实分析/序列

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实分析 序列

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定义

序列在分析中经常出现，并且出现在许多环境中。虽然我们都熟悉序列，但有一个正式的定义是有用的。

**定义** 实数的*序列*是任何函数 *a* : **N**→**R**。

通常，这样的序列被称为*实数序列*、*实数序列*或*在**R** 中的序列*，以明确表明序列的元素是实数。对于自然数、整数等的序列可以给出类似的定义。

给定一个序列 ( *x*_n )，一个*子序列*，记为 $(x_{n_{j}})_{j=1}^{\infty }$，是一个序列，其中 ( *n*_j ) 是严格递增的自然数序列。

例如，取 *n*_j=2*j* 将是包含原始序列中所有其他元素的子序列，即 ( *x*₂, *x*₄, *x*₆, …)。

序列符号

但是，我们通常将 *a*_n 写为 *n* 在 *a* 下的像，而不是 *a*(*n*)。值 *a*_n 通常被称为序列的*元素*。为了区分序列和它的某个值，通常用 $(a_{n})_{n=1}^{\infty }$ 来表示整个序列，或者只是 ( *a*_*n* )。有些人使用集合符号并将其表示为 { *a*_*n* } 当指定特定序列时，它可以写成 ( *a*_*1*, *a*_*2*, *a*_*3*, …) 的形式，当序列是无限的，或 ( *a*_*1*, *a*_*2*, …, *a*_*n* ) 当序列是有限的。我们倾向于只离散地写下足够多的元素以使模式清晰，这通常是 3 次。

序列示例

(1, 2, 3, 4, …)、(1, -2, 3, -4, …) 和 (1, π, π², π³, π⁴, …) 都是序列的例子。但是，请注意，序列的元素不必具有任何特定的模式。例如，我们可以将 *a*_*n* 指定为 π 的第 *n* 位数字。通常，序列是递归定义的。也就是说，指定序列的某些初始值，然后指定如何从前面的元素获得序列的下一个元素。例如，考虑序列 *x*₁=1，*x*₂=1，以及 *x*_*n* = *x*_*n*−1 + *x*_*n*−2 对于 *n* ≥ 3。此序列称为斐波那契数列，其前几项由 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) 给出。牛顿法是递归序列的另一个常见例子。对于函数零的初始猜测 *x*₀，牛顿法告诉您如何构造下一个猜测。这样您就生成了一个（希望）收敛到函数零的序列。

序列运算

我们也可以对序列进行代数运算。换句话说，我们可以加、减、乘、除序列。这些运算只是逐元素执行的，为了完整性，我们给出定义。

**定义** 给定两个序列 ( *x*_n ) 和 ( *y*_n ) 以及一个实数 *c*，我们定义以下运算

序列运算符

运算符	定义	属性
加法	( *x*n ) + ( *y*n )	( *x*n + *y*n )
减法	( *x*n ) − ( *y*n )	( *x*n − *y*n )
乘法	( *x*n ) ⋅ ( *y*n )	( *x*n ⋅ *y*n )
除法	( *x*n ) ⁄ ( *y*n )	( *x*n / *y*n )，如果 *y*n ≠ 0 对于 **N** 中的所有 *n*
标量	*c* ⋅ ( *x*n )	( *c* ⋅ *x*n )

序列分类

一些序列的性质非常重要，以至于它们被赋予了特殊的名称。

不同类型的单调序列

定义	属性
严格递增	如果 *a**n* < *a**n*+1 对于 **N** 中的所有 *n*
非递减	如果 *a**n* ≤ *a**n*+1 对于 **N** 中的所有 *n*
严格递减	如果 *a**n* > *a**n*+1 对于 **N** 中的所有 *n*
非递增	如果 *a**n* ≥ *a**n*+1 对于 **N** 中的所有 *n*
定义	属性
单调	如果它满足 **N** 中所有 *n* 的上述任何定义
严格单调	如果它是严格递增或严格递减的；

单调性的可视示例

• 
  单调非递减函数的示例
• 
  单调非递增函数的示例
• 
  非单调函数的示例

其中一些术语以*严格*为前缀，因为术语*递增*在某些情况下意味着严格递增或非递减，类似地*递减*可以意味着与严格递减或非递增相同。因此，这些模棱两可的术语通常以*严格*为前缀。我们将尝试坚持使用这个明确的术语。

从这里开始，我们也将描述基于*有界性*的序列性质，这个词将在下面为序列定义。

不同类型的有界性

定义	属性
上界	如果存在 R 中的 M 使得对于所有 N 中的 n，an<M。
下界	如果存在 R 中的 M 使得对于所有 N 中的 n，an>M。
有界	如果序列同时是*上界*和*下界*。
柯西	如果对于所有 ε>0，都存在一个自然数 N，使得对于所有 n, m > N，有 |am-an| < ε。

收敛和极限

序列的另一个重要性质（从分析的角度来看，也许是最重要的性质）是收敛性。这个性质可以通过扩展 ε-δ 定义来轻松描述。然而，由于序列与计数数有关，因此存在一种额外的想象收敛的方式。这两种方法都在下面描述。

定义 令 (x_n) 是实数序列。序列 (x_n) 被认为*收敛*到实数 a。

如果对于所有 ε>0，都存在 N 中的 N 使得对于所有 n≥N，有 |x_n-a|<ε。

如果 (x_n) 收敛到 a，那么我们说 a 是 (x_n) 的*极限*，并写成

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

或者

$x_{n}\to a$ 当 $n\to \infty$.

这读作 x_n 趋近于 a 当 n 趋近于 ∞。如果变量 n 的作用很明显，则可以简化为 x_n→a 或者 lim x_n=a。

如果一个序列收敛，那么它被称为*收敛*的。

扩展这个概念并允许极限为 ∞ 或 −∞ 的序列也很有用

定义 我们说 x_n→∞ 当 n→∞ 时，如果对于 R 中的每个 M，都存在一个自然数 N，使得对于所有 n≥N，有 x_n≥ M。我们说 x_n→−∞ 当 n→∞ 时，如果对于 R 中的每个 M，都存在一个自然数 N，使得对于所有 n≥N，有 x_n≤ M。

尽管如此，我们并不将此类序列称为收敛。它们被称为*发散*。

虽然可以使用 ε-δ 定义来证明收敛，但另一种证明序列收敛的方法是通过数学归纳法，因为序列使用计数数进行引用。通过这种方法，一些定理更容易证明。但是，使用数学归纳法的证明不能像使用 ε-δ 的证明那样推广到实数。

以下定理将证明收敛序列的变化形式（通过归纳符号、极限符号或柯西符号表示）收敛到同一个数。这在直觉上似乎很明显，但请记住，在极限问题上，直觉往往会欺骗我们。严格证明呈现给我们的每一个数学概念也是正确的数学风格。

定理（极限的唯一性）

一个序列最多只能有一个极限。换句话说：如果 x_n → a 且 x_n → b，那么 a = b。

证明

假设序列有两个不同的极限，所以 a≠b。令 ε=|a−b|/3。

显然 ε>0，使用两次收敛定义，我们可以找到自然数 N_a 和 N_b，使得

$|x_{n}-a|\leq \epsilon$ 对于所有 n > N_a。

和

$|x_{n}-b|\leq \epsilon$ 对于所有 n > N_b。

取 k=max(N_a,N_b)，那么这两个条件都对 x_k 成立。因此，我们得出 |x_k−a|≤ε 且 |x_k−b|≤ε。应用三角不等式，我们看到

$|a-b|=|(x_{k}-b)-(x_{k}-a)|\leq 2\epsilon =(2/3)|a-b|,$

这是一个矛盾。因此，任何序列最多只能有一个极限。$\Box$

定理（收敛序列是有界的）

如果子序列 $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ 是一个收敛序列，那么它是有界的。

证明

设 $a=\lim _{n\to \infty }x_{n}$，并令 ε = 1。

根据 收敛定义，存在自然数 N 使得

$|x_{n}-a|\leq 1$ 对于所有 n ≥ N。

序列 $(x_{n})_{n=N+1}^{\infty }$ 上界为 a+1，下界为 a−1。令 M = max(|x₁|,|x₂|,|x₃|,…,|x_N|, |a|+1)。因此 −M ≤ x_n ≤ M 对于所有 n ∈ N。因此该序列是有界的。 $\Box$

定理 (柯西序列的有界性)

如果 $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ 是一个柯西序列，那么它是有界的。

证明

设 (x_n) 为一个柯西序列。根据柯西序列的定义，存在自然数 N 使得 |x_n−x_m|<1 对于所有 n,m > N。特别是，|x_N+1−x_m|<1 对于所有 m > N。由反三角不等式得出 |x_m| < |x_N+1| + 1。如果令 M=max(|x₁|, |x₂|, …, |x_N|, |x_N+1| + 1)，那么 |x_n| ≤ M 对于所有 n ∈ N。 $\Box$

以下定理告诉我们，序列的代数运算与求极限运算可以互换。这个简单的定理是计算极限的有用工具。

序列的性质

鉴于我们对收敛的新定义，我们应该确保能够对从这些序列中获得的值进行代数运算，并且我们是否也能够对收敛序列应用代数直觉。

代数运算

如果 (x_n) 和 (y_n) 是收敛序列，并且 a ∈ R，则以下性质成立

1. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})$.
2. $\lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)$.
3. $\lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})$.
4. $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}$ (假设对于所有 n∈N，y_n ≠ 0 且 lim y_n ≠ 0)。
5. 如果对于每个 n∈N，x_n ≤ y_n，那么 $\lim _{n\to \infty }x_{n}\leq \lim _{n\to \infty }y_{n}$.

证明

1. 令 x=lim x_n 和 y=lim y_n。我们需要证明对于任何 ε>0，都存在自然数 N，使得如果 n≥ N，则 |(x_n + y_n) − (x + y)|≤ε。给定任何 ε>0，我们有 ε/3>0，所以根据 收敛的定义，存在一个自然数 N_x，使得对于所有 n>N_x，|x_n−x|≤ε/3，类似地，我们可以选择 N_y 使得对于所有 n>N_y，|y_n−y|≤ε/3。

令 N=max(N_x ,N_y)。如果 n>N，那么根据三角不等式，我们有

$|(x_{n}+y_{n})-(x+y)|=|(x_{n}-x)+(y_{n}-y)|\leq \epsilon /3+\epsilon /3<\epsilon ,$

这就是我们需要证明的。 $\Box$

2. 令 x=lim x_n 和 y=lim y_n。由于这些序列是收敛的，所以它们是有界的。令 M_x 为 (x_n) 的界，令 M_y 为 (y_n) 的界。通过必要时增加这些数量，我们也可以假设 M_x > x 且 M_y > y。给定 ε>0，存在一些 N_x 和 N_y 使得

$|x_{n}-x|<{\epsilon \over 2M_{y}}$ 对于 n > N_x 且

$|y_{n}-y|<{\epsilon \over 2M_{x}}$ 对于 n > N_y。

那么对于每个 n > max(N_x, N_y)，

$|x_{n}y_{n}-xy|\,$	$=|(x_{n}-x)y_{n}+x(y_{n}-y)|\,$
	$\leq |x_{n}-x|M_{y}+M_{x}|y_{n}-y|$
	$\leq {\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\leq \epsilon .$

$\Box$

3. 令 y_n = a 对于所有 n ∈ N。现在该陈述由 2. 推出。 $\Box$

4. 我们可以将此问题简化为证明 lim (1/y_n) 存在且等于 1/(lim y_n)。然后由 2. 我们有

$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)=\left(\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}\right)\left(\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}.$

令 y=lim y_n。根据习题，由于 y 和 y_n 不为 0，我们可以找到 δ > 0 使得 |y_n| > δ 且 |y| > δ。由此得出 1/|y_ny|<1/δ²。给定 ε > 0 选择 n ∈ N 使得 |y_n − y| < δ²ε。我们有

$\left|{1 \over y_{n}}-{1 \over y}\right|=|y-y_{n}|{1 \over |y_{n}y|}\leq {\frac {|y-y_{n}|}{\delta ^{2}}}<\epsilon$.

因此，$\lim _{n\to \infty }{1 \over y_{n}}={1 \over y}.$ $\Box$

5. 我们首先可以简化为一个序列恒等于 0 的情况。为了证明这一点，令 z_n = x_n − y_n。然后对于所有 n ∈ N，z_n < 0。令 z = lim z_n。假设 z > 0，那么我们可以找到一个自然数 N 使得

$|z-z_{N}|<z\,$.

由于 z_N ≤ 0 < z，绝对值等于 z − z_N。减去 z 我们发现 −z_N < 0。因此 z_N 为正数。矛盾。因此，我们必须有 z ≤ 0。这意味着根据 1. 我们得到

$\lim _{n\to \infty }x_{n}-\lim _{n\to \infty }y_{n}=\lim _{n\to \infty }z_{n}=z\leq 0.$

因此 lim x_n ≤ lim y_n $\square$

定理 (夹逼定理)

这是重要的夹逼定理，它是极限的基石。由于收敛序列也可以通过极限概念和符号来思考，因此如果这个重要定理也适用于收敛序列，那么它应该是明智的。

给定序列 (x_n)、(y_n) 和 (w_n)，如果 (x_n) 和 (y_n) 收敛于 a 且 x_n ≤ w_n ≤ y_n，则 w_n 收敛于 a。

证明

固定 ε > 0。我们需要找到一个 N 使得如果 n > N，则 |w_n − a| < ε。由于 (x_n) → a 且 (y_n) → a，收敛定义 确保存在整数 N_x 和 N_y 使得对于 n > N_x，|x_n − a| < ε，对于 n > N_y，|y_n − a| < ε。

令N=max(N_x, N_y)。 那么，对于所有的n > N，我们有 −ε < x_n − a 和 y_n − a < ε。 由于 x_n < w_n < y_n，因此 x_n − a < w_n − a < y_n − a。

因此，如果 n ≥ N，那么 −ε < x_n − a < w_n − a < y_n − a < ε。 换句话说，|w_n − a| < ε。$\Box$

完备性

以下结果与实数的完备性密切相关。

定理（单调序列的收敛性）

任何单调有界序列都收敛。 如果序列是单调不减的，那么序列收敛到序列元素的上确界。 如果序列是单调不增的，那么序列收敛到序列元素的下确界。

证明

设(x_n)为任何以实数M为界的单调序列。 不失一般性，假设(x_n)是单调不减的。 由于(x_n)在上方有界，根据上确界公理，它有一个上确界。 令x = sup {x_n | n ∈ N}。 我们现在将证明(x_n) → x。

固定ε > 0。 如练习中所述，如果s = sup(A)，那么对于任何ε > 0，在A中存在一个元素a，使得s − ε < a < s。 因此，存在一个N在N中，使得x − ε < x_N < x。

对于任何n > N，由于x_n是单调不减的，我们有

$x-\epsilon <x_{N}\leq x_{n}<x$.

因此 |x − x_n| < ε，根据收敛定义，(x_n)收敛到x。 $\Box$

定理（嵌套区间性质）

如果存在闭区间序列I_n = [a_n, b_n] = {x | a_n ≤ x ≤ b_n}，使得I_n+1 ⊆ I_n 对于所有n，那么∩I_n 非空。

证明

由于 I_n+1 ⊆ I_n，因此 a_n ≤ a_n+1 和 b_n+1 ≤ b_n。

由于(a_n)和(b_n)是单调序列，根据前一个定理，它们收敛。 此外，由于 a_n < b_n 对于所有n，因此 lim a_n ≤ lim b_n 。

根据(a_n)和(b_n)的单调性，对于每个n，我们有

$a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}\leq b_{n}.$

因此 lim a_n ∈ [a_n, b_n] 对于每个n，这意味着

$\lim _{n\to \infty }a_{n}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }I_{n}.$

因此，交集非空。 $\Box$

定理（博尔扎诺-魏尔斯特拉斯）

任何有界实数序列都包含一个收敛子序列。

证明

设(x_n)为一个以实数M为界的实数序列，即 |x_n| < M 对于所有n。 我们定义集合A为 A = {r | |r| ≤ M 且 r < x_n 对于无穷多个n}。 我们注意到A非空，因为它包含-M，A在上方以M为界。 令x = sup A。

我们断言，对于任意 ε > 0，在区间 (x − ε, x + ε) 内必须有无限多个点 x_n。假设不是这样，并固定一个 ε > 0，使得在区间 (x − ε, x + ε) 内只有有限多个 x_n 的值。要么 x ≤ x_n 对于无限多个 n 成立，要么 x ≤ x_n 对于最多有限多个 n 成立（可能根本没有 n）。假设 x< x_n 对于无限多个 n 成立。显然在这种情况下 x ≠ M。如果需要，限制 ε 使得 x + ε ≤ M。设置 r = x + ε/2，我们有 r < x_n 对于无限多个 n 成立，因为在集合 [x,r] 中只有有限多个 x_n，并且 x 必须小于无限多个 x_n，此外 |r| < M。因此 r 在 A 中，这与 x 是 A 的上界相矛盾。现在假设 x< x_n 对于最多有限多个 n 成立。设置 y = x − ε/2。那么最多只有有限多个 n 使得 x_n ≥ y。因此，如果 r < x_n 对于无限多个 n 成立，我们有 r ≤ y。这意味着 y 是 A 的一个上界，小于 x，这与 x 是 A 的最小上界相矛盾。无论哪种情况，我们都得出一个矛盾，因此我们必须有，对于任意 ε > 0，在区间 (x − ε, x + ε) 内必须有无限多个点 x_n。

现在我们证明存在一个收敛于 x 的子序列。我们用归纳法定义子序列，从区间 (x − 1, x + 1) 中选择任何 x_n1。假设我们已经选择了 x_n1, …, x_nk−1，选择 x_nk 为区间 (x − 1/k, x + 1/k) 中的一个元素，使得 n_k∉{n₁, …, n_k−1}，这是可能的，因为在该区间内有无限多个 (x_n) 元素。注意，对于这个选择的 x_nk，我们有 |x − x_nk|<1/k。因此对于任何 ε>0，如果我们取任何 k > 1/ε，那么 |x_nk-x| < ε。也就是说，子序列 (x_nk) → x。 $\Box$

定理（柯西准则）

一个序列收敛当且仅当它是柯西序列。虽然这看起来像是比收敛更弱的性质，但实际上它是等价的，正如以下定理所显示的

证明

首先，我们证明如果 (x_n) → x 那么 x_N 是柯西序列。现在假设对于给定的 ε > 0，我们希望找到一个 N 使得 |x_n − x_m| < ε 对于所有 n, m > N 成立。我们将选择 N 使得对于所有 n ≥ N，我们有 |x_n − x| < ε/2。根据三角不等式，对于任何 n, m > N，我们有

$|x_{n}-x_{m}|\leq |x_{n}-x|+|x_{m}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此 (x_n) 是一个柯西序列。

现在我们证明如果 (x_n) 是一个柯西序列，那么它收敛于某个 x。令 (x_n) 为一个柯西序列，并令 ε > 0。根据柯西序列的定义，存在一个自然数 L 使得 |x_n − x_m| < ε/2 只要 n, m > L。由于 (x_n) 是一个柯西序列，因此它是 有界的。根据博尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理，它有一个收敛于某个点 x 的子序列 (x_nk)。现在我们将证明整个序列收敛于 x

因为 (x_nk) 收敛，我们可以选择一个自然数 M 使得如果 n_k > M，那么 |x_nk − x| < ε/2。令 N = max(L, M)，并固定任何 n_k > N。对于 n > N，我们有

$|x_{n}-x|\leq |x_{n}-x_{n_{k}}|+|x_{n_{k}}-x|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$.

因此根据收敛的定义 (x_n) → x。 $\Box$

这些定理都描述了实数完备性的不同方面。读者会注意到，最小上界性质在本节中被大量使用，并且它是将实数与有理数区分开来的公理。虽然这些定理对于有理数是错误的，但并非所有定理都可以替代最小上界性质。柯西准则和嵌套区间性质不足以在没有额外假设的情况下蕴含最小上界性质，而单调序列收敛定理和博尔扎诺-魏尔斯特拉斯性质确实蕴含最小上界性质。

上极限和下极限

极限证明是分析中非常有用的工具，它们的主要缺点是它们可能并不总是存在。有时，对任何序列都有效的极限概念是有用的。为此，我们引入了上极限（通常简称为“lim sup”）和下极限（通常简称为“lim inf”）。

定义 对于一个序列 (x_n)，我们定义上极限，记为 lim sup，为

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\inf _{k}\sup _{n\geq k}x_{n}.$

类似地，我们定义下极限，用 lim inf 表示

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\sup _{k}\inf _{n\geq k}x_{n}.$

如果 (x_n) 不受上界限制，我们说 lim sup x_n = ∞。如果 (x_n) 不受界限制，我们说 lim inf x_n = −∞。

注意，对于有界序列，lim sup 和 lim inf 总是存在的。我们知道一般的有界序列，极限并不总是存在。但当 lim sup 和 lim inf 相等时，情况就会好转，正如下一个定理所示。

定理（上极限和下极限）

设 (x_n) 为一个有界序列。那么 (x_n) → x 当且仅当 lim sup x_n = x = lim inf x_n。

证明

首先假设 (x_n) → x。固定一个 ε > 0，选择一个自然数 N，使得对于任何 n > N，x − ε < x_n < x + ε。因此，对于任何 k > N，我们有

$x-\epsilon \leq \sup _{n>k}x_{n}\leq x+\epsilon$

因此，x − ε < lim sup x_n < x + ε。由于 ε 是任意的，这种情况只有在 lim sup x_n = x 时才会发生。类似的论证表明 lim inf x_n = x。

现在假设 lim inf x_n = x = lim sup x_n，我们希望证明 lim x_n = x。

首先回想一下，x=lim sup x_n 定义为

$x=\inf _{k}\sup _{n>k}x_{n}$

给定一个 ε > 0，因为我们可以任意接近下确界，所以我们可以选择 N_ls，使得

$\sup _{n>N_{ls}}x_{n}-x<\epsilon$

类似地，回想一下，x=lim inf x_n 定义为

$x=\sup _{k}\inf _{n>k}x_{n}$

因为我们可以任意接近上确界，所以我们可以选择 N_li，使得

$x-\sup _{n>N_{li}}x_{n}<\epsilon$

设 N = max(N_ls, N_li)。现在如果 n > N，那么

$\inf _{n>N_{li}}\leq \inf _{n\geq N}\leq x\leq \sup _{n\geq N}\leq \sup _{n>N_{ls}}$

因此，对于任何 n > N

$x-\sup _{n>N_{ls}}x_{n}\leq x-x_{n}\leq x-\inf _{n>N_{li}}x_{n}.$

根据我们对 N_ls 和 N_li 的选择，这意味着对于任何 n > N

$-\epsilon \leq x-x_{n}\leq \epsilon .\quad \Box$