这些是中 极限与连续性 部分的问题列表。
- 虽然断言以下问题的真实性 在此表中,但证明它们是一个很好的练习。因此,给定连续函数
和
,证明以下

,给定
是一个函数,使得 
- 给定一个连续函数
和
在任何区间
上,证明
对于区间
中的所有 
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问题 2 是一个证明,极限可以在函数复合之间“转移”。
这些问题属于困难类型,或者换句话说,如果不是稍微的话,就是非标准类型。尝试在没有提示的情况下解决问题,因为大多数情况下,你可能会有不同的方法或思考问题的方式。只有在你真的卡住的时候才使用提示!不多说了,以下是问题
- 证明函数 f(x) = 1/x 在区间 (0,∞) 上不一致连续。
- 证明凸函数是连续的(回想一下,一个函数
是一个凸函数,如果对于所有的
和所有的
满足
,
)
- 证明每个将 [0,1] 映射到自身的连续函数 f 至少有一个不动点,也就是说
使得 
- 证明在区间上的连续函数空间具有
的基数。
- 令
是一个单调函数,即
。证明
有可数个间断点。
- 令
是一个可微函数,并且假设存在一个正常数
使得
对于所有的
成立。- 证明
在
上是 Lipschitz 连续的。
- 证明每个 Lipschitz 连续的函数也是一致连续的(因此你正在使用的函数
是一致连续的)。
- 无提示。
- 你可能想先证明凸函数上方的区域是凸的(即连接区域中两个点的任何直线都完全位于区域内),然后利用这个事实,用反证法来证明凸函数确实是连续的(即没有跳跃或可去间断点)。
- 考虑函数
。使用中间值性质,证明存在
使得
。
- 首先证明所有实数无穷序列的集合与
具有相同的基数,然后证明每个连续函数都由其在
上的值确定。
- 无提示。
- (a) 使用中值定理(当我们学习到的时候)。(b) 令
。