实分析/三角学

实分析

先决条件：积分；一些微积分基本定理和反函数

三角学是数学的一个古老领域。它在现实世界中的相关性及其基本原理——一系列规则——足以使其成为初等数学的典型部分。然而，与我们在初等数学中学习的所有内容一样，主要问题是三角学中的概念是一系列规则和圆和三角形的几何图像。本节将通过从头开始严格重新定义三角函数来纠正这一点。

构造

为了重新定义三角函数，我们首先必须从一些基础开始。如果我们要认真地消除所有图形解释并用我们当前的正式数学概念来证明它，我们应该澄清我们知道什么以及我们想要证明什么。

公理

我们可能尽力而为，但我们目前的数学范围（即实分析加上一些形式化的代数和一些形式化的集合论）不足以完全推导出我们在开始构造时需要的某些概念。因此，我们必须接受以下内容作为公理。

三角定义列表（公理）

描述	公式
单位圆的定义：给定原点的一个点，这个函数包含两个变量 *x* 和 *y*，使得斜边始终为 1。因此，这个圆的半径为 1。	$x^{2}+y^{2}=1$
"圆的面积"的定义：圆的面积定义如下	$A(r)=\pi r^{2}$

对于我们的三角函数，我们还需要在初等数学中学习的性质，例如正弦和余弦函数是周期性的。

我们将首先从等式$x^{2}+y^{2}=1$开始。它不是一个函数，但我们将通过限制等式使其成为一个函数。

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=1\\y^{2}&=1-x^{2}\\y&={\sqrt {1-x^{2}}}\\\end{aligned}}$

函数 *f* 将定义为$f={\sqrt {1-x^{2}}}$。在初等数学中，这通常就是它；没有更多常用的工具可以用来进一步操纵这个函数来做有趣的事情。然而，我们将证明所有工具的微积分可以解开三角学的奥秘。

圆周率和面积

单位圆的面积是$A(1)=\pi (1)^{2}=\pi$。必须特别注意，面积 π 是指整个圆。为什么要提到这一点？好吧，我们将尝试使用积分将圆的面积概念与函数的面积概念对齐。

$\int _{-1}^{1}{f}={\frac {\pi }{2}}$

如您所见，分数是因为 π 代表整个面积，但我们对原始等式的限制使得我们必须将面积减半。顺便说一下，请理解，虽然我们可以使用变量 τ（tau），它恰好是圆周率的一半，也是该积分的值，但我们选择不这样做——仅仅是因为 τ 是一个不太熟悉的数字，可能对读者来说更陌生。本节的目的是说明我们如何使用微积分构建符合现有概念和更多概念的新概念——而不是用新符号迷惑读者。

回到我们之前对 π 应该是什么的解释，请注意，我们也没有定义函数 *f* 的积分。在定义方面，用更多未知数定义变量是不好的。因此，我们不会说明函数 *f* 的积分是什么。

首先，我们可以使 π 的定义看起来更正式

π 的定义
$\pi =2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}$

我们将在这部分的剩余部分定义该积分的实际值。

首先声明，我们还没有定义如何处理平方根。因此，以下定义实际上依赖于对“面积”的模糊定义。是的，这个解释也可以被看作是一个公理，尽管它有其理由——只是这个理由可能不像分析那样像几何。所以，对于那些不擅长几何的人来说，请把最底部的公式当作事实。否则，请继续阅读。

函数f的面积为
$\Pi (x)={\frac {x{\sqrt {1-x}}}{2}}+\int _{x}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}$