $B_{V}$ 表示的关系是什么？
2. 映射呢？
3. 为向量空间 $V$ 选取一个基底 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，并观察到这些生成空间

   $[\{{\vec {0}}\}]=\{{\vec {0}}\}\subset [\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\subset [\{{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\}]\subset \quad \cdots \quad \subset [B]=V$

   形成一个严格递增的子空间链。证明对于任何线性映射 $h:V\to W$，存在一个子空间链 $W_{0}=\{{\vec {0}}\}\subseteq W_{1}\subseteq \dots \subseteq W_{m}=W$，使得

   $h([\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\}])\subset W_{i}$

   对每个 $i$ 成立。
4. 得出结论：对于每个线性映射 $h:V\to W$，存在基底 $B,D$，使得关于 $B,D$ 表示的 $h$ 的矩阵是上三角矩阵（也就是说，对于每个满足 $i>j$ 的元素 $h_{i,j}$ 为零）。
5. 上三角矩阵的表示形式是否唯一？

解决方案