实分析/极限与连续性练习/提示

实分析
练习

这些是维基教科书中极限与连续性部分的问题列表。

虽然维基教科书断言以下问题的真实性在此表中，但证明它们是一个很好的练习。因此，给定连续函数 $f$ $f$ 和 $g$ $g$ ，证明以下
- $\lim _{x\rightarrow c}{(f+g)(x)}=f(c)+g(c)$
- $\lim _{x\rightarrow c}{(f\cdot g)(x)}=f(c)\cdot g(c)$
- $\lim _{x\rightarrow c}{\left({\dfrac {f}{h}}\right)(x)}={\dfrac {f(c)}{h(c)}}$ ，给定 $h$ 是一个函数，使得 $h(c)\neq 0$
给定一个连续函数 $f$ 和 $g$ 在任何区间 $I$ 上，证明 $f\circ \lim _{x\rightarrow a}g(x)=\lim _{x\rightarrow a}f\circ g(x)$ 对于区间 $I$ 中的所有 $x$

评论和进一步阅读

问题 2 是一个证明，极限可以在函数复合之间“转移”。

这些问题属于困难类型，或者换句话说，如果不是稍微的话，就是非标准类型。尝试在没有提示的情况下解决问题，因为大多数情况下，你可能会有不同的方法或思考问题的方式。只有在你真的卡住的时候才使用提示！不多说了，以下是问题

证明函数 f(x) = 1/x 在区间 (0,∞) 上不一致连续。
证明凸函数是连续的(回想一下，一个函数 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个凸函数，如果对于所有的 $x,y\in (a,b)$ 和所有的 $s,t\in [0,1]$ 满足 $s+t=1$ ， $f(sx+ty)\leq sf(x)+tf(y)$ )
证明每个将 [0,1] 映射到自身的连续函数 f 至少有一个不动点，也就是说 $\exists p\in [0,1]$ 使得 $f(p)=p$
证明在区间上的连续函数空间具有 $\mathbb {R}$ 的基数。
令 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个单调函数，即 $\forall x,y\in [a,b];x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)$ 。证明 $f$ 有可数个间断点。
令 $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ $f:(a,b)\rightarrow \mathbb {R}$ 是一个可微函数，并且假设存在一个正常数 $K$ $K$ 使得 $|f'(x)|\leq K$ $|f'(x)|\leq K$ 对于所有的 $x\in (a,b)$ $x\in (a,b)$ 成立。
1. 证明 $f$ 在 $(a,b)$ 上是 Lipschitz 连续的。
2. 证明每个 Lipschitz 连续的函数也是一致连续的（因此你正在使用的函数 $f$ 是一致连续的）。

提示 (问题 6.1)

这里可以使用中值定理。

无提示。
你可能想先证明凸函数上方的区域是凸的（即连接区域中两个点的任何直线都完全位于区域内），然后利用这个事实，用反证法来证明凸函数确实是连续的（即没有跳跃或可去间断点）。
考虑函数 $h(x)=f(x)-x$ 。使用中间值性质，证明存在 $\exists p$ 使得 $h(p)=0$ 。
首先证明所有实数无穷序列的集合与 $\mathbb {R}$ 具有相同的基数，然后证明每个连续函数都由其在 $\mathbb {Q}$ 上的值确定。
无提示。
(a) 使用中值定理（当我们学习到的时候）。(b) 令 $\delta =\epsilon /K$ 。