实分析/第二节习题/提示

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实分析/第二节习题 习题

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这些是维基教科书序列和级数部分的问题列表。这里列出的问题还将包含与泰勒多项式和泰勒级数相关的题目，因为它们具有类似于序列和级数的性质。只有在你对导数有一定的了解时才做这些题目。否则，以下问题不应依赖于其部分之外的太多概念。

未排序

1. 对于以下序列列表，直接根据收敛的定义确定以下序列是否收敛或发散
   1. 序列 $\textstyle ({\frac {n-1}{n}})_{n=2}^{\infty }$;
   2. 序列 $\textstyle ({\frac {{\sqrt {2n-1}}+2}{\sqrt {n+3}}})_{n=1}^{\infty }$;
   3. 序列 $\textstyle \left({\frac {2n-7}{n^{2}+1}}\right)_{n=1}^{\infty }$;
   4. 由以下定义的递归序列

      $x_{0}=2$

      $x_{n}={\sqrt {x_{n-1}}}$

2. 令

   $x_{n}={\begin{cases}{\frac {n-1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\{\frac {1}{n}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$.

   求 lim sup x_n。
3. 对于以下序列，确定对于哪些实数x，给定序列收敛，以及序列收敛到什么值
   1. $\textstyle ({\frac {x}{n}})_{n=1}^{\infty }$;
   2. $\textstyle (x^{n})_{n=1}^{\infty }$;
   3. $\textstyle ({\frac {1}{n^{x}}})$ 对于任意实数x；
4. 给定任何实数c，找到一个递归定义的序列，该序列收敛到 ${\sqrt {c}}$。
5. 给定一个序列 (x_n) 和一个自然数k，定义一个序列y_n，使y_n = x_n+k。证明 (x_n) 收敛当且仅当 (y_n) 收敛。进一步证明当它们收敛时，它们收敛到同一个极限。
6. 假设序列 (x_n) 和 (y_n) 收敛到一个实数a。证明由以下定义的序列 (z_n)

   $z_{n}={\begin{cases}x_{2n-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd;}}\\y_{2n-3}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}$

   证明z_n → a。
7. 设 (x_n) 是一个实数序列，(y_n) 是它的一个子序列。假设 (y_n) 收敛，证明 (x_n) 不一定收敛。
8. 假设 (x_n) 是一个不收敛到 0 的收敛序列。进一步假设对于所有 n ∈ N，x_n ≠ 0。证明存在 δ > 0 使得 |x_n| > δ 且 |lim x_n | > δ。
9. Cesaro 均值收敛：如果平均数序列 y_n = (x₁ + x₂ + … + x_n)/n 收敛到 x，则称序列 (x_n) **按 Cesaro 均值** 收敛到 x。假设 (x_n) 收敛到实数 x，证明 (x_n) 按 Cesaro 均值收敛到 x。给出例子说明发散序列 (x_n) 可能按 Cesaro 均值收敛。
10. 求 (1, 1, -1, 1, 1, -1...) 的 Cesaro 均值序列，并确定它们是否收敛。如果收敛，求极限。
11. 考虑由 x₁ = 1 和 x_n = 1 + 1/x_n 递归定义的序列。证明 x_n 收敛并求其极限。
12. 在我们讨论伸缩级数时，我们证明了一个伸缩级数收敛到 a₁ − lim a_N+1，并且为了使此成立，不必有 lim a_N+1 = 0。事实上，这确实是不必要的。另一方面，我们后来证明了对于一个收敛级数，项的极限必须为 0。这两种说法如何才能都正确？解释为什么，在我们的设置中，我们可能有一个收敛的伸缩级数，使得 lim a_N+1 ≠ 0，但对于每个收敛级数，项的极限仍然为 0。
13. 假设对于所有自然数 n，c_n ≤ a_n ≤ b_n。证明如果 ∑ c_n 和 ∑ b_n 都收敛，那么 ∑ a_n 也收敛。

关于序列

对于以下问题，点击方框将显示一般提示和选择不同类型提示的选项。答案也将显示，但会在点击之前隐藏。每个问题的答案都在单独的页面上，出于技术和心理上的原因。

1. 给定序列 {a_n}，使得 {a_i} = i/i+1，证明 {a_n} 是严格递增的。

问题提示

证明 a_i < a_i+1 对于所有 i 成立，i 是一个自然数。

方法提示 1

使用数学归纳法很容易证明该序列严格递增。

方法提示 2

在数学归纳法中，您可能需要将两边展开。

答案

2. 证明自然数没有上界

问题提示

N 的结果：给定 n，存在 n + 1 > n

方法提示

使用定义和反证法证明自然数不可能存在上界。

泰勒多项式和级数

1. 以下问题不依赖与泰勒多项式相关的任何定理。但是，您应该知道泰勒多项式的定义是什么。
   1. 证明任何泰勒多项式都是连续的。
   2. 证明任何泰勒多项式都是无限可微的。

提示 / 答案

1. 无提示。
2. 无提示。
3. 无提示。
4. 使用牛顿法近似函数 x² − c 的零点。
5. 无提示。
6. 无提示。
7. 无提示。
8. 无提示。
9. 无提示。
10. 无提示。
11. 为了证明序列收敛，证明该序列是有界的并且包含两个单调子序列，它们根据单调收敛定理都收敛，并且它们的差收敛到 0。为了找到极限，对递归关系的两边取极限以找到极限必须满足的方程。
12. 无提示。
13. 仔细观察我们如何定义伸缩和。
14. 尝试将其与通常的比较检验联系起来。