实分析/序列

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实分析 序列

实数的构造→

定义

序列在分析中经常出现，并且出现在许多上下文中。虽然我们都熟悉序列，但拥有一个正式的定义是有用的。

定义 实数的序列是任何函数 a : N→R。

通常，此类序列被称为实数序列、实数序列或R中的序列，以明确表示序列的元素是实数。对于自然数、整数等的序列，可以给出类似的定义。

给定一个序列（x_n），一个子序列，记为$(x_{n_{j}})_{j=1}^{\infty }$，是一个序列，其中（n_j）是自然数的严格递增序列。

例如，取 n_j=2j 将是包含原始序列中每个其他元素的子序列，即（x₂, x₄, x₆, …）。

序列记号

但是，我们通常用 a_n 来表示 n 在 a 下的像，而不是 a(n)。值 a_n 通常称为序列的元素。为了区分序列及其值之一，通常用$(a_{n})_{n=1}^{\infty }$或仅（a_n）来表示整个序列。有些人使用集合符号并将其表示为{a_n} 在指定特定序列时，可以将其写成（a₁, a₂, a₃, …）的形式，当序列是无限的时，或者（a₁, a₂, …, a_n）当序列是有限的时。我们倾向于只离散地写下足够多的元素，以便模式清晰，通常是3倍。

序列示例

(1, 2, 3, 4, …)、(1, -2, 3, -4, …) 和 (1, π, π², π³, π⁴, …) 都是序列的示例。但是，请注意，序列的元素不必有任何特定的模式。例如，我们可以指定 a_n 为 π 的第 n 位数字。通常，序列以递归方式定义。也就是说，指定序列的一些初始值，然后指定如何从前面的元素获取序列的下一个元素。例如，考虑序列 x₁=1、x₂=1 和 x_n = x_n−1 + x_n−2，其中 n ≥ 3。此序列称为斐波那契数列，其前几项由 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) 给出。牛顿法是递归序列的另一个熟悉的例子。对于函数零点的初始猜测 x₀，牛顿法告诉您如何构造下一个猜测。这样，您就可以生成一个（希望）收敛到函数零点的序列。

序列运算

我们还可以对序列执行代数运算。换句话说，我们可以加、减、乘、除序列。这些运算只是逐元素执行的，为了完整起见，我们给出定义。

定义 给定两个序列（x_n）和（y_n）以及一个实数 c，我们定义以下运算

序列运算符

运算符	定义	属性
加法	(xn) + (yn)	(xn + yn)
减法	(xn) − (yn)	(xn − yn)
乘法	(xn) ⋅ (yn)	(xn ⋅ yn)
除法	(xn) ⁄ (yn)	(xn/yn)，如果 yn ≠ 0 对于所有 n 在 N 中
标量	c ⋅ (xn)	(c ⋅ xn)

序列分类

序列的一些性质非常重要，因此被赋予了特殊的名称。

不同类型的单调序列

定义	属性
严格递增	如果 an < an+1 对于所有 n 在 N 中
非递减	如果 an ≤ an+1 对于所有 n 在 N 中
严格递减	如果 an > an+1 对于所有 n 在 N 中
非递增	如果 an ≥ an+1 对于所有 n 在 N 中
定义	属性
单调	如果它满足上述任何定义，对于所有 n 在 N 中
严格单调	如果它是严格递增或严格递减的；

单调性的视觉示例

• 
  单调非递减函数的示例
• 
  单调非递增函数的示例
• 
  非单调函数的示例

一些术语前面加上了严格地，因为术语递增在某些上下文中既可以表示严格递增，也可以表示非递减，类似地，递减既可以表示严格递减，也可以表示非递增。因此，这些模棱两可的术语通常前面会加上严格地。我们将尽量坚持使用这些明确的术语。

从这里开始，我们还将根据有界性来描述序列的性质，我们将在下面对序列的有界性进行定义。

不同类型的有界性

定义	属性
上界	如果存在R中的M，使得对于所有N中的n，都有an<M
下界	如果存在R中的M，使得对于所有N中的n，都有an>M
有界	如果序列既有上界又有下界
柯西	如果对于所有ε>0，都存在自然数N，使得对于所有n，m > N，都有|am-an| < ε

收敛性和极限

序列的另一个重要性质（从分析的角度来看，可以说是最重要的性质）是收敛性。这个性质可以通过扩展ε-δ定义来轻松描述。但是，由于序列与自然数相关，因此存在另一种想象收敛的方式。下面将描述这两种方法。

定义 令(x_n)为实数序列。如果序列(x_n)收敛到实数a。

则对于所有ε>0，都存在N中的N，使得对于所有n≥N，都有|x_n-a|<ε。

如果(x_n)收敛到a，则我们称a为(x_n)的极限，并写成

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

或者

$x_{n}\to a$ 当 $n\to \infty$。

这读作x_n趋近于a，当n趋近于∞。如果n的角色很明确，则可以简写为x_n→a或lim x_n=a。

如果一个序列收敛，则称其为收敛序列。

扩展这个概念，允许序列的极限为∞或−∞也是有用的。

定义 我们说当n→∞时，x_n→∞，如果对于R中的每一个M，都存在自然数N，使得对于所有n≥N，都有x_n≥ M。我们说当n→∞时，x_n→−∞，如果对于R中的每一个M，都存在自然数N，使得对于所有n≥N，都有x_n≤ M。

尽管如此，我们并不将此类序列称为收敛序列。相反，它们被称为发散序列。

虽然可以使用ε-δ定义来证明收敛性，但由于序列是使用自然数引用的，因此另一种证明序列收敛的方法是通过数学归纳法。通过这种方法，一些定理更容易证明。但是，使用数学归纳法的证明无法像使用ε-δ的证明那样推广到实数。

下面的定理将证明，用归纳法表示、极限表示或柯西表示的收敛序列的变化形式都收敛到唯一的数字。这在直觉上似乎很清楚，但请记住，当涉及到极限时，直觉往往会让我们失望。严格证明我们遇到的每一个数学概念也是符合数学规范的。

定理（极限的唯一性）

一个序列最多只有一个极限。换句话说：如果x_n → a且x_n → b，则a = b。

证明

假设该序列有两个不同的极限，因此a≠b。令ε=|a−b|/3。

当然ε>0，使用两次收敛的定义，我们可以找到自然数N_a和N_b，使得

$|x_{n}-a|\leq \epsilon$ 对于所有n > N_a。

并且

$|x_{n}-b|\leq \epsilon$ 对于所有n > N_b。

取k=max(N_a,N_b)，则这两个条件都适用于x_k。因此，我们推断|x_k−a|≤ε且|x_k−b|≤ε。应用三角不等式，我们可以看到

$|a-b|=|(x_{k}-b)-(x_{k}-a)|\leq 2\epsilon =(2/3)|a-b|,$

这是一个矛盾。因此，任何序列最多只有一个极限。$\Box$

定理（收敛序列是有界的）

如果子序列$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$是一个收敛序列，则它是是有界的。

证明

令$a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，并令ε = 1。

根据收敛的定义，存在一个自然数N，使得

$|x_{n}-a|\leq 1$对于所有n ≥ N 成立。

序列$(x_{n})_{n=N+1}^{\infty }$以上界为a+1，下界为a−1。令M = max(|x₁|,|x₂|,|x₃|,…,|x_N|, |a|+1)。由此可知，对于所有n ∈ N，−M ≤ x_n ≤ M。因此，该序列是有界的。$\Box$

定理（柯西序列的有界性）

如果$(x_{n})_{n=1}^{\infty }$是一个柯西序列，则它是是有界的。

证明

令(x_n)为一个柯西序列。根据柯西序列的定义，存在一个自然数N，使得对于所有n,m > N，|x_n−x_m| < 1。特别是，对于所有m > N，|x_N+1−x_m| < 1。根据反三角不等式，可知|x_m| < |x_N+1| + 1。如果我们取M=max(|x₁|，|x₂|，…，|x_N|，|x_N+1| + 1)，则对于所有n ∈ N，|x_n| ≤ M。$\Box$

下面的定理告诉我们，序列上的代数运算与取极限是可交换的。这个简单的定理是计算极限的有用工具。

序列的性质

鉴于我们对收敛的新定义，我们应该能够从代数角度使用我们从收敛序列中获得的值，以及是否能够将代数直觉应用于收敛序列。

代数运算

如果(x_n)和(y_n)是收敛序列，且a ∈ R，则以下性质成立

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
2. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)$.
3. $\lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})$.
4. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}$（假设对于所有 n∈N，y_n≠0，并且lim y_n≠0）。
5. 如果对于每个 n∈N，x_n≤y_n，则$\lim _{n\to \infty }x_{n}\leq \lim _{n\to \infty }y_{n}$。

证明

1. 令x=lim x_n 和 y=lim y_n。我们需要证明对于任何ε>0，存在自然数N，使得如果n≥ N，则|(x_n + y_n) − (x + y)|≤ε。给定任何ε>0，我们有ε/3>0，因此根据收敛性的定义，存在一个自然数N_x，使得对于所有n>N_x，|x_n−x|≤ε/3，类似地，我们可以选择N_y使得对于所有n>N_y，|y_n−y|≤ε/3。

令N=max(N_x ,N_y)。如果n>N，则根据三角不等式，我们有

$|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\leq \epsilon /3+\epsilon /3<\epsilon ,$

这就是我们需要证明的。$\Box$

2. 令x=lim x_n 和 y=lim y_n。由于这些序列是收敛的，因此它们是有界的。令M_x为(x_n)的一个界，令M_y为(y_n)的一个界。通过必要时增加这些量，我们也可以假设M_x > x 和 M_y > y。给定ε>0，存在一些N_x和N_y使得

$|x_{n}-x|<{\epsilon \over 2M_{y}}$对于n > N_x，并且

$|y_{n}-y|<{\epsilon \over 2M_{x}}$对于n > N_y。

然后对于每个n > max(N_x, N_y)，

$|x_{n}y_{n}-xy|\,$	$=|(x_{n}-x)y_{n}+x(y_{n}-y)|\,$
	$\leq |x_{n}-x|M_{y}+M_{x}|y_{n}-y|$
	$\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\leq \epsilon .$

$\Box$

3. 令y_n = a 对于所有 n∈N。该陈述现在由 2 推出。$\Box$

4. 我们可以将其简化为证明 lim (1/y_n) 存在且等于 1/(lim y_n)。然后根据 2，我们有

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)=\left(\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}.$

令 y=lim y_n。根据练习，由于 y 和 y_n 不为 0，我们可以找到 δ > 0，使得 |y_n| > δ 且 |y| > δ。因此，1/|y_ny|<1/δ²。给定 ε > 0，选择 n ∈ N，使得 |y_n − y| < δ²ε。我们有

$\left|{1 \over y_{n}}-{1 \over y}\right|=|y-y_{n}|{1 \over |y_{n}y|}\leq {\frac {|y-y_{n}|}{\delta ^{2}}}<\epsilon$.

因此，$\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}={1 \over y}.$ $\Box$

5. 我们首先可以将其简化为一个数列恒等于 0 的情况。要看到这一点，令 z_n = x_n − y_n。则对于所有 n ∈ N，z_n < 0。令 z = lim z_n。假设 z > 0，则我们可以找到一个自然数 N，使得

$|z-z_{N}|<z\,$.

由于 z_N ≤ 0 < z，绝对值等于 z − z_N。减去 z，我们发现 −z_N < 0。因此 z_N 为正。矛盾。因此，我们必须有 z ≤ 0。这意味着根据 1，我们得到

$\lim _{n\to \infty }x_{n}-\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n}=z\leq 0.$

因此 lim x_n ≤ lim y_n $\square$

定理（夹逼定理）

这是重要的夹逼定理，它是极限的基础。由于收敛数列也可以通过极限的概念和符号来理解，因此如果这个重要定理也适用于收敛数列，那将是明智的。

给定数列 (x_n)、(y_n) 和 (w_n)，如果 (x_n) 和 (y_n) 收敛到 a，且 x_n ≤ w_n ≤ y_n，则 w_n 收敛到 a。

证明

固定 ε > 0。我们需要找到一个 N，使得如果 n > N，则 |w_n − a| < ε。由于 (x_n) → a 且 (y_n) → a，收敛的定义 确保存在整数 N_x 和 N_y，使得对于 n > N_x，|x_n − a| < ε，并且对于 n > N_y，|y_n − a| < ε。

令 N=max(N_x, N_y)。然后，对于所有 n > N，我们有 −ε < x_n − a 且 y_n − a < ε。由于 x_n < w_n < y_n，因此 x_n − a < w_n − a < y_n − a。

因此，如果 n ≥ N，则 −ε < x_n − a < w_n − a < y_n − a < ε。换句话说，|w_n − a| < ε。$\Box$

完备性

以下结果与实数的完备性密切相关。

定理（单调数列的收敛性）

任何单调有界序列都收敛。如果序列是单调不减的，则序列收敛于该序列元素的上确界。如果序列是单调不增的，则序列收敛于该序列元素的下确界。

证明

设 (x_n) 为任意一个由实数 M 有界的单调序列。不失一般性，假设 (x_n) 是单调不减的。由于 (x_n) 在上方有界，根据上确界公理，它存在一个上确界。设 x = sup {x_n | n ∈ N}。我们现在将证明 (x_n) → x。

固定 ε > 0。如练习中所示，如果 s = sup(A)，则对于任何 ε > 0，存在一个元素 a 在 A 中，使得 s − ε < a < s。因此，存在一个 N 在 N 中，使得 x − ε < x_N < x。

对于任何 n > N，由于 x_n 是单调不减的，我们有

$x-\epsilon <x_{N}\leq x_{n}<x$.

因此 |x − x_n| < ε，根据收敛的定义，(x_n) 收敛于 x。 $\Box$

定理（嵌套区间性质）

如果存在一个闭区间序列 I_n = [a_n, b_n] = {x | a_n ≤ x ≤ b_n}，使得对于所有 n，I_n+1 ⊆ I_n，则 ∩I_n 非空。

证明

由于 I_n+1 ⊆ I_n，因此 a_n ≤ a_n+1 且 b_n+1 ≤ b_n。

由于 (a_n) 和 (b_n) 是单调序列，根据前面的定理，它们都收敛。此外，由于对于所有 n，a_n < b_n，因此 lim a_n ≤ lim b_n 。

根据 (a_n) 和 (b_n) 的单调性，对于每个 n，我们有

$a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq b_{n}.$

因此 lim a_n ∈ [a_n, b_n] 对于每个 n 都成立，这意味着

$\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }I_{n}.$

因此，交集非空。 $\Box$

定理（博尔扎诺-魏尔斯特拉斯）

每个有界的实数序列都包含一个收敛子序列。

证明

设 (x_n) 为一个由实数 M 有界的实数序列，即对于所有 n，|x_n| < M。我们定义集合 A 为 A = {r | |r| ≤ M 且 r < x_n 对于无限多个 n 成立}。我们注意到 A 非空，因为它包含 −M，并且 A 在上方由 M 有界。设 x = sup A。

我们断言，对于任何 ε > 0，区间 (x − ε, x + ε) 中必须有无限多个 x_n 的点。假设并非如此，并固定一个 ε > 0，使得区间 (x − ε, x + ε) 中只有有限多个 x_n 的值。要么 x ≤ x_n 对于无限多个 n 成立，要么 x ≤ x_n 对于最多有限多个 n 成立（可能根本没有 n）。假设 x< x_n 对于无限多个 n 成立。显然在这种情况下 x ≠ M。如有必要，限制 ε 使得 x + ε ≤ M。设 r = x + ε/2，我们有 r < x_n 对于无限多个 n 成立，因为集合 [x,r] 中只有有限多个 x_n，并且 x 必须小于无限多个 x_n，此外 |r| < M。因此 r 在 A 中，这与 x 是 A 的上界相矛盾。现在假设 x< x_n 对于最多有限多个 n 成立。设 y = x − ε/2。那么最多只有有限多个 n 使得 x_n ≥ y。因此，如果 r < x_n 对于无限多个 n 成立，我们有 r ≤ y。这意味着 y 是 A 的上界，并且小于 x，这与 x 是 A 的最小上界相矛盾。在这两种情况下，我们都得到一个矛盾，因此我们必须有，对于任何 ε > 0，区间 (x − ε, x + ε) 中必须有无限多个 x_n 的点。

现在我们证明存在一个子序列收敛到x。我们用归纳法定义这个子序列，从区间(x − 1, x + 1)中选择任意一个x_n1。假设我们已经选择了x_n1, …, x_nk−1，选择x_nk为区间(x − 1/k, x + 1/k)中的一个元素，使得n_k∉{n₁, …, n_k−1}，这是可能的，因为区间中有无限多个(x_n)的元素。注意，对于我们选择的这个x_nk，我们有|x − x_nk|<1/k。因此，对于任何ε>0，如果我们取任何k > 1/ε，那么|x_nk-x| < ε。也就是说，子序列(x_nk) → x。$\Box$

定理（柯西准则）

一个序列收敛当且仅当它是柯西序列。尽管这看起来比收敛是一个更弱的性质，但实际上它是等价的，如下面的定理所示。

证明

首先我们证明如果(x_n) → x，那么x_N是柯西序列。现在假设对于给定的ε > 0，我们希望找到一个N，使得对于所有n, m > N，都有|x_n − x_m| < ε。我们将选择N，使得对于所有n ≥ N，都有|x_n − x| < ε/2。根据三角不等式，对于任何n, m > N，我们有

$|x_{n}-x_{m}|\leq |x_{n}-x|+|x_{m}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此(x_n)是一个柯西序列。

现在我们证明如果(x_n)是一个柯西序列，那么它收敛到某个x。设(x_n)是一个柯西序列，并设ε > 0。根据柯西序列的定义，存在一个自然数L，使得只要n, m > L，就有|x_n − x_m| < ε/2。由于(x_n)是一个柯西序列，因此它是

因为(x_nk)收敛，所以我们可以选择一个自然数M，使得如果n_k > M，那么|x_nk − x| < ε/2。设N = max(L, M)，并固定任何n_k > N。对于n > N，我们有

$|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此，根据收敛的定义，(x_n) → x。$\Box$

这些定理都描述了实数完备性的不同方面。读者会注意到，本节中大量使用了上确界性质，它是将实数与有理数区分开来的公理。虽然这些定理对于有理数来说是错误的，但并非所有这些定理都可以替代上确界性质。柯西准则和嵌套区间性质不足以在没有额外假设的情况下蕴含上确界性质，而单调序列收敛定理和博尔扎诺-魏尔施特拉斯性质确实蕴含上确界性质。

上极限和下极限

极限结果证明是分析中一个非常有用的工具，其主要缺点是它们可能并不总是存在。偶尔，对于任何序列，使用某种极限的概念都是有用的。为此，我们引入了上极限（通常简称为“lim sup”）和下极限（通常简称为“lim inf”）。

定义对于一个序列(x_n)，我们定义上极限，记为lim sup，如下所示：

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\inf _{k}\sup _{n\geq k}x_{n}.$

类似地，我们定义下极限，记为lim inf，如下所示：

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\sup _{k}\inf _{n\geq k}x_{n}.$

如果 (x_n) 没有上界，则称 lim sup x_n = ∞。如果 (x_n) 没有界，则称 lim inf x_n = −∞。

注意，对于有界序列，lim sup 和 lim inf 始终存在。我们知道，一般的有界序列并不总存在极限。但当 lim sup 和 lim inf 相等时，情况会变得更简单，如下面的定理所示。

定理（上极限和下极限）

设 (x_n) 为一个有界序列。则 (x_n) → x 当且仅当 lim sup x_n = x = lim inf x_n。

证明

首先假设 (x_n) → x。固定一个 ε > 0，选择一个自然数 N，使得对于任何 n > N，都有 x − ε < x_n < x + ε。因此，对于任何 k > N，我们有

$x-\epsilon \leq \sup _{n>k}x_{n}\leq x+\epsilon$

因此 x − ε < lim sup x_n < x + ε。由于 ε 是任意的，这只有在 lim sup x_n = x 时才会发生。类似的论证表明 lim inf x_n = x。

现在假设 lim inf x_n = x = lim sup x_n，我们希望证明 lim x_n = x。

首先回顾一下，x=lim sup x_n 定义为

$x=\inf _{k}\sup _{n>k}x_{n}$

给定一个 ε > 0，由于我们可以任意接近下确界，因此我们可以选择 N_ls，使得

$\sup _{n>N_{ls}}x_{n}-x<\epsilon$

类似地，回顾一下，x=lim inf x_n 定义为

$x=\sup _{k}\inf _{n>k}x_{n}$

由于我们可以任意接近上确界，因此我们可以选择 N_li，使得

$x-\sup _{n>N_{li}}x_{n}<\epsilon$

设 N = max(N_ls, N_li)。现在如果 n > N，则

$\inf _{n>N_{li}}\leq \inf _{n\geq N}\leq x\leq \sup _{n\geq N}\leq \sup _{n>N_{ls}}$

因此，对于任何 n > N

$x-\sup _{n>N_{ls}}x_{n}\leq x-x_{n}\leq x-\inf _{n>N_{li}}x_{n}.$

根据我们对 N_ls 和 N_li 的选择，这意味着对于任何 n > N

$-\epsilon \leq x-x_{n}\leq \epsilon .\quad \Box$