实分析/达布积分

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实分析 达布积分

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由 让·加斯顿·达布 提出了另一种流行的“积分”定义，并且由于其易于入门，通常在更高级的文本（例如此）中使用。 在本章中，我们将定义达布积分，并证明达布积分与更广为人知的黎曼积分的等价性。

构造

与 黎曼积分 不同，这种积分将放弃函数 ƒ 的一个假设——它必须是连续的。 它只会假设函数 ƒ 在 [a,b] 上是有界的。 当然，可以假定实分析课程的正常假设，例如函数只在关注的区间上对实数进行操作（即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$)

划分

我们将修改达布积分的划分定义，以便值 a 和 b 也包含在集合中。 为了完整起见，我们将再次写出这个新定义。

定义 划分 ${\mathcal {P}}$ 区间 $[a,b]$

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一组有限的实数，使得 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b$. 它通常表示为 ${\mathcal {P}}=(x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$，其中离散写入的 x 的数量是任意的。

定义 划分点

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划分 集合中的一个元素。

现在，我们将忽略对这些值的实际索引过程。 但是，应该注意的是，我们对划分的定义没有对数字之间关系做出任何声明； 这些值不一定均匀分布——但它们可以。

上和与下和

令 ${\mathcal {P}}$ 是 $[a,b]$ 的一个划分

对于每个 $x_{i}\in {\mathcal {P}}$，您可以定义两个特殊数字

$m_{i}\,{\dot {=}}\,\inf {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$ 以及

$M_{i}\,{\dot {=}}\,\sup {\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x_{i}]\}}$

这两个变量的文字定义更加清晰；m_i 定义了两个分割点之间所有有效 ƒ(x) 值的下确界，而 M_i 定义了两个分割点之间所有有效 ƒ(x) 值的上确界。

接下来，我们将定义达布积分的关键函数组件，即和式。

对于 ${\mathcal {P}}$，$f$ 的 *上和式* 的定义

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一个函数，记为 $U(f,{\mathcal {P}})$，定义为 $\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

对于 ${\mathcal {P}}$，$f$ 的 *下和式* 的定义

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一个函数，记为 $L(f,{\mathcal {P}})$，定义为 $\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})$

从几何学的角度来看，你会注意到这两个和式本质上都是各种矩形面积的加和，由于长度的定义分别是上确界或下确界，因此这些矩形与函数 ƒ 相关联。

需要注意的是，虽然上和式和下和式借用了函数符号，但它们并不一定是以通常意义上的函数。它们以分割作为输入，分割的大小是自然数。函数 ƒ 被视为一个固定的常数。

实际上，要得到达布积分，只需要再进行一个构造。唯一的难题是？最后一步是将上和式和下和式联系起来。毕竟，从这个函数生成的矩形留下了很多空隙，因为分割点太少。分割点越多，M_i 和 m_i 就越趋近于同一个值。现在接下来的任务应该很清楚了；我们需要证明上和式和下和式可以收敛到一个点。

细化

构造的倒数第二部分要求我们证明以下两个关于分割和和式的引理

1. $L(f,{\mathcal {P}})\leq L(f,{\mathcal {P}}^{*})$
2. $U(f,{\mathcal {P}})\geq U(f,{\mathcal {P}}^{*})$

请原谅，在我们分析这个陈述之前，我们需要先定义带星号的划分 *P* 的含义。

定义划分 ${\mathcal {P}}^{*}$ 的 *细化* ${\mathcal {P}}$

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一个划分，使得 ${\mathcal {P}}^{*}\supset {\mathcal {P}}$。或者，${\mathcal {P}}^{*}$ 在相同区间 [a,b] 上比 ${\mathcal {P}}$ 有更多的划分点。

好的，为什么我们需要证明这一点？很简单，这些不等式表明，更多的划分会导致对实际面积更好的近似。下界将随着它接近“面积”而增加，而上界将随着它接近“面积”而减少。这个事实应该很直观，以至于你可能从未想过要证明它。然而，我们现在将证明这个引理。这将是达布积分拼图的最后一块。

这个证明很简单，只需要不等式代数。

证明更精细的划分的下和永远不会更小

现在，让我们假设 ${\mathcal {P}}^{*}$ 比 ${\mathcal {P}}$ 多一个划分点（我们将在后面用这个特例来证明一般情况）。鉴于此，在我们的证明中，我们只需要从这些划分中使用三个划分点：仅在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 中找到的额外划分点，以及在 ${\mathcal {P}}^{*}$ 和 ${\mathcal {P}}$ 中都找到的两个相邻的划分点。	令 $x_{i},x_{i-1}\in {\mathcal {P}}$，并令 $x^{*}\in {\mathcal {P}}^{*}\setminus {\mathcal {P}}$，使得 $x_{i-1}<x^{*}<x_{i}$.
现在，我们将为这些划分点生成特定的下确界变量 *mi*。它们被赋予变量名 *m′* 和 *m″*。	令 $m'_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x_{i-1},x^{*}]\}$ 以及 $m''_{i}=\inf\{f(x)\,|\,x\in [x^{*},x_{i}]\}$
我们将使用所有这些变量来表示精细分割的下和与分割的下和的关系。	${\begin{aligned}L(f,{\mathcal {P}})&=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}{\text{ and }}\\L(f,{\mathcal {P}}^{*})&=\sum _{i=1}^{x^{*}-1}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\\&+m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})\\&+\sum _{i=x^{*}+1}^{n}{m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}\end{aligned}}$
最后比较这两个方程之间的关系可以简化为去除求和符号（通过减法），得到如下结果：	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1}){\text{ and }}m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
鉴于我们有两个下确界，它们是在同一个分割点之间的，而不仅仅是一个，所以这个关系应该很明显。这意味着通过一个分割点进行精细分割的分割更大。	$m_{i}(x_{i}-x_{i-1})\leq m'(x^{*}-x_{i-1})+m''(x_{i}-x^{*})$
使用递归，可以获得任意大小的精细分割。以下数学语句描述了递归过程。	${\mathcal {P}}\subset {\mathcal {P}}^{1}\subset {\mathcal {P}}^{2}\subset \ldots \subset {\mathcal {P}}^{*}$
$\blacksquare$

类似地，我们可以证明 $U(f,{\mathcal {P}})>U(f,{\mathcal {P}}^{*})$，使用相同的方法，只需反转必要的函数即可。

收敛

现在我们已经证明了我们的直觉是正确的；更多的分区将从下限和上限产生更接近的近似值，很公平地看看我们是否可以将它们结合起来。如果我可以随意使用数学符号，它可以被描述为

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\rightarrow {\text{``Area''}}\leftarrow U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

当上限（高估的面积）大于实际的“面积”，而下限（低估的面积）小于实际的“面积”，但当分区变得更细时，它们都收敛于“面积”。然而，这样想会让我们避免我们收集的数学部分，这些部分也可以公平地构建我们的积分。证明达布积分的路线图将引导我们到最后一块，

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中 ${\mathcal {P}}$ 可以被认为是一个足够完整的分区，可以产生完美的近似。为了解释的目的，我们将它称为**完美分区**，尽管重要的是**完美分区**不是无限的。但是，您可能想知道如何解决这个问题；前面的引理没有对上下限进行任何比较。这就是我们准备证明这一点的原因

$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq U(f,{\mathcal {P}}_{2})$

当 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是 [a,b] 的任何分区。是的，它们不需要是相同的分区，只要它们在相同的区间 [a,b] 上。这实际上会更简单，因为我们的证明将使用这两个和作为界限——我敢将其比作挤压吗？

证明和收敛

假设 ${\mathcal {P}}_{1}$ 和 ${\mathcal {P}}_{2}$ 是主分区的子集，我们可以使用我们的引理不断细化我们的分区，直到它们变成**完美分区**。	$L(f,{\mathcal {P}}_{1})\leq L(f,{\mathcal {P}})$ $U(f,{\mathcal {P}}_{2})\geq U(f,{\mathcal {P}})$
即使在创建**完美分区**的过程中，也可以注意到上限大于下限。这是由于上确界根据定义大于或等于任何其他值。我们可以排除下限大于上限的情况。	$L(f,{\mathcal {P}}^{n})\leq U(f,{\mathcal {P}})$
说到这里，我们也可以想象和的上确界/下确界也会遵守保持上限地位的这个性质。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}\leq \inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
对函数使用上确界和下确界模拟了 *完美分割* 的行为。	$\sup\{L(f,{\mathcal {P}}^{n})\}=L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})=\inf\{U(f,{\mathcal {P}})\}$
我们无法得出证明的结论。	$\blacksquare$

结论

我们遇到了一个障碍。我们最后的步骤得出了关于下和上和的非常奇怪的答案。也就是说它们不是相等，而是不等式

$L(f,{\mathcal {P}})\leq U(f,{\mathcal {P}})$

其中数字的确定性仍然未知。但是，我们可以通过将其分成两种情况并验证其中一种来轻松规避这个问题。我们所说的验证是什么意思？我们可以将积分（即达布积分）定义为确保上和和下和相等的数字。然后，我们可以将无效积分定义为保持不等式。用数学符号表示，我们将积分定义为

$L(f,{\mathcal {P}})=U(f,{\mathcal {P}})$

并拒绝所有其他情况作为无效积分。

从这里，我们自下而上完成了达布积分的构建.

定义

在 $[a,b]$ 上的函数 ƒ 的 *达布可积* 定义是

备用符号注意。这两个定义是等价的，只是为了澄清令人困惑的符号。

1. 当且仅当 $\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，其中上确界取自该区间上的 所有分割的集合
2. 当且仅当 $\sup {\{L(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}=\inf {\{U(f,{\mathcal {P}})\,:\,{\mathcal {P}}{\text{ a partition of }}[a,b]\}}$

它通常表示为

1. $\int _{a}^{b}f$
2. $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

取决于您是否愿意显式地写出函数 (#2) 或用名称写出 (#1)

备注

1. 当然，函数必须是实数函数，即 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$.
2. 达布积分的定义基于唯一性的条件，与本中其他概念不同，例如极限，极限是根据定义推导出的。

性质

令 $f:[a,b]\to \mathbb {R}$

$f$ 在 $[a,b]$ 上达布可积当且仅当对于任意 $\varepsilon >0$，存在一个在 $[a,b]$ 上的分割 ${\mathcal {P}}$ 使得 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

证明

($\Rightarrow$)令 $A=\int _{a}^{b}f$ 并且令 $\varepsilon >0$ 为给定值。因此，根据间隙引理，存在一个分割 ${\mathcal {P}}$ 使得 $U(f,{\mathcal {P}}),L(f,{\mathcal {P}})\in V_{\frac {\varepsilon }{2}}(A)$，因此 $U(f,{\mathcal {P}})-L(f,{\mathcal {P}})<\varepsilon$

($\Leftarrow$)设 ${\mathcal {P}}_{0}$ 是 $[a,b]$ 上的任意一个划分。观察到 $L(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合 ${\mathcal {U}}=\{U(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任意一个划分$\}$ 的下界，并且 $U(f,{\mathcal {P}}_{0})$ 是集合 ${\mathcal {L}}=\{L(f,{\mathcal {P}})|{\mathcal {P}}$ 是任意一个划分$\}$ 的上界。

因此，设 $\alpha =\sup {\mathcal {L}}$ 且 $\beta =\inf {\mathcal {U}}$。因为 $L(f,{\mathcal {P}})<U(f,{\mathcal {P}})$，因此 $\alpha >\beta$ 不可能成立。同样，因为 $\alpha ,\beta$ 分别是上确界和下确界，$\alpha <\beta$ 也不可能成立。因此，$\alpha =\beta =L$ （假设）。

当 $L=\sup _{\mathcal {P}}L(f,{\mathcal {P}})=\inf _{\mathcal {P}}U(f,{\mathcal {P}})$，我们有 $\int _{a}^{b}f=L$

黎曼积分与达布积分的等价性

乍一看，达布积分似乎是黎曼积分的特例。然而，这是一种错觉，实际上两者是等价的。

引理

(1) 令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 为达布可积函数，其积分值为 $L$

定义函数 $\varepsilon (\delta )=\sup\{|L-S(f,{\dot {P}})|:\|{\dot {P}}\|=\delta \}$

(2) 则 $\delta _{1}<\delta _{2}$ $\Rightarrow$ $\varepsilon (\delta _{1})<\varepsilon (\delta _{2})$

证明

令 $\delta _{1}<\delta _{2}$。考虑标记分区集 ${\dot {P}}$，使得 $\varepsilon (\delta _{1})\leq |L-S(f,{\dot {P}})|$

令 $T'$ 是 ${\dot {P'}}$ 的集合，其中 ${\dot {P'}}\subset {\dot {P}}\in T$ 且 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}>\delta _{1}$

注意 $T'\neq T$ 并且集合 $T'$ 确实包含所有划分 ${\dot {P'}}$ ，其中 $\|{\dot {P'}}\|=\delta _{2}$

现在，对于 ${\dot {P}}\in T$ ，我们可以构造 ${\dot {P'}}\in T'$ 使得 $|L-S(f,{\dot {P'}})|>|L-S(f,{\dot {P}})|$

因此， $\displaystyle \sup _{{\dot {P}}\in T}\{|L-S(f,{\dot {P}})|\}<\sup _{{\dot {P'}}\in T'}\{|L-S(f,{\dot {P'}})|\}$

即 $\varepsilon (\delta _{2})>\varepsilon (\delta _{1})$

定理

令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

(1) $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积当且仅当

(2) $f$ 在 $[a,b]$ 上达布可积

证明

($\Rightarrow$) 令 $\epsilon >0$ 为给定值。

(1) $\Rightarrow$ $\exists$ 带标记的分区 ${\dot {P}}$ 使得 $|S(f,{\dot {P}})-L|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

令分区 $P_{1}$ 和 $P_{2}$ 为 ${\dot {P}}$ 的相同细化，但标记不同。

因此， $|S(f,P_{1})-S(f,P_{2})|<\epsilon$ $\forall$ $P_{1}$ 和 $P_{2}$

即，根据三角不等式，$|S(f,P_{1})|-|S(f,P_{2})|<\epsilon$

间隙引理 $\Rightarrow$ $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$,

$\epsilon >0$ 是任意的，根据定理 2.1，我们有 $f$ 是 Darboux 可积的。

($\Leftarrow$) 设 $\epsilon >0$ 是给定的。

(2), 定理 2.1 $\Rightarrow$ $\exists$ 分割 $P$ 使得 $U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$

因此，$|L-S(f,P)|<\epsilon$ 因为 $L(f,P)\leq S(f,P)\leq U(f,P)$

根据引理 3.1，$|L-S(f,P')|<\epsilon$ 如果 $\|P'\|<\|P\|$

因此，如果我们设置 $\delta =\|P\|$，我们有 (1)

我们在这里注意到，这个证明中的关键要素是引理 3.1，因为它本质上给出了 $\varepsilon$ 和 $\delta$ 之间的顺序关系，而这种关系在黎曼或达布克斯定义中都不直接存在。