线性代数/用矩阵表示线性映射/解答

解答

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问题 1

将矩阵

${\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-1&2\\1&1&0\end{pmatrix}}$

乘以每个向量（或说明“未定义”）。

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}1\cdot 2+3\cdot 1+1\cdot 0\\0\cdot 2+(-1)\cdot 1+2\cdot 0\\1\cdot 2+1\cdot 1+0\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\-1\\3\end{pmatrix}}$
2. 未定义。
3. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

问题 2

如果可能，执行每个矩阵-向量乘法。

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&-1/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1&0\\-2&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}$

答案

1. ${\begin{pmatrix}2\cdot 4+1\cdot 2\\3\cdot 4-(1/2)\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\11\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}$
3. 未定义。

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问题 3

求解此矩阵方程。

${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&1&3\\1&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\4\\4\end{pmatrix}}$

答案

矩阵与向量的乘法产生一个线性方程组。

${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&+&z&=&8\\&&y&+&3z&=&4\\x&-&y&+&2z&=&4\end{array}}$

高斯消元法表明 $z=1$，$y=1$，以及 $x=3$。

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问题 4

对于从 ${\mathcal {P}}_{2}$ 到 ${\mathcal {P}}_{3}$ 的同态，它发送

$1\mapsto 1+x,\quad x\mapsto 1+2x,\quad {\text{and}}\quad x^{2}\mapsto x-x^{3}$

$1-3x+2x^{2}$ 到哪里去了？

答案

这里有两种方法可以得到答案。

首先，显然 $1-3x+2x^{2}=1\cdot 1-3\cdot x+2\cdot x^{2}$，因此我们可以应用组合保持的一般性质得到 $h(1-3x+2x^{2})=h(1\cdot 1-3\cdot x+2\cdot x^{2})=1\cdot h(1)-3\cdot h(x)+2\cdot h(x^{2})=1\cdot (1+x)-3\cdot (1+2x)+2\cdot (x-x^{3})=-2-3x-2x^{3}$。

另一种方法使用本小节中提出的计算方案。因为我们知道空间中这些元素的映射位置，所以我们考虑这个基底 $B=\langle 1,x,x^{2}\rangle$ 作为定义域的基底。任意地，我们可以取 $D=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$ 作为陪域的基底。有了这些选择，我们得到

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}_{B,D}$

以及，如

${\rm {Rep}}_{B}(1-3x+2x^{2})={\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}_{B}$

矩阵-向量乘法计算得出以下结果。

${\rm {Rep}}_{D}(h(1-3x+2x^{2}))={\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}-2\\-3\\0\\-2\end{pmatrix}}_{D}$

因此，$h(1-3x+2x^{2})=-2\cdot 1-3\cdot x+0\cdot x^{2}-2\cdot x^{3}=-2-3x-2x^{3}$，如上所示。

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问题 5

假设 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ 由以下操作确定。

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

使用标准基底，求

1. 表示该映射的矩阵；
2. $h({\vec {v}})$ 的一般公式。

答案

再次回顾本小节，关于 ${\mathcal {E}}_{i}$，列向量表示自身。

1. 为了表示 $h$ 相对于 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}$，我们取定义域中基向量对应的像，并将它们用陪域的基表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {e}}_{1})\,)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}({\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {e}}_{2})\,)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}({\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}$

   将它们并排排列成矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{3}}(h)={\begin{pmatrix}2&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}$

2. 对于定义域 $\mathbb {R} ^{2}$ 中的任何 ${\vec {v}}$，

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}$

   因此

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3}}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}2&0\\2&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2v_{1}\\2v_{1}+v_{2}\\-v_{2}\end{pmatrix}}$

   是所需表示。

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问题 6

令 $d/dx:{\mathcal {P}}_{3}\to {\mathcal {P}}_{3}$ 为导数变换。

1. 用 $B,B$ 表示 $d/dx$，其中 $B=\langle 1,x,x^{2},x^{3}\rangle$。
2. 用 $B,D$ 表示 $d/dx$，其中 $D=\langle 1,2x,3x^{2},4x^{3}\rangle$。

答案

1. 我们必须首先找到域基向量对应的图像，然后用陪域基向量表示该图像。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,1}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x}{dx}})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{2}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{3}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}$

   然后将这些表示连接起来形成表示该映射的矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

2. 按照上一项中的方法，我们将域基向量映射的结果表示出来

   ${\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,1}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x}{dx}})={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{2}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\frac {d\,x^{3}}{dx}})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}$

   然后将它们并在一起形成矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,D}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

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问题 7

分别用每一对基来表示每个线性映射。

1. $d/dx:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 关于 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$，由

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{1}+2a_{2}x+\dots +na_{n}x^{n-1}$

2. $\int :{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n+1}$ 关于 $B_{n},B_{n+1}$，其中 $B_{i}=\langle 1,x,\dots ,x^{i}\rangle$，由下式给出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}x+{\frac {a_{1}}{2}}x^{2}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}x^{n+1}$

3. $\int _{0}^{1}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 关于 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式给出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+{\frac {a_{1}}{2}}+\dots +{\frac {a_{n}}{n+1}}$

4. ${\text{eval}}_{3}:{\mathcal {P}}_{n}\to \mathbb {R}$ 关于 $B,{\mathcal {E}}_{1}$，其中 $B=\langle 1,x,\dots ,x^{n}\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{1}=\langle 1\rangle$，由下式给出

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot 3+a_{2}\cdot 3^{2}+\dots +a_{n}\cdot 3^{n}$

5. ${\text{slide}}_{-1}:{\mathcal {P}}_{n}\to {\mathcal {P}}_{n}$ 关于 $B,B$，其中 $B=\langle 1,x,\ldots ,x^{n}\rangle$，定义如下：

   $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}\cdot (x+1)+\dots +a_{n}\cdot (x+1)^{n}$

答案

对于每个映射，我们必须找到每个域基向量在映射下的像，并使用陪域的基向量表示每个像，最后将这些表示连接起来得到矩阵。

1. 域基向量在映射下的像是

   $1\mapsto 0\quad x\mapsto 1\quad x^{2}\mapsto 2x\quad \ldots$

   这些像可以用陪域的基向量表示如下：

   ${\rm {Rep}}_{B}(0)={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(2x)={\begin{pmatrix}0\\2\\0\\\vdots \\\ \\\ \end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{B}(nx^{n-1})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\n\\0\end{pmatrix}}$

   矩阵

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&2&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&0&\ldots &n\\0&0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}$

   有 $n+1$ 行和列。
2. 一旦确定了域基向量在这个映射下的像

   $1\mapsto x\quad x\mapsto x^{2}/2\quad x^{2}\mapsto x^{3}/3\quad \ldots$

   然后它们可以根据陪域的基表示

   ${\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x)={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\\ \end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x^{2}/2)={\begin{pmatrix}0\\0\\1/2\\\vdots \\\ \end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{B_{n+1}}(x^{n+1}/(n+1))={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1/(n+1)\end{pmatrix}}$

   并组合在一起形成矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B_{n},B_{n+1}}(\int )={\begin{pmatrix}0&0&\ldots &0&0\\1&0&\ldots &0&0\\0&1/2&\ldots &0&0\\&\vdots \\0&0&\ldots &0&1/(n+1)\end{pmatrix}}$

3. 域基向量的图像为

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto 1/2\quad x^{2}\mapsto 1/3\quad \ldots$

   并且它们相对于陪域的基表示为

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1)=1\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1/2)=1/2\quad \ldots$

   所以矩阵是

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{1}}(\int )={\begin{pmatrix}1&1/2&\cdots &1/n&1/(n+1)\end{pmatrix}}$

   (这是一个 $1\!\times \!(n+1)$ 矩阵)。
4. 这里，域的基向量图像为

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto 3\quad x^{2}\mapsto 9\quad \ldots$

   它们在陪域中表示为

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(1)=1\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(3)=3\quad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{1}}(9)=9\quad \ldots$

   因此矩阵为

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{1}}(\int _{0}^{1})={\begin{pmatrix}1&3&9&\cdots &3^{n}\end{pmatrix}}$

5. 域中基向量的图像为

   $1\mapsto 1\quad x\mapsto x+1=1+x\quad x^{2}\mapsto (x+1)^{2}=1+2x+x^{2}\quad x^{3}\mapsto (x+1)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\quad \ldots$

   它们表示为

   ${\rm {Rep}}_{B}(1)={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1+x)={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}(1+2x+x^{2})={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad \ldots$

   所得矩阵为

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(\int )={\begin{pmatrix}1&1&1&1&\ldots &1\\0&1&2&3&\ldots &{\binom {n}{2}}\\0&0&1&3&\ldots &{\binom {n}{3}}\\&\vdots \\0&0&0&&\ldots &1\end{pmatrix}}$

   是帕斯卡三角形（回想一下 ${\binom {n}{r}}$ 是从大小为 $n$ 的集合中选择 $r$ 件物品的方法数量，无序且无重复）。

问题 8

相对于 $B,B$ 表示任何非平凡空间上的恒等映射，其中 $B$ 是任何基。

答案

当空间为 $n$ 维时，

${\rm {Rep}}_{B,B}({\text{id}})={\begin{pmatrix}1&0\ldots &0\\0&1\ldots &0\\&\vdots \\0&0\ldots &1\end{pmatrix}}_{B,B}$

是 $n\!\times \!n$ 单位矩阵。

问题 9

相对于自然基，表示 ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ 空间上的转置变换，该空间由 $2\!\times \!2$ 矩阵组成。

答案

将此作为自然基

$B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle =\langle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\rangle$

转置映射以这种方式作用

${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{1}\quad {\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}\quad {\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}\quad {\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$

因此，将映射在陪域的基底上表示，并将这些列向量并在一起，得到以下结果。

${\rm {Rep}}_{B,B}({\text{trans}})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

问题 10

假设 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3},{\vec {\beta }}_{4}\rangle$ 是向量空间的基底。用 $B,B$ 表示由以下每个映射确定的变换。

1. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
2. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {\beta }}_{4}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$
3. ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto {\vec {\beta }}_{2}$, ${\vec {\beta }}_{2}\mapsto {\vec {\beta }}_{3}$, ${\vec {\beta }}_{3}\mapsto {\vec {0}}$, ${\vec {\beta }}_{4}\mapsto {\vec {0}}$

答案

1. 关于余域基底，域基底成员的像被表示为

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{2})={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{3})={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {\beta }}_{4})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\vec {0}})={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

   因此，表示该变换的矩阵如下。

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

2. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

问题 11

例 1.8 展示了如何用标准基表示平面旋转变换。用标准基表示以下变换：

1. 缩放映射 $d_{s}$，它将所有向量乘以相同的标量 $s$
2. 反射映射 $f_{\ell }$，它将所有向量反射到经过原点的直线 $\ell$ 上

答案

1. $d_{s}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 的图像如下所示。

   

   该映射对域中标准基向量的影响是

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {d_{s}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {d_{s}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}}$

   这些图像用陪域的基（同样是标准基）表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}s\\0\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\s\end{pmatrix}}$

   因此，缩放映射的表示如下。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(d_{s})={\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$

2. $f_{\ell }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ 的图片如下。

   

   一些计算（参见 问题 I.1.20）表明当直线斜率为 $k$

   ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}(1-k^{2})/(1+k^{2})\\2k/(1+k^{2})\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\stackrel {f_{\ell }}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}2k/(1+k^{2})\\-(1-k^{2})/(1+k^{2})\end{pmatrix}}$

   （斜率为无穷大的直线的情况是单独的，但很简单），因此表示反射的矩阵为：

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{\ell })={\frac {1}{1+k^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}1-k^{2}&2k\\2k&-(1-k^{2})\end{pmatrix}}$

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问题 12

考虑 $\mathbb {R} ^{2}$ 的线性变换，由以下两个确定。

${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$

1. 用标准基表示该变换。
2. 该变换将该向量映射到哪里？

   ${\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}$

3. 用这些基表示该变换。

   $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D=\langle {\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle$

4. 使用上一项中的 $B$，用 $B,B$ 表示该变换。

答案

将映射称为 $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$。

1. 为了用标准基表示该映射，我们必须找到并表示来自域基的向量 ${\vec {e}}_{1}$ 和 ${\vec {e}}_{2}$ 的图像。给出了 ${\vec {e}}_{1}$ 的图像。找到 ${\vec {e}}_{2}$ 的图像的一种方法是通过观察——我们可以看到这一点。

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\;{\stackrel {t}{\longmapsto }}\;{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$

   找到 ${\vec {e}}_{2}$ 的图像的更系统的方法是使用给定的信息来表示变换，然后使用该表示来确定图像。为基采用这个变换，

   $C=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$

   给定的信息表明了这一点。

   ${\rm {Rep}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}(t){\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}}$

   作为

   ${\rm {Rep}}_{C}({\vec {e}}_{2})={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{C}$

   我们有

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}(t({\vec {e}}_{2}))={\begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{C}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   因此，我们知道 $t({\vec {e}}_{2})=3\cdot {\vec {e}}_{1}$（因为，相对于标准基，这个向量由它自己表示）。因此，这是 $t$ 相对于 ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ 的表示。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}$

2. 为了使用上一项中开发的矩阵，请注意

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   因此，这是给定向量图像的表示，相对于陪域的基。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}(t({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}))={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}$

   由于陪域的基是标准基，因此陪域中的向量用它们自身表示，所以我们有这个。

   $t({\begin{pmatrix}0\\5\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}}$

3. 我们首先找到 $B$ 中每个成员的图像，然后相对于 $D$ 来表示这些图像。对于第一步，我们可以使用之前开发的矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1&3\\0&0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}_{{\mathcal {E}}_{2}}\quad {\text{so}}\quad t({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}$

   实际上，对于 $B$ 的第二个成员，不需要应用矩阵，因为问题陈述给出了它的图像。

   $t({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

   现在用 $D$ 来表示这些图像是例行公事。

   ${\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}_{D}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{D}({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1/2\\-1\end{pmatrix}}_{D}$

   因此，矩阵是这个。

   ${\rm {Rep}}_{B,D}(t)={\begin{pmatrix}-1&1/2\\2&-1\end{pmatrix}}_{B,D}$

4. 我们知道前一项中域基元图像。

   $t({\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}}\qquad t({\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$

   我们可以计算这些图像相对于陪域基元的表示。

   ${\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}}_{B}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B}({\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{B}$

   因此，这个是矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

问题 13

假设 $h:V\to W$ 是非奇异的，因此根据 定理 II.2.21，对于任何基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle \subset V$，图像 $h(B)=\langle h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{n})\rangle$ 是 $W$ 的一个基。

1. 用 $B,h(B)$ 表示映射 $h$。
2. 对于定义域中的一个向量 ${\vec {v}}$，其在 $B$ 中的坐标为 $c_{1}$，...，$c_{n}$，用 $h(B)$ 表示 $h({\vec {v}})$。

答案

1. 定义域基向量的像为

   ${\vec {\beta }}_{1}\mapsto h({\vec {\beta }}_{1})\quad {\vec {\beta }}_{2}\mapsto h({\vec {\beta }}_{2})\quad \ldots \quad {\vec {\beta }}_{n}\mapsto h({\vec {\beta }}_{n})$

   这些像可以用以下方式在陪域的基中表示。

   ${\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{1})\,)={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad {\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{2})\,)={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad \ldots \quad {\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {\beta }}_{n})\,)={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

   因此，矩阵为单位矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,h(B)}(h)={\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&1&&0\\&&\ddots \\0&0&&1\end{pmatrix}}$

2. 使用上一个项目中的矩阵，表示如下。

   ${\rm {Rep}}_{h(B)}(\,h({\vec {v}})\,)={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}_{h(B)}$

问题 14

给出矩阵和 ${\vec {e}}_{i}$（除了第 $i$ 位为 1，其他全为 0 的列向量）的乘积公式。

答案

乘积

${\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,i}&\ldots &h_{1,n}\\h_{2,1}&\ldots &h_{2,i}&\ldots &h_{2,n}\\&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,i}&\ldots &h_{1,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}h_{1,i}\\h_{2,i}\\\vdots \\h_{m,i}\end{pmatrix}}$

给出了矩阵的第 $i$ 列。

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问题 15

对于每个一元实变量函数向量空间，相对于 $B,B$ 表示导数变换。

1. $\{a\cos x+b\sin x\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle \cos x,\sin x\rangle$
2. $\{ae^{x}+be^{2x}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle e^{x},e^{2x}\rangle$
3. $\{a+bx+ce^{x}+dxe^{x}\,{\big |}\,a,b,c,d\in \mathbb {R} \}$, $B=\langle 1,x,e^{x},xe^{x}\rangle$

答案

1. 域基向量在陪域中的映射分别是 $\cos x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}-\sin x$ 和 $\sin x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}\cos x$。以陪域的基（同样是 $B$）表示并将其连接起来会得到这个矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}_{B,B}$

2. 域基向量在陪域中的映射分别是 $e^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}$ 和 $e^{2x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}2e^{2x}$。以陪域的基表示并将其连接起来会得到这个矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}_{B,B}$

3. 域基底成员的图像为 $1{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}0$，$x{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}1$，$e^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}$，以及 $xe^{x}{\stackrel {d/dx}{\longmapsto }}e^{x}+xe^{x}$。相对于 $B$ 表示这些图像并合并，得到这个矩阵。

   ${\rm {Rep}}_{B,B}({\frac {d}{dx}})={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}_{B,B}$

问题 16

找到每个矩阵所表示的 $\mathbb {R} ^{2}$ 线性变换的范围。

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}$
3. 形式为 ${\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}$ 的矩阵

答案

1. 它是以这种方式相对于陪域基底表示的陪域向量集。

   $\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   由于陪域的基是${\mathcal {E}}_{2}$，每个向量都由自身表示，因此此变换的范围是$x$轴。
2. 它是陪域中以这种方式表示的向量的集合。

   $\{{\begin{pmatrix}0&0\\3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}0\\3x+2y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   关于${\mathcal {E}}_{2}$，向量代表自身，因此此范围是$y$轴。
3. 关于${\mathcal {E}}_{2}$表示的向量集合为

   $\{{\begin{pmatrix}a&b\\2a&2b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}ax+by\\2ax+2by\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}=\{(ax+by)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}$

   是直线$y=2x$，只要$a$或$b$不为零，如果两者都为零，则是仅包含原点的集合。

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问题 17

一个矩阵可以代表两种不同的线性映射吗？也就是说，${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}({\hat {h}})$ 可能吗？

答案

可以，有两个原因。

首先，这两个映射$h$和${\hat {h}}$不必具有相同的定义域和陪域。例如，

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

表示一个映射 $h:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，相对于标准基，将

${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

同时，它也表示一个映射 ${\hat {h}}:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$，相对于 $\langle 1,x\rangle$ 和 ${\mathcal {E}}_{2}$，它以这种方式作用。

$1\mapsto {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x\mapsto {\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}$

第二个原因是，即使 $h$ 和 ${\hat {h}}$ 的定义域和值域一致，不同的基也会产生不同的映射。一个例子是 $2\!\times \!2$ 单位矩阵

$I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

表示在$\mathbb {R} ^{2}$ 上的恒等映射，相对于${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$。然而，相对于定义域的${\mathcal {E}}_{2}$，但对于陪域则是基$D=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$，同一个矩阵$I$表示交换第一个和第二个分量的映射

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}y\\x\end{pmatrix}}$

（即关于直线$y=x$的反射）。

问题 18

证明定理 1.4。

答案

我们模仿例 1.1，只是用字母替换数字。

写$B$ 作为$\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ 和 $D$ 作为$\langle {\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{m}\rangle$。根据映射在基下的表示的定义，假设

${\rm {Rep}}_{B,D}(h)={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\h_{m,1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

表示 $h({\vec {\beta }}_{i})=h_{i,1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{i,n}{\vec {\delta }}_{n}$。根据向量对基底的表示定义，假设

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}$

表示 ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$。代入得到

${\begin{array}{rl}h({\vec {v}})&=h(c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n})\\&=c_{1}\cdot h({\vec {\beta }}_{1})+\dots +c_{n}\cdot {\vec {\beta }}_{n}\\&=c_{1}\cdot (h_{1,1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{m,1}{\vec {\delta }}_{m})+\dots +c_{n}\cdot (h_{1,n}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +h_{m,n}{\vec {\delta }}_{m})\\&=(h_{1,1}c_{1}+\dots +h_{1,n}c_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{1}+\cdots +(h_{m,1}c_{1}+\dots +h_{m,n}c_{n})\cdot {\vec {\delta }}_{m}\end{array}}$

因此 $h({\vec {v}})$ 按要求表示。

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问题 19

示例 1.8 展示了如何使用标准基底表示平面中所有向量绕原点旋转 $\theta$ 角。

1. 将三维空间中的所有向量绕 $\theta$ 角旋转到 $x$ 轴是一个对 $\mathbb {R} ^{3}$ 的变换。用标准基表示它。将旋转安排好，以便对于脚位于原点，头部位于 $(1,0,0)$ 的人来说，运动看起来是顺时针方向的。
2. 重复前面的步骤，只是绕 $y$ 轴旋转。（将人的头部放在 ${\vec {e}}_{2}$ 上。）
3. 重复上述步骤，绕 $z$ 轴旋转。
4. 将前面的步骤扩展到 $\mathbb {R} ^{4}$。（提示：“绕 $z$ 轴旋转”可以改写为“平行于 $xy$ 平面的旋转”。）

答案

1. 图像如下。

   

   域基中的向量的图像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\\cos \theta \\-\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

   用陪域基表示（再次，${\mathcal {E}}_{3}$）本身，因此将这些表示并置形成矩阵，得到：

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(r_{\theta })={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &\sin \theta \\0&-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

2. 图像与前面的答案类似。域基中的向量的图像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta \\0\\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-\sin \theta \\0\\\cos \theta \end{pmatrix}}$

   用余域基底 ${\mathcal {E}}_{3}$ 表示自身，因此这是矩阵。

   ${\begin{pmatrix}\cos \theta &0&-\sin \theta \\0&1&0\\\sin \theta &0&\cos \theta \end{pmatrix}}$

3. 对于一个直立的人来说，以垂直的 $z$-轴为参照，$xy$-平面的顺时针旋转是从正 $y$-轴到正 $x$-轴。也就是说，它与 例 1.8 中的方向相反。域基底中向量的图像

   ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\cos \theta \\-\sin \theta \\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\sin \theta \\\cos \theta \\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

   用 ${\mathcal {E}}_{3}$ 表示自身，因此矩阵如下。

   ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

4. ${\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0&0\\-\sin \theta &\cos \theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

问题 20（舒尔三角化引理）

1. 令 $U$ 是 $V$ 的一个子空间，并固定基 $B_{U}\subseteq B_{V}$。关于 $B_{U}$ 的 $U$ 中向量的表示和关于 $B_{V}$ 的该向量（视为 $V$ 的一个成员）的表示之间是什么关系？
2. 映射呢？
3. 固定 $V$ 的一个基 $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$，并观察到跨度

   $[\{{\vec {0}}\}]=\{{\vec {0}}\}\subset [\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\subset [\{{\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\}]\subset \quad \cdots \quad \subset [B]=V$

   构成一个严格递增的子空间链。证明对于任何线性映射 $h:V\to W$，存在一个子空间链 $W_{0}=\{{\vec {0}}\}\subseteq W_{1}\subseteq \dots \subseteq W_{m}=W$，使得

   $h([\{{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{i}\}])\subset W_{i}$

   对于每个 $i$。
4. 可以得出结论，对于每个线性映射 $h:V\to W$，都存在基 $B,D$，使得表示 $h$ 的矩阵相对于 $B,D$ 是上三角矩阵（即，每个条目 $h_{i,j}$ 其中 $i>j$ 为零）。
5. 上三角表示是唯一的吗？

答案

1. 将 $B_{U}$ 写成 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$，然后将 $B_{V}$ 写成 $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$。如果

   ${\rm {Rep}}_{B_{U}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\end{pmatrix}}\qquad {\text{so that }}{\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}$

   那么，

   ${\rm {Rep}}_{B_{V}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

   因为 ${\vec {v}}=c_{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}\cdot {\vec {\beta }}_{k}+0\cdot {\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +0\cdot {\vec {\beta }}_{n}$。
2. 首先，我们需要确定问题的含义。比较 $h:V\to W$ 及其对子空间 ${h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U}:U\to W$ 的限制。限制的范围空间是 $W$ 的子空间，因此，为该范围空间固定一个基底 $D_{h(U)}$，并将其扩展为 $W$ 的基底 $D_{V}$。我们希望了解这两个基底之间的关系。

   ${\rm {Rep}}_{B_{V},D_{V}}(h)\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{B_{U},D_{h(U)}}({h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U})$

   答案直接从前一项得出：如果

   ${\rm {Rep}}_{B_{U},D_{h(U)}}({h}{\mathpunct {\upharpoonright }}_{U})={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,k}\\\vdots &&\vdots \\h_{p,1}&\ldots &h_{p,k}\end{pmatrix}}$

   则扩展将以这种方式表示。

   ${\rm {Rep}}_{B_{V},D_{V}}(h)={\begin{pmatrix}h_{1,1}&\ldots &h_{1,k}&h_{1,k+1}&\ldots &h_{1,n}\\\vdots &&&&&\vdots \\h_{p,1}&\ldots &h_{p,k}&h_{p,k+1}&\ldots &h_{p,n}\\0&\ldots &0&h_{p+1,k+1}&\ldots &h_{p+1,n}\\\vdots &&&&&\vdots \\0&\ldots &0&h_{m,k+1}&\ldots &h_{m,n}\end{pmatrix}}$

3. 将 $W_{i}$ 定义为 $\{h({\vec {\beta }}_{1}),\dots ,h({\vec {\beta }}_{i})\}$ 的生成空间。
4. 将第二项的答案应用到第三项。
5. 否。例如，$\pi _{x}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$，即对 $x$ 轴的投影，可以用这两个上三角矩阵来表示

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\rm {Rep}}_{C,{\mathcal {E}}_{2}}(\pi _{x})={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

   其中，$C=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$.