实分析/构造实数

←级数

实分析 构造实数

习题→

这种构造将使用数学中的一些高级概念，因此建议仅在您熟悉等价类和嵌入后才学习本章。 在您学习这些概念之前，可以安全地跳过它。

到目前为止，我们在研究实数时一直遵循公理化方法。 也就是说，我们假设存在一组具有某些公理的实数。 然而，在数学中，人们试图尽可能少地进行这样的假设。 在最基本的层面上，我们实际上做出了关于集合的（可能不知道的）一些假设，如果我们不必添加任何其他假设，那将是件好事。 事实上，仅使用关于集合的假设，就可以证明存在一组有理数。 因此，我们的工作实际上是使用可用的有理数来构造实数，以证明实数的公理在 ZFC 下是一致的并且存在。

我们将从大量定义开始我们的构造。

序列

这些定义在本书的序列部分中得到了更深入的探讨。 主要区别在于我们这里描述的序列的元素是有理数$\mathbb {Q}$ 而不是实数$\mathbb {R}$ 。

为了方便起见，这里重复了它们，但更多细节请参阅相应的章节。

有理数的序列 是任何函数$x:\mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ 并用$(x_{n})$ 表示。

特殊序列

如果对于每个有理数$\varepsilon >0$ ，存在某个$N$ 使得对于每个$n>N$ 我们有$|x_{n}|<\varepsilon$ ，则有理数序列$(x_{n})$ 是一个零序列。

如果存在某个有理数$x$ 使得对于每个$n\in \mathbb {N}$ 有$x_{n}=x$ ，则有理数序列$(x_{n})$ 是一个常数序列。

序列的加法和乘法

现在定义两个序列 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的加法为序列 ${\bigl (}(f+g)_{n}{\bigr )}$，其中 $(f+g)_{n}=f_{n}+g_{n}$。

同样地，定义 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的乘法为序列 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}$，其中 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}=f_{n}\cdot g_{n}$。

取反

设 $(f_{n})$ 为一个有理数序列。那么 $(f_{n})$ 的取反，记为 $-(f_{n})$，被定义为有理数序列 $(-f_{n})$，即序列 $(g_{n})$，其中 $g_{n}=-f_{n}$。

减法

令 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 为两个有理数序列。然后我们定义 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 的差，记为 ${\bigr (}(f-g)_{n}{\bigl )}$ ，为序列 $(f_{n})+{\bigl (}-(g_{n}){\bigr )}$ 。

柯西序列

如果对于每个有理数 $\varepsilon >0$ ，存在一个 $N$ 使得对于每个 $m,n>N$ 我们有 $|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon$ ，那么有理数序列 $(x_{n})$ 是 *柯西序列*。

设 ${\mathcal {C}}$ 表示这样的有理柯西序列的集合。证明上述定义的零序列和常数序列是柯西序列留作练习。证明如果 $(f_{n})$ 和 $(g_{n})$ 是柯西序列，则 ${\bigl (}(f+g)_{n}{\bigr )}$ 和 ${\bigl (}(f\cdot g)_{n}{\bigr )}$ 也在 ${\mathcal {C}}$ 中。进一步证明 ${\bigl (}(f-g)_{n}{\bigr )}$ 属于 ${\mathcal {C}}$ 是一个简单的步骤。

序列的等价性

在 ${\mathcal {C}}$，即柯西序列的集合上定义一个关系 $\sim$，当且仅当 $f-g$ 是一个零序列时，$f\sim g$。

现在，证明 $\sim$ 是一个 等价关系 是一个简单的练习。

实数

我们用 $\mathbb {R}$ 表示 $\sim$ 的所有 等价类 的集合。此外，我们用 ${\bar {f}}$ 表示 $f$ 的等价类。我们的目标是证明这个集合满足我们赋予实数的所有属性。由于我们的目标是构造实数，因此将我们提议的集合分配相同的符号似乎是合理的。我们现在必须遍历实数的所有基本公理，并证明它们是该集合的内在属性。

全序域

现在，如果 ${\bar {f}},{\bar {g}}$ 是 $\mathbb {R}$ 的成员，那么很容易验证 $+$ 和 $\cdot$ 由 ${\bar {f}}+{\bar {g}}={\overline {f+g}}$ 和 ${\bar {f}}\cdot {\bar {g}}={\overline {f\cdot g}}$ 定义的柯西序列上的良定义二元运算。

此外，顺序 $\leq$ 可以通过让 ${\bar {f}}\leq {\bar {g}}$ 当且仅当存在某个有理数 $n_{0}$ 使得对于所有 $n$ ，如果 $n\geq n_{0}$ ，则 $f_{n}\leq g_{n}$ 。这样我们就得到一个集合，其元素可以称为实数。

备注

因此，实数是特殊类型的有理数序列的等价类。显然，有理数 1 不是实数 1。这种看似违反直觉的问题可以通过考虑从有理数到实数的嵌入 $F$ 来解决，该嵌入由$F(r)={\overline {f_{r}}}$ 定义，其中 $f_{r}(n)=r,\forall n\in \mathbb {N}$ 。在这种嵌入下，有理数 1 可以与实数$F(1)$ 相一致，因此有理数可以被视为实数的子集。

这种定义实数的方式似乎很奇怪，但实际上从数学上讲是相当合理的。以这种方式构建的集合的行为与我们直观上理解的实数的行为完全一致，而且构建这个集合没有任何超出$\mathbb {Q}$ 所需的假设。

另一种构建实数的方法是使用由理查德·戴德金提出的方法。上面提到的方法是由格奥尔格·康托尔在 1872 年提出的。戴德金也在同一年发表了他的方法。（对于那些感兴趣的人，戴德金的构造在附录中提供）。