实分析/极限

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实分析 极限

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理解极限的挑战不在于其定义，而在于其执行。成功地完成极限证明，使用 ε-δ 定义，需要同时学习许多不同的概念——其中大多数在之前的数学学习中并不熟悉。本章将作为导航这些证明的指南，因为这里的技巧将在更高的数学中对你大有帮助。

定义

在普通实分析中，极限的定义表示为

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$

一种理解极限定义的方法，也是你可能学过的方法，是：$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$意味着我们可以通过使 x 接近 c 来使 f(x) 尽可能接近 L。然而，在实分析中，你需要对你的定义保持严谨——我们对极限有一个标准定义。

极限的符号实际上是对以下表达式的简写

"ƒ 接近 c 附近极限 L" 的定义

---

给定一个函数 ƒ；一个极限 L；和一个接近值 c，∀ε > 0，∃δ > 0 使得 ∀x，$0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$.

这个定义让很多人感到困扰，但因为它在高等数学中如此基础，所以有许多方法可以帮助巩固这个定义。本章将作为巩固这个定义的行为的指南，并提供对使用这个定义的必要洞察，而练习将帮助你解开谜团，巩固概念，并使你能够正确地执行这个定义。

极限的推论

一个函数在接近无穷大时收敛于极限的图形示例

对于给定的极限，用无穷大的概念工作是非常常见的。然而，无穷大的概念还没有被很好地定义。直观地，我们知道无穷大代表无穷无尽，它被表示为∞。然而，无穷大本身并不是一个数字。如果我们将无穷大像数字一样使用，当前的极限定义就会失败。如果你假设某个极限，其中c = ∞，并且我们使用原始定义，这意味着

$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$  意味着  $\forall M>0:\exists \delta :0<|x-\infty |<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

这显然是无稽之谈！

1. 你不能 "减去无穷大" - 无穷大既不是一个数字，也不是一个真正的变量。
2. 无穷大不能被限制，但通过将无穷大放在$|a-b|<x$ 格式中，它意味着有界。

所以，需要重新编写定义，这在下面的图表中完成。当 x 接近正无穷大或负无穷大时，或者当 ƒ(x) 收敛于正无穷大或负无穷大时，定义如下

注意
是的，逼近 和 收敛 的区别很重要。您可以将其视为分别引用 Δ 或 ε。

ε-δ 定义的变体

符号	公式
$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies f(x)<-N$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=L$	$\forall \epsilon >0:\exists M:x>M\implies |f(x)-L|<\epsilon$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=L$	$\forall \epsilon >0:\exists M:x<-M\implies |f(x)-L|<\epsilon$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists M:x>M\implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists M:x>M\implies f(x)<-N$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty$	$\forall N>0:\exists M:x<-M\implies f(x)>N$
$\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$	$\forall N>0:\exists M:x<-M\implies f(x)<-N$

请注意以下变量

1. N 通常表示无穷大极限，类似于 ε。
2. M 通常表示无穷大极限，类似于 δ。

我们只使用大写 N 和 M，因为 ε 和 δ 的含义是它们是小的数字。大写 N 和 M 则具有相反的含义。

概念化

极限的概念：当一个点 x 处于 c 的 δ 单位内时，f(x) 处于 L 的 ε 单位内。

1. 对于所有 ε，只有 ε 变量将用于推导出 δ。

   这个强有力的说法基本上说明了 δ 与 ε 的关系。为了暂时避免严格的数学语言，可以将 δ 想象成一个输出 ε 的函数。这实际上很重要，因为δ 和 ε 都不能包含变量，例如 x，作为其公式的一部分。

2. ε 和 δ 应该代表边界。

   因此存在绝对值符号。它们在数学上等同于写 $-\delta <x-c<\delta$ 和 $-\epsilon <f(x)-L<\epsilon$，这更能体现出它们的边界性质。

3. 这个极限定义旨在忽略 f(c) 的值，以及 c 是否在 ƒ 的定义域内。

   要求 $|x-c|>0$ 为研究微积分提供了吸引力，因为它消除了分析该点行为的技术性（通常该点本身是未定义的）。它是从数学角度实现了一个想法，即一个函数在某个点附近的行为不应该受到其在该点处的行为的影响。因此，f(x) 不需要在 c 处定义即可在该处有极限。

属性

鉴于极限是微积分的基本概念，因此应该合理地预期极限应该具有一些引人入胜的属性，既可以保证分析，也可以成为初等数学、应用数学和高等数学中必不可少的数学主题。

唯一性

一个极限是唯一的，也就是说，如果输入相同，则始终只有一个答案。这通常被重新表述为“一个函数不能在c处趋近于两个不同的极限”。极限具有唯一的答案非常重要，因为如果它们没有，那么极限的使用将变得如此复杂，以至于它将变得不可用。

定理

---

假设一个函数 ƒ，当 x 趋近于 c 时，其极限收敛于 L。如果 ƒ 在趋近于 c 时的极限也收敛于 M，则 L = M

代数运算

如果 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，并且 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)=M$，则

极限的代数运算列表

名称	意义
加法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
减法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)-g(x)}=L-M$
加法	$\lim _{x\rightarrow c}af(x)=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}f(x)=aL$
乘法	$\lim _{x\rightarrow c}{f(x)\cdot g(x)}=L\cdot M$
倒数	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$	假设 $M$ 和 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 都非零。
除法	$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L}{M}}$	假设 $M$ 和 $\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 都非零。

通过应用相应的序列极限定理，我们发现函数极限是唯一的——它们保留了代数运算和排序——并且相应的“夹逼定理”成立。

• 如果 $\exists \delta :f(x)>g(x)\forall x\in A$，则 $L>M$。

• $L=M,f(x)\leq h(x)\leq g(x)\implies \lim _{x\rightarrow c}h(x)=L$

• 如果 L = 0 且 h(x) 有界，则 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)h(x)=0$。

证明

对于各种运算，以下证明可能需要更多或更少的代数不等式操作知识。

加法

在所有运算中，加法运算的证明是最简单的，因为它依赖于最少的代数不等式。

极限加法证明

假设当 x 趋近于 c 时，两个函数 ƒ 和 g 的极限。方程如下。	$|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-L|<\epsilon _{1}$ $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-M|<\epsilon _{2}$
由于两个 ε-δ 描述都引用了 |x - c| 中的相同变量 x 和 c，我们可以通过 min 函数，确保在两个不等式中都使用最小的界限（因为界限范围对两者都成立），将两个方程结合起来。	$|x-c|<\delta _{1}{\text{ and }}|x-c|<\delta _{2}\implies$ $|x-c|<\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})$
由于对 δ 的约束，前一个表达式，根据我们的陈述它是一个极限的定义，必须暗示 ε 表达式。然而，由于前一个表达式包含了两个 ε，现在它同时暗示了两个 ε。	$|x-c|<\delta =min(\delta _{1},\delta _{2})\implies$ $|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}$
同样，鉴于整个 δ 表达式是共享的，因此可以用相同的 ε 来约束两个函数 ƒ 和 g 的 ε 值。具体来说，是 ε 的一半，比你想象的小。	$|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}\implies$ $|f(x)-L|<{\frac {\epsilon }{2}}{\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2}}$
我们不能像对 δ 不等式那样强制将 ε 不等式合并在一起，因为绝对符号中的变量不同，因此不代表相同的变量。但是，我们知道 a + c < b + d (问题 1.II) 并且 |x + y| ≤ |x| + |y| (问题 1.I)，因此我们可以将这两个 ε 不等式合并起来，形成	$|f(x)-L|<{\frac {\epsilon }{2}}{\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2}}\implies$ ${\begin{aligned}|f(x)-L|+|g(x)-M|&<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\\|f(x)-L+g(x)-M|&<\epsilon \\|(f(x)+g(x))-(L+M)|&<\epsilon \end{aligned}}$
最终的表述可以用极限符号表示为	$|x-c|<\delta \implies |(f(x)+g(x))-(L+M)|<\epsilon$ ${\text{ means }}\lim _{x\rightarrow c}{f(x)+g(x)}=L+M$
$\blacksquare$

减法

减法通过设想一个函数 *h* 为函数 *g* 的负函数来证明。换句话说，在证明中将函数 *g* 想象成一个负函数的变量。

$\blacksquare$

乘法

在这些运算中，乘法的证明最为复杂，因为它依赖于最多的不等式代数运算。它还需要一个看似人为的引理来运作。我们先从证明引理开始，它仅仅是关于不等式的代数关系，类似于二项式定理将项的求和与乘积联系起来。

引理证明

引理指出	${\text{If }}|a-c|<\min \left(1,{\frac {x}{2(|d|+1)}}\right){\text{ and }}|b-d|<{\frac {x}{2(|c|+1)}}$ ${\text{then }}|ab-cd|<x$, 对于任何数 *a*, *b*, *c* 和 *d*；以及 *x* > 0。
第一步是将 min 函数分解成两种情况。	$|a|<1+|c|$ 以及 $|a-c|<{\frac {x}{2(|d|+1)}}$
然后，将主函数改写成允许代入的形式。	${\begin{aligned}|ab-cd|&=|a(b-d)+d(a-c)|\\&\leq |a||b-d|+|d||a-c|\\&<(1+|c|)\cdot {\frac {x}{2(|c|+1)}}+|d|\cdot {\frac {x}{2(|d|+1)}}\\&<{\frac {x}{2}}+{\frac {|d|}{|d|+1}}\cdot {\frac {x}{2}}\\&<{\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}\\&<x\end{aligned}}$
$\blacksquare$

正如您所见，引理本身描述了数字之间一个简单易证且有效的，但非常人为且不自然的關係。但这种关系非常适合盲目地应用于极限，因为输入的任何 a、b、c 和 d 值（即使是 0）都有效，而 x > 0 也是与 ε 变量相匹配的条件。

正如您将在下面看到的，我们将把这个引理应用于乘法。

极限乘法证明

假设当 x 趋近于 c 时，两个函数 ƒ 和 g 的极限。方程如下。	$|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-L|<\epsilon _{1}$ $|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-M|<\epsilon _{2}$
由于两个 ε-δ 描述都引用了 |x - c| 中的相同变量 x 和 c，我们可以通过 min 函数，确保在两个不等式中都使用最小的界限（因为界限范围对两者都成立），将两个方程结合起来。	$|x-c|<\delta _{1}{\text{ and }}|x-c|<\delta _{2}\implies$ $|x-c|<\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$
现在，假设 ε 等于以下公式，您可以看到 ε 本质上是数值的，因此原始函数没有关系（这很好），并且它们现在具有与前面证明的引理相同的形式和条件（提醒一下，f 和 g 极限的 ε 值不必等于 ε，但最终结果应该相同）。	$|f(x)-L|<\min \left(1,{\frac {\epsilon }{2(|M|+1)}}\right){\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2(|L|+1)}}$ $\because |x-c|<\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})\implies$ $|f(x)-L|<\epsilon _{1}{\text{ and }}|g(x)-M|<\epsilon _{2}$
因此，您可以应用引理来声明该关系已被证明。	$|f(x)-L|<\min \left(1,{\frac {\epsilon }{2(|M|+1)}}\right){\text{ and }}|g(x)-M|<{\frac {\epsilon }{2(|L|+1)}}$ $\implies |(f(x)g(x)-LM|<\epsilon$ ${\text{which means }}\lim _{x\rightarrow c}{f(x)g(x)}=LM$
$\blacksquare$

加法

某个函数 f 的倍数的证明从乘法的证明得出。然而，它依赖于常数极限的证明。由于这些证明依赖于两个先前的证明，而这两个证明是稳健的（它们考虑了诸如 0 之类的东西），因此这个证明也一样稳健，即使在 a = 0 时也能工作。

极限倍数证明

给定一个函数 f 和一个常数 a，极限可以首先使用极限的倍数进行简化，然后使用常数函数的极限。	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow c}{(a\cdot f(x))}&=\lim _{x\rightarrow c}{a}\cdot \lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\\&=a\cdot \lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\end{aligned}}$
$\blacksquare$

倒数

在所有运算中，倒数的证明与乘法的证明类似。它也需要看似人为的数学表达式之间的关系才能起作用，并依赖于以下论点：确保ε和δ有界性的公式或概念的定义，才是有效的极限的定义。总之，让我们从“人为关系”开始。

引理证明

引理指出	${\text{If }}b\neq 0{\text{ and }}|a-b|<\min \left({\frac {|b|}{2}},{\frac {x|b|^{2}}{2}}\right)$ ${\text{then }}a\neq 0{\text{ and }}\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|<x$, 对于任何数字 *a* 和 *b*。
第一步是将min函数分解为两种情况。第一种情况可以简化为以下形式。	${\begin{aligned}|a-b|&<{\frac {|b|}{2}}\\|b|-|a|\leq |b-a|=|a-b|&<{\frac {|b|}{2}}\\{\frac {|b|}{2}}-|a|&<0\\{\frac {|b|}{2}}&<|a|\end{aligned}}$
断言 *a* 不等于 0 (*a* ≠ 0)，则可以对不等式断言倒数定义	${\begin{aligned}{\frac {|b|}{2}}&<|a|\\{\frac {|b|}{2|a|}}&<1\\{\frac {1}{|a|}}&<{\frac {2}{|b|}}\end{aligned}}$
回到最终目标不等式，我们现在将应用第二种情况和我们刚刚推导出的结论来达到我们的结论。	${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}\right|&=\left|{\frac {b-a}{ab}}\right|\\&={\frac {|b-a|}{|ab|}}\\&={\frac {1}{|a|}}\cdot {\frac {|b-a|}{|b|}}\\&<{\frac {2}{|b|}}\cdot {\frac {x|b|^{2}}{2|b|}}\\&<x\end{aligned}}$
$\blacksquare$

如你所见，引理本身描述了数字之间一个简单易证且**有效**的关系，尽管它看起来很牵强且不自然。但这种关系非常适合盲目地应用于极限，因为任何输入的 a 和 b 值（不包括 0）都适用，而 x > 0 的条件与 ε 变量相匹配。

正如你将在下面看到的，我们将把这个引理应用于倒数。注意，证明是一个简单的断言语句。

倒数极限的证明

给定一个函数 ƒ 的倒数的极限，我们可以断言 ε 的关系与前面表格中证明的引理相似。由此，你可以得出相同的结论。	$0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$ ${\text{Assert }}\epsilon =\min \left({\frac {|L|}{2}},{\frac {\epsilon |L|^{2}}{2}}\right)$ $|f(x)-L|<\min \left({\frac {|b|}{2}},{\frac {x|b|^{2}}{2}}\right)\implies \left|{\frac {1}{f(x)}}-{\frac {1}{L}}\right|<\epsilon$
$\blacksquare$

除法

函数 ƒ 除以 g 的证明是基于乘法极限和倒数极限证明的推论。

极限除法的证明

给定函数 ƒ 和 g，极限可以表示为分母与分子倒数的乘积。由此，结果如所示。	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow c}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=\lim _{x\rightarrow c}{f(x)}\cdot \lim _{x\rightarrow c}{\frac {1}{g(x)}}\\&=L\cdot {\frac {1}{M}}\\&={\frac {L}{M}}\end{aligned}}$
$\blacksquare$

与往常一样，这个证明有一个明显的限制，即 *M* 不能为 0。

函数的极限

在这里，我们将证明你可能会经常看到的许多函数的答案。与往常一样，下面提供了以下表格以供快速回忆。

极限的代数运算列表

名称	意义
常数	$\lim _{x\rightarrow c}{a}=a$
线性	$\lim _{x\rightarrow c}{z}=c$

注意，对于线性函数，我们使用 *z* 代替通常的 *x*，因为变量名 *x* 已经定义并被极限符号使用。

序列的极限

注意
以下标题需要了解 序列。

考虑序列 $(x_{n})=({\frac {1}{n}}),(y_{n}=({\frac {-1}{n}})$。它们都收敛于零，但 $(f(x_{n}))=1$ 和 $(f(y_{n}))=0$，并且当 $n\rightarrow \infty$ 时，它们的极限不同。因此极限不存在。

间断点的极限

注意
以下标题需要了解 连续性。

我们将在关于连续性的部分中给出更多示例。虽然间断性在使用连续性时更重要（在 下一章 中介绍），但间断性的定义实际上是根据极限定义的。

点间断

点间断的一个例子是函数

示例 1

$f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x=0\\0&{\mbox{if }}x\not =0\\\end{cases}}$

示例 2

$g(x)={\frac {x(x-1)}{x-1}}$

对于以下函数，

示例 1

$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$

示例 2

$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)=1$

证明如下

跳跃间断

• 设 $f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x\leq 0\\1&{\mbox{if }}x>0\\\end{cases}}$。那么 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$ 不存在。

不寻常函数的极限

这里许多示例可能看起来有点牵强，甚至证明也相当难看，但如果操作正确，这些示例（以及相关的练习）将不仅巩固极限证明的方法，还会让你理解数学如何利用验证过的定理和行为来解决一些看似无解的问题。

我们的第一个例子，通常被用作展示函数可以有多么糟糕（以及定义可以带你走多远）的演示，是

$f(x)={\begin{cases}1/q&{\mbox{if }}x{\text{ is rational, and thus }}x=p/q\\0&{\mbox{else}}\\\end{cases}},\forall x\in (0,1)$

对于函数 ƒ，$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=0$，对于域中的所有数字都成立。是的，真的。

理解这个陈述证明的第一步是停止将极限和连续性想象成一样的——也就是说，如果这个问题的第一步是想象这个函数的图形，然后在某种程度上放大，直到可以从图形上推导出答案。如果你是这样思考如何解决这个问题的，不要感到沮丧；这种方法是对初等数学中常用的极限的简化解释，因此无论如何你都会对此感到熟悉。

这个证明展示了一种通过操作定理而不是操作数字或变量来形成epsilon-delta模型的数学证明方法，而epsilon-delta模型反过来意味着极限的有效性；极限的存在。它还展示了极限证明实际上是尝试使用有效定理将两个易于操作的不等式联系在一起的练习。

极限等于 0 的证明

通过验证（通过推导）每个方面来断言极限的定义是有效的。首先，我们可以假设 ε > 0，因为它在极限定义中也是假设的。我们还可以使用逼近的数字 c、极限 l 和函数 ƒ。从这里，我们将根据 epsilon 赋值另一个变量 n，如相邻列所示。	$n>{1}/{\epsilon }\implies \epsilon >1/n$
现在，假设集合 S 由所有大于 0、小于 1 且分母不能超过 n 的有理数组成。这些要求通常被描述为左侧的集合（尽管这个特定的描述更像是用于举例说明一个元素不能彼此相等的集合）。 另外，我们将添加一个条件，即如果 c 是一个有理数，那么它也不会在这个集合中。这个条件的解释将在后面给出。	$S=\left\{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}},...,{\frac {1}{n}},...,{\frac {n-1}{n}}\right\}\backslash \{c\}$
从这里可以明显看出，这个集合是有限的，因为集合 S 的定义是枚举定义（它在数学上被证明，因为这个集合是通过分子、分母以及分子和分母的组合来限定的）。这个集合，因为它是一个集合，也包含一个独特的数字列表。从这里，你可以找到一个具有以下属性的数字 k。换句话说，你可以找到最小的距离。	$\exists k\in S:|k-c|{\text{ is minimized}}$
我们将定义变量 δ 为以下内容。这意味着以下关系。 从这里，你可以看到为什么这个集合不能包含变量 c。如果它在那里，delta 关系就会被破坏，从而破坏我们的证明。因此，我们把它从游戏中移除，实际上，我们总是会有一些非零的 δ。	$\delta =|k-c|\implies 0<|x-c|<|k-c|=\delta$
这个定义的结果不仅仅是 x 必须小于 k。如果 x 是无理数，那么通过代理变量 n 从 epsilon 值中推导出 delta 的方法是有效的，并且以下极限解释也是有效的。	$0<|x-c|<|k-c|=\delta \implies |f(x)-0|=0<\epsilon$ 和 $\epsilon >1/n$
同样，如果 x 是有理数，那么 x 按照定义不能是集合 S 的成员，因此意味着通过代理变量 n 从 epsilon 值中推导出 delta 的方法是有效的，并且以下极限解释也是有效的。	$0<|x-c|<|k-c|=\delta \implies |f(x)-0|<\epsilon$ 和 $\epsilon >1/n$
$\blacksquare$

下一个类似的例子是

注意
这个函数在其定义域的任何点上也是不连续的。

$g(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Q} \\0&{\mbox{else}}\\\end{cases}}$

对于函数 *g*，$\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ 对于任何 $c\in \mathbb {R}$ 都不存在。

给定 $x\in R$，令 $x_{n}$ 是区间 $({\frac {-1}{n}},{\frac {1}{n}})$ 中的任何有理数，并令 $y_{n}$ 是同一个区间 ($x_{n}$ 和 $y_{n}$ 中的任何无理数（有理数和无理数的稠密性保证了 $x_{n}$ 和 $y_{n}$ 的存在）。给定任何 $\epsilon >0,|x_{n}-0|<{\frac {1}{n}}$ 和 $|y_{n}-0|<{\frac {1}{n}}$，所以 $(x_{n}),(y_{n})\rightarrow 0$。然而，(g(x_n)) = 1 且 (g(y_n)) = 0，因此它们的极限分别为 1 和 0。由于它们不相等，$\lim _{y\rightarrow x}g(y)$ 不存在。

附录

在本节中，我们将进一步探讨极限相关的主题。首先，我们将回顾函数的本质。请记住，从集合 X 到集合 Y 的函数是一个映射 $f:X\rightarrow Y$，使得对于每个 $x\in X$，f(x) 都是 Y 中唯一的元素。在分析中，我们通常讨论从实数子集 $A\subseteq \mathbb {R}$ 到 $\mathbb {R}$ 的函数。

函数极限的定义与序列极限的定义非常相似。事实上，正如我们将在后面看到的那样，可以使用序列极限来定义函数极限。然而，现在让我们重新评估给定一个广义函数的函数 ƒ 的极限定义。

给定一个子集 $A\subset \mathbb {R}$ 和一个函数 $f:A\rightarrow \mathbb {R}$，我们说 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，如果 $\forall \epsilon >0:\exists \delta :0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\epsilon$

序列极限

思考实数建立在自然数和其他数的基础上（正如我们在本维基教科书中对数的结构划分）的一个有趣的结论是，极限的定义，我们一直在使用实数版本的定义来处理实函数，可以从序列极限推导出来，而不是作为公理，就像这样

给定一个子集 $A\subset \mathbb {R}$ 和一个函数 $f:A\rightarrow \mathbb {R}$，我们说 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=L$，如果对于每个 $\forall (x_{n})_{n=1}^{\infty }$，满足 $x_{n}\not =c,\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n})=c$，并且 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))=L$

请注意，要求 $x_{n}\not =c$ 等同于要求 $|x-c|>0$。

为了检验你的理解，请证明这两个定义是等价的。请注意，取逆否命题可以得到一个很好的判定函数是否发散的准则。

如果 $\exists (x_{n}),(y_{n}):(x_{n})\rightarrow c,(y_{n})\rightarrow c$，并且 $\lim _{n\rightarrow \infty }(f(x_{n}))\not =\lim _{n\rightarrow \infty }(f(y_{n}))$，那么 $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ 不存在。

任意度量空间上的定义

设 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 是度量空间。设 $f:X\to Y$

当 $x\in X$ 趋近于 $a\in X$ 时，$f$ 的极限等于 $L\in Y$，如果 $\forall \epsilon >0{\text{ }}\exists \delta {\text{ such that if }}0<d_{1}(x,a)<\delta {\text{, }}d_{2}(f(x),L)<\epsilon$

这记为 $\lim _{x\to a}f=L$