实分析/第 1 节练习/提示

实分析/第 1 节练习
练习

以下是一些针对维基教科书中实数部分的练习题。大部分问题可以归类为代数问题，但这一组问题也包含了来自数论的定理和概念。数论不是本维基教科书的重点，但有一节附录专门用于形式化数论中的一些概念。建议做一些数论部分的题目，因为它的讨论范围——与自然数及其超集整数和有理数相关的定理——很少被清晰地讨论，通常留给直觉去理解。

无序

证明 $-1<0\$
证明 $\forall z\in \mathbb {Z} ,\ z^{2}\geq 0$
完成上述简单结果的证明。
证明复数集 $\mathbb {C}$ 不能构成一个有序域。
完成平方根定理的证明，详细说明 $x<1$ 的情况。
假设 A 是一个有上界的非空实数集，令 s = sup A。证明如果 s 不在 A 中，那么对于任何 ε > 0，都存在 A 中的一个元素 a 使得 s − ε < a < s。

代数

以下问题旨在将你在初等数学中可能仅仅记忆为公理式的代数规则进行形式化。但是，只要有在实数部分建立的前几个定律，例如交换律和将变量移到等号两边的代数运算，以下问题应该是让你习惯于应用定理来证明你主张的一种简单方法——这是数学中一项非常重要的技能。

1. 证明以下关于不等式的定理（假设变量除非明确限制，否则可以在其假设的域中取任何值）

如果 0 ≤ x，则 -x ≤ 0
如果 a < b，则 -b < -a
给定 x < 0，如果 y < z，则 xy > xz
如果 a < b 且 c < d，则 a + c < b + d
如果 a < b 且 c > d，则 a - c < b - d
如果 0 ≤ a < b 且 0 ≤ c < d，则 ac < bd

2. 证明以下不等式（假设变量除非明确限制，否则可以在其假设的域中取任何值）

如果 1 ≤ x，则 x ≤ x²
如果 1 ≤ x，则 1 ≤ x²
如果 0 < x < 1，则 x² < x
如果 0 ≤ x < y，则 x² < y²
给定 x，y 使得 0 ≤ x，y，如果 x² < y²，则 x < y
给定奇数 n，如果 x < y，则 xⁿ < yⁿ
给定自然数 n，如果 0 ≤ x < y，则 xⁿ < yⁿ

3. 证明以下与本章中提供的定律相关的推论定理

如果存在数 0，则 $0=-0$
$\forall x,y\in \mathbb {Z} ,\ -(xy)=(-x)y=x(-y)$

4. 证明以下关于有理数的定理

给定 $a\neq 0,b\neq 0$ ， ${\frac {1}{ab}}={\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}$
给定 $b\neq 0,c\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$
给定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$
给定 $b\neq 0,d\neq 0$ ， ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

方法提示（通用 1）

大多数这些不应该太难; 记住你的代数定律！即使在不等式中，它们仍然是有效的公理。

方法提示（通用 2a）

如果协调，这些问题是为了强化你在解决不等式问题时可以做的一种特殊属性。

方法提示（通用 2b）

作为提示 2a 的延续，此属性类似于你在解方程时如何用变量进行代入。但是，只要改变一下，它仍然适用于不等式。

提示（问题 III）

你可以使用问题 II 中证明的 x 的另一种定义。另外，请记住，你不必一步完成所有操作。

评论和进一步阅读

问题 1ii 提供了一种证明为什么当你乘以 -1 时不等号“翻转”的方法。

问题 1vii 在不等式问题中非常重要，在这些问题中，在其他不等式之间插入不等式通常不是有效操作。它提供了一个它有效的示例。

答案

绝对值

1. 证明以下不等式（假设变量，除非受限制，可以是任何数字）

|a| + |b| ≤ |a + b|

方法提示（通用 1）

记住你的代数定律！即使在不等式中，它们仍然是有效的公理。

方法提示（通用 2a）

绝对值，根据定义，是正数。

方法提示（通用 2b）

有一个代数运算可以保证正输出，其对输出数字的逆运算最好表示为绝对值（在初等数学中，它被分解成多个情况，如果逻辑上是合理的，而不是）。

进一步阅读 (1i)

这是三角不等式的证明。请注意，此版本适用于实数线，但该网页上显示的通用版本是也适用的概括。

答案

数论

证明偶数和奇数的以下性质
1. 如果你加上两个偶数，那么和是偶数。
2. 如果你加上两个奇数，那么和是偶数。
3. 如果你将一个奇数与一个偶数相乘，那么积是偶数。
4. 如果你将两个奇数相乘，那么积是奇数。
证明对于所有自然数，没有一个完美的平方数的连续数也是一个完美的平方数。你不必为这个问题考虑 0。
证明不存在原始毕达哥拉斯三元组 $a,b,c$ 使得 a 和 b 都是偶数或 a 和 b 都是奇数。
给定 $\forall a\in \mathbb {Z} :[\exists b\in \mathbb {N} :\exists r,q\in \mathbb {Z} :a=bq+r]$ ，证明如果给定的成立，那么余数 r 具有以下性质 $0\leq r<b$ 。
证明 ${\sqrt {2}}$ 是无理数。
证明任何素数的平方根都是无理数。
给定方程 $x-c=A(x-d)+B(x-e)$ ，其中 $A,B,c,d,e$ 是常数，证明如果 $x$ 是除 $d$ 或 $e$ 以外的任何数，那么 $A$ 和 $B$ 都无法定义。